ESPAÇOS VETORIAIS
PROPRIEDADES: Seja
V , ,
2.
O vetor nulo (ou elemento neutro da
adição) é sempre único.
Para cada vetor u  V , existe um único
vetor u  V tal que u   u   0 , em outras
palavras, o vetor oposto de u é único.
3.

.   R, .0  0, 0  V
4.

. u  V, 0.u  0, 0  R
5.
..u  0    0 ou u  0,   R e u  V
1.
ESPAÇOS VETORIAIS
PROPRIEDADES: Seja
V , ,
6.

.   R , u  V -   u    u    u 
7.
.   R , u , v  V   ( u  v )  u  v ,
sendo que u – v = u + (-v).
8.
. ,   R, u  V      u  u   u

9.
Se u, v, w  V e u + v = u + (w) então v = w.
SUBESPAÇO VETORIAL
Definição: Um subconjunto não vazio W  V , W  
é dito subespaço vetorial real de V (espaço
vetorial) se ele próprio é um espaço vetorial real
considerando as operações restritas a ele.
Teorema: Um subconjunto não vazio W  V , W  
é um subespaço vetorial real se e somente se:
i)
0 W
ii)
u, v  W  u  v  W
iii)
u  W ,   R  u  W
Exemplo e Contra-Exemplo
de Subespaços Vetoriais
W é subespaço
1. W
.   a, b, c  a  b  c  0 , V  R
vetorial
2. W   p (t )  a  a x  a x a  a  a  1 ,
3
2
0
1
2
1
2
0
W não é subespaço vetorial
Exercício: Verifique se o subconjunto é um
subespaço vetorial real.
 a11 a12 

W  
 a11  a22  0  a12  a21  ,
 a21 a22 

V  M2  R 