Aula 8: Determinantes
(continuação)
Mais propriedades dos determinantes
D9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que:
det(kA)  k det(A)
n
Exemplo:
det(kA) 
ka11
ka12
ka21 ka22
 k.
a11
a12
ka21 ka22
 k.k.
a11
a12
a21 a22
D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (résima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n
(C)rj  ( A)rj  ( B)rj
então:
det(C )  det(A)  det(B)
Exemplo: (Quadro)
Mais propriedades dos determinantes
D11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então:
det(EB)  det(E ).det(B)
Consequência:
det(E1E2 ...Er B)  det(E1 ).det(E2 )det(Er ).det(B)
D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0.
D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então:
det(A.B)  det(A).det(B)
D14: Se A é invertível então:
1
det(A ) 
det(A)
1
D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.
Determinantes, sistemas e
invertibilidade
Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes
afirmações são equivalentes:
a) A é invertível.
b) Ax=0 só tem a solução trivial.
c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
d) A pode ser expressa como um produto de matrizes
elementares.
e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de
tamanho nx1.
f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor
coluna b nx1.
g) det(A)≠0.
Expansão em cofatores
Definição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o
determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor de aij
é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz
que sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Exemplo:
1 2 3
A   4 5 6 ,
7 8 9 
o m enorde a11 é :
M 11 
5 6
8 9
 45  48  3
Definição: (cofator) O número (-1)i+j Mij e denotado por Cij é chamado
de o cofator de aij.
Expansão em cofatores
Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:
a11
a12
a13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
a11.a22 .a33  a12 .a23 .a31  a13 .a21.a32

 a13 .a22 .a31  a12 .a21.a33  a11.a23 .a32
 a11 (a22 a33  a23 a32 )  a12 (a21a33  a23 a31 )  a13 (a21a32  a22 a31 )
 a11M 11  a12 M 12  a13 M 13
 a11C11  a12C12  a13C13
(expansão em cofatores ao longo da primeira linha)
Expansão em cofatores
Teorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou
coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são
denominadas expansões em cofatores de det(A).
det(A)  ai1Ci1  ai 2Ci 2  ... ainCin
(expansão em cofatores ao longo da linha i)
det(A)  a1 j C1 j  a2 j C2 j  ... anj Cnj
(expansão em cofatores ao longo da coluna j)
Exemplo: (Quadro)
Expansão em cofatores
Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz
quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz
C11 C12
C
C22
21

A
 


Cn1 Cn 2
 C1n 
 C2 n 
  

 Cnn 
é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é
chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
Exemplo: (Quadro)
Fórmula para inversa de uma matriz
Teorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então
1
A 
adj( A)
det(A)
1
Exemplo: (Quadro)
Idéia da prova: Mostra –se que:
A.adj( A)  det(A).I
Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como:
1
A.adj( A)  I ou A.[ 1 .adj( A)]  I
det(A)
det(A)
Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:
1
A 
adj( A)
det(A)
1
Regra de Cramer
Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações
lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma
única solução. Esta solução é:
det(An )
det(A1 )
det(A2 )
x1 
, x2 
,..., xn 
,
det(A)
det(A)
det(A)
onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A
pelas entradas do vetor coluna b.
Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um
sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer
Idéia da prova + Exemplo: Quadro
Regra de Cramer
Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear
quanto as suas soluções:
• Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é
imcompatível.
• Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e
indeterminado.
• Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.
Sistemas lineares da forma Ax=λx
Muitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares
e n incógnitas que aparecem no formato:
Ax=λx
(1)
onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos
disfarçados pois podem ser reescritos como
λx-Ax=0
ou ainda
λIx-Ax=0
(λI-A)x=0.
(2)
Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais
valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado
autovalor de A.
Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada
autovetor de A associado ao autovalor λ.
Sistemas lineares da forma Ax=λx
Vimos que
A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial
logo
(λI-A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λI-A) não é invertível,
ou seja,
det(λI-A)x=0
Equação característica de A
Exemplo: Expresse o sistema linear abaixo no formato (λI-A)x=0
 x1  3 x2   x1

4 x1  2 x2  x2
encontre:
(i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores
associados a cada autovalor