Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
6ª aula
DETERMINANTES
Permutações
Uma permutação
 = ( p1, p2, p3, … , pn)
dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, … , n}
é um arranjo dos n números em alguma
ordem sem repetições ou omissões
EXEMPLO:
 = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2)
é uma permutação dos elementos do
conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
EXEMPLO:
 = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6)
é a permutação identidade
dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Paridade de uma permutação
Número de trocas de dois elementos que é
necessário efectuar para voltar a pôr os
números por ordem.
Permutação par  número de trocas par
Permutação ímpar  número de trocas ímpar
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números
menores que ele que ficam depois dele.
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números
menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números
menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)
4: 1, 3, 2  3
1:
0
3: 2
1
2:
0
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números
menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)
4: 1, 3, 2  3
1:
0
3: 2
1
2:
0
(3+0+1+0) = 4
Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números
menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo:  = (4, 1, 3, 2)
4: 1, 3, 2  3
1:
0
3: 2
1
2:
0
(3+0+1+0) = 4
 é par
Sinal de uma permutação
 1 se  é par
sgn( )  
 1 se  é ímpar
Exemplos:
 = (6, 5, 3, 1, 2, 4)
paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11
sgn() = -1
 = (1, 3, 2, 4, 6, 5)
paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2
sgn() = +1
Produtos elementares:
A é uma matriz quadrada nn
Chama-se produto elementar da matriz A
a um produto de n entradas da matriz A
que contenha uma entrada de cada linha
e de cada coluna de A.
a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn
Exemplos:
 = (6, 5, 3, 1, 2, 4)
Produto elementar correspondente:
a16  a25  a33  a41  a52  a64
 = (1, 3, 2, 4, 6, 5)
Produto elementar correspondente:
a11  a23  a32  a44  a56  a65
Produtos elementares assinalados:
A é uma matriz quadrada nn
Chama-se produto elementar assinalado
da matriz A a um produto elementar com
o sinal da permutação correspondente:
sign()a1p1  a2p2  a3p3  …  anpn
Com  = (p1, p2, …, pn )
Exemplos:
 = (6, 5, 3, 1, 2, 4)
Produto elementar assinalado correspondente:
- a16  a25  a33  a41  a52  a64
 = (1, 3, 2, 4, 6, 5)
Produto elementar assinalado correspondente:
+ a11  a23  a32  a44  a56  a65
Determinante de uma matriz:
Determinante da matriz A é a soma de
todos os produto elementares
assinalados de A.
Representa-se por det(A) ou por |A|
Matrizes 22
Produto
elementar
Permutação Paridade
associada
Produto
elementar
assinalado
a11a22
(1, 2)
par
a11a22
a12a21
(2, 1)
ímpar
- a12a21
Matrizes 22
Produto
elementar
Permutação Paridade
associada
Produto
elementar
assinalado
a11a22
(1, 2)
par
a11a22
a12a21
(2, 1)
ímpar
- a12a21
det(A) = a11a22 - a12a21
Matrizes 33
Produto elementar
Permutação
associada
Paridade
Produto elementar
assinalado
a11a22a33
a12a23a31
a13a21a32
a13a22a31
a12a21a33
a11a23a32
(1, 2, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)
(2, 1, 3)
(1, 3, 2)
par
par
par
ímpar
ímpar
ímpar
+ a11a22a33
+ a12a23a31
+ a13a21a32
- a13a22a31
- a12a21a33
- a11a23a32
Matrizes 33
Produto elementar
Permutação
associada
Paridade
Produto elementar
assinalado
a11a22a33
a12a23a31
a13a21a32
a13a22a31
a12a21a33
a11a23a32
(1, 2, 3)
(2, 3, 1)
(3, 1, 2)
(3, 2, 1)
(2, 1, 3)
(1, 3, 2)
par
par
par
ímpar
ímpar
ímpar
+ a11a22a33
+ a12a23a31
+ a13a21a32
- a13a22a31
- a12a21a33
- a11a23a32
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 –
– a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:
det(A) = a11  a22  …  ann
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:
det(A) = a11  a22  …  ann
Em particular:
det(I) = 1
det(O) = 0
Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:
det(A) = a11  a22  …  ann
Em particular:
det(I) = 1
det(O) = 0
Se A é escalar e o elemento da diagonal é k
então:
det(A) = kn
Determinantes de matrizes especiais
Se A é triangular (superior ou inferior):
det(A) = a11  a22  …  ann
Propriedades dos determinantes:
1. det(A) = det(AT)
2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula
então det(A) = 0
3. Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas
(ou colunas) então det(A’) = - det(A)
4. Se A tem duas linhas (ou colunas)
iguais então det(A) = 0
Propriedades dos determinantes:
5. Se A’ é obtida de A multiplicando uma
linha (ou coluna) de A por  então
det(A’) =  det(A)
6. Se A tem uma linha (ou coluna)
múltipla doutra então det(A) = 0
7. det(A) = n det(A)
Propriedades dos determinantes:
8. Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e
Li = L’i + L’’i então
 L1 

 
'

det(A) = det Li  + det
 

 Ln 
 L1 

 
 L'i' 
 

 Ln 
Propriedades dos determinantes:
9. A mesma propriedade para as colunas
10. det(AB) = det(A) det(B)
11. A é invertível se e só se det(A)  0
(e se e só se car(A) = n)
1
-1
12. Se A é invertível então det(A )=
det (A)
Efeitos das operações elementares no
determinante:
• Operações tipo I
Trocando duas linhas o determinante muda o
sinal
EXEMPLO
1 5
0
 3  6 9




det  3  6 9   det 0
1 5
2
2
6 1
6 1
Efeitos das operações elementares no
determinante:
• Operações tipo II
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo
EXEMPLO
1 5
1 5
0
0




det  3  6 9  3 det  1  2 3
2
2
6 1
6 1
Efeitos das operações elementares no
determinante:
• Operações tipo III
Adicionar a uma linha outra multiplicada por
um escalar
EXEMPLO
3
 1  2 3
1  2




det 0
1 5  det 0
1
5
2
0 10  5
6 1
L3  L3  2 L1
Cálculo do determinante por
condensação da matriz:
 0 1 5
0 1



det 3  6 9  3 det 1  2
2 6 1
2 6
1  2 3 
1
 3 det 0 1
5   3 det 0
0 10  5
0
5
1  2 3



3  3 det 0 1 5 
2 6 1
1
2
3 
1
5    3  55  165
0  55
Cálculo do determinante pelo teorema
de Laplace:
• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao
determinante da matriz que se
obtém de A retirando a linha i e a
coluna j. Representa-se por Aij
• Chama-se Complemento Algébrico
de aij ao número (-1)i+j Aij e
representa-se por Aˆij
EXEMPLO
3
5
 2


A   1
8
2
 2  2  7 
2
 1
1 2
ˆ
A12  det 
 3  A12   1 A12  3

 2  7
3 5
31
ˆ
A31  det 
 34  A31   1 A31  34

8 2
Teorema de Laplace
• Para cada linha k:
det(A)  ak1 Aˆk1  ak 2 Aˆk 2   akn Aˆkn
• Para cada coluna j:
det(A)  a1 j Aˆ1 j  a2 j Aˆ 2 j    anj Aˆ nj
Observações
• O Teorema de Laplace determina o determinante
de uma matriz de ordem n através do cálculo de
determinantes de ordem n-1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais
zeros;
• Usar primeiro operações elementares sobre
linhas para obter uma coluna com mais zeros e só
depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.
EXEMPLO:
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
1

1
1

1
EXEMPLO:
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
0 3

1
1

1

 det 
0
1
1  2 2



1
3 0
0 2
EXEMPLO:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
1  1
3



1
0 3
1  1
11

 det
  1 1 det  1  2 2
0
1
1  2 2
2
3 0



1
3 0
0 2
EXEMPLO:
 1  1  1 1
 1  1  1 1
1  1
3
 2



1  1 1
0 3
1  1
11


det
 det
  1 1 det  1  2 2 
 1 2  1 1
0
1  2 2
2
3 0




3 0
 1 1 2 1
0 2
 1  2 2
  det  3
1  1
2
3 0
EXEMPLO:
 1  1  1 1
 1  1  1 1
1  1
3
 2



1  1 1
0
3
1  1
11


det
 det
  1  1  det  1  2 2 
 1 2  1 1
0
1  2 2
2
3 0




3 0
 1 1 2 1
0 2
2
 1  2 2
1  2
  det  3
1  1   det 0
7  7
2
0
3 0
7  4
EXEMPLO:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

1 2
 1
1
1
1 1 1
1  1
3



1
0
3
1  1
11

 det
  1  1  det  1  2
2 
0
1
1 2
2
2
3 0



1
2
3 0
0
2
2
1  2
1  2

7  7  
11






  det  3
1  1   det 0
7  7     1  1  det 

7  4 


2
0
3 0
7  4
EXEMPLO:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

1 2
 1
1
1
1 1 1
1  1
3



1
0
3
1  1
11

 det
  1  1  det  1  2
2 
0
1
1 2
2
2
3 0



1
2
3 0
0
2
2
1  2
1  2

7  7  
11





  det  3
1  1   det 0
7  7    1  1  det 

7  4 


2
0
3 0
7  4
  28  49  21
Inversa de uma matriz usando
determinantes
• Matriz dos co-factores ou dos complementos
algébricos:


ˆ  A
ˆ 
A
 ij 




• Matriz adjunta da matriz A:
Adj( A)  Aˆ T
• Matriz inversa de A:
1
A 
Adj ( A)
det A
1
EXEMPLO:
1 2
A

3
4


11
Aˆ   1 det4  4
ˆ   11 2 det3  3
A
11
12
2 1
2 2
ˆ
ˆ
A21   1 det2  2 A22   1 det1  1
 4  3
ˆ
A


2
1


EXEMPLO:
1 2
A

3
4


11
Aˆ   1 det4  4
ˆ   11 2 det3  3
A
11
12
2 1
2 2
ˆ
ˆ
A21   1 det2  2 A22   1 det1  1
4

3
4

2




T
ˆ
ˆ
A
adj( A)  A  



2
1

3
1




EXEMPLO:
1 2
A

3
4


11
Aˆ   1 det4  4
ˆ   11 2 det3  3
A
11
12
2 1
2 2
ˆ
ˆ
A21  4
1 det
32  2 A22   1 4det1 21
ˆT 
Aˆ  
adj
(
A
)

A


1
 2
 3
det(A)  4  6  2
1  4  2
A  
1
2  3
1

1
EXEMPLO:
1 2
A

3
4


11
Aˆ   1 det4  4
ˆ   11 2 det3  3
A
11
12
2 1
2 2
ˆ
ˆ
32  2 A22 ˆ T 1 4det1 21
Aˆ21  4
1 det
A
adj( A)  A  

1
 2
 3
det(A)  4  6  2
1
 2
4

2


1
1
1
A  
 3

 
1 
2  3
2
 2
1
Regra prática para determinantes 33
1 2 1 


det  2 1 1 
1 1 2
Regra prática para determinantes 33
1 2
det 2 1
1 1
1 2 1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1   1 1 2  2  1 1  1 2  1 
2
Regra prática para determinantes 33
1 2 1 
det 2 1 1  11 2  2 11  1 2 1 
1 1 2
 2  2  2  111  111
1 2 1
2 1 1
1 1 2
1 2 1
2 1 1
Regra prática para determinantes 33
1 2 1 
det 2 1 1  11 2  2 11  1 2 1 
1 1 2
 2  2  2  111  111  6  10  4
1 2 1
2 1 1
1 1 2
1 2 1
2 1 1