Geometria e Álgebra
Motivação:
Geometria de objetos gráficos
MGattass
Motivação: algoritmo de
Traçado de Raios
Luz
ye
Pixel
(RGB)
Câmara
Iluminação
ze
xe
Objetos
zo
xo
MGattass
yo
Coordenadas Cartesianas
Plano ou R2
y
 x
p   
 y
y
0
x
x
 x 

R    tal que x, y  R 
 y 

2
MGattass
Coordenadas Cartesianas
Espaço ou R3
 x
 
p   y
z
 
z
0
y
x
 x 

 

3
R   y  tal que x, y, z  R 
 z 

 

MGattass
Soma de vetores
y
y1+y2
y1
 x1 
p1   
 y1 
y2
0
x1
x2
p1  p2  p2  p1
 x2 
p 2   
 y2 
x
x1+x2
 x1   x2   x1  x2 

p1  p 2        
 y1   y 2   y1  y 2 
MGattass
Produto de vetor por escalar
y
0<a<1
a<0
ay
y
0
a>1
 x
p   
 y
x
 x   ax 
ap  a    
 y ay
MGattass
ax
x
Distância entre vetores
y
y2
(y2-y1)
y1
0
-p1
p2
p 2  p1
p1
(x2-x1) x1
x2
x
 x2   x1   x2  x1 

p 2  p1        
 y2   y1   y2  y1 
dist (p1 , p 2 )  p 2  p1  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
MGattass
Aplicação: Esfera
dist(p, c)  r
p  c  ( x  x0 ) 2  ( y  yc ) 2  ( z  zc ) 2  r
( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 )2  r 2
MGattass
Propriedades Gerais de
Espaços Vetoriais
1. Comutatividade:
p+q=q+p
2. Associatividade:
(p + q)+r = p + ( q + r)
3. Vetor nulo:
p + 0 = 0+ p = p
4. Inverso aditivo:
p + (- p) = 0
5. Distributividade:
(a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
6. Multiplicação por 1:
1. p = p
MGattass
Espaço Vetorial
Funções de [a,b]R
F, G
(F+G)(x)=F(x)+G(x)
G(x)
(aF)(x)=aF(x)
F(x)
b
F 
a
b
x
 F ( x)
2
dx
a
Comutatividade: p + q= q + p
Associatividade: (p + q)+r= p + (q + r)
Vetor nulo: p + 0 = 0+ p = p
Inverso aditivo: p + (- p) = 0
Distributividade: (a+b)p = a p + b p e a(p + q) =a p +a q
Multiplicação por 1: 1. p = p
MGattass
Espaço Vetorial
Matrizes Rnm
 c11 c12  c1m 
c

c
c
21
22
2
m

C  cij  





c
c
c
nm 
 n1 n 2
 
 d11
d
D  d ij   21
 

 d n1
 
Soma:
d12
d 22
dn2
 d1m 
d 2 m 



d nm 
 c11  d11 c12  d12  c1m  d1m 
c  d

c

d
c

d
21
21
22
22
2
m
2
m

C  D  cij  d ij  
 




c

d
c

d
c

d
n1
n2
n2
nm
nm 
 n1


Produto por escalar:
 ac11
ac
aC  acij   21
 

acn1
 
MGattass
ac12
ac22
acn 2
 ac1m 
ac2 m 



acnm 
Matrizes especiais
0 0  0 
0 0

0

0

 


0
0 0
 d1
0
diag(d1 , d 2 ,, d n )  


0
MGattass
1 0  0
0 1

0

I

 


0
0
1


0
d2

0
0
 0 
 0

0 dn 

Matrizes especiais (cont)
 s11
s
sim étricas  12


 s1n
 0
 a
anti  sim étricas  12
 

 a1n
MGattass
s12
s 22

s 21
a12
0

 a2n
 s1n 
 s 2 n 



 s nn 
 a1n 
 a 2 n 
  

 0 
Combinação Linear
m
p  a1p1  a2 p 2    an p n   ai p i
i 1
Independência linear:
a1p1  a2p2   anpn  0  a1  a2    an  0
MGattass
Base Canônica ijk
z
 x
 
p  xi  yj  zk   y 
z
 
zk
k
j
i
xi
y
yj
x
1
 
i  1 i  0  j  0  k   0 
0
 
MGattass
0
 
j  1
0
 
0
 
k  0
1
 
Aplicações: retas e planos
d
p  p0  td
p0
dv
p0 d
u
MGattass
p  p0  udu  vdv
Aplicação:
Série de Fourier
f(x)
-



n 1
m 1
x
f ( x)  a0   an cosnx   bm sin m x
MGattass
Combinação Convexa
a1  a2    an  1 e
m
p   ai pi
p(a) p2
p1
a1  0, a2  0,, an  0
i 1
p3
p1
p(a)  ap1  (1  a)p 2
p(a,b)
p2
p(a, b)  ap1  bp2  (1  a  b)p3
p4
p1
p(a, b, c)  ap1  bp2  cp3  (1  a  b  c)p4
p3
p2
MGattass
Generalização de Norma
p 0
p 0
para todo
se e somente se
pq  p  q
ap  a p
MGattass
para todo
p V
p0
para todo
p, q V
a  R, p V
Outras normas no Rn
p  x12  x22    xn2
n
p 1   xi
i 1
n
p   max xi
i 0
1/ p
p
MGattass
p
 n
p
   xi 
 i 0

Norma: aplicações
Unitário:
pˆ 
1
p
p
Distância:
dist(p1, p2 )  p2  p1
MGattass
Normas de função
F
F(x)
a
F
MGattass
2
1

ba
b
x
b
2
 F ( x) dx
a
b
F

 max F ( x)
xa
Distância e erro
F, G
G(x)
F(x)

2
G(x) -F(x)
a
b
x
b
2


F
(
x
)

G
(
x
)
dx

1
2  F  G 2 
ba
a
b
   F  G   max F ( x)  G( x)
x a
MGattass
Distância entre superfícies
d p (S )  min p  q , q  S
d s1 ( S2 )  max dp ( S 2 ), p  S1
distância de Hausdorff
d H (S1, S2 )  maxds1 (S2 )1, ds 2 (S1 )
MGattass
Produto interno:
definição geomética
p1  p2  p1 p2 cos
p2

p1
p  p  p p cos 0  p
p1  p2  p1 p2
MGattass
2
p  pp
desigualdade de Schwarz
Produto interno:
expressão algébrica
p1  p 2  x1i  y1 j  z1k  x2i  y2 j  z2k 
p2
k
p1  p 2  x1 x2 i  i  x1 y2 i  j  x1 z 2 i  k 
p1

j
  z1 x2k  i  z1 y2k  j  z1 z 2k  k
i  i  j j  k  k  1
i  j  j i  i  k  k  i  j k  k  j  0
i
p1 p 2  x1 x2  y1 y2  z1 z 2
no R2
MGattass
p1 p 2  x1 x2  y1 y2
Produto interno:
definição algébrica
p1  p 2  x1i  y1 j  z1k  x2i  y2 j  z2k 
p1  p 2  x1 x2 i  i  x1 y2 i  j  x1 z 2 i  k 
p2
  z1 x2k  i  z1 y2k  j  z1 z 2k  k

p1
p1 p 2  x1 x2  y1 y2  z1 z 2
p
p1 p 2  x1 x2  y1 y2
x
i
x
x
p  i  x 1  y  0  z  0  x
MGattass
Aplicações do produto interno:
cálculo de ângulos
p1  p2  p1 p2 cos
p2
p1

uˆ 2

MGattass
uˆ 1
 p1  p 2 

  arc cos

p
p
1
2


  arc cosuˆ 1  uˆ 2 
Aplicações do produto interno:
projeção na direção ...
p
Projeção na direção de nˆ :

nˆ
p cos
ppnn  (p  nˆ )nˆ
Projeção na direção perpendicular a nˆ :
p
p
p  p p  pn
n
nˆ
p p  p  pn
pp
MGattass
p p  p  (p  nˆ )nˆ
Aplicação do produto interno
reflexão de um vetor
p n  (p  nˆ )nˆ
^
n
h
p
h
pn
h  pn  p
r
r  pn  h
r  2pn  p
r  2(p  nˆ )nˆ  p
MGattass
Aplicações do produto interno:
equação de um plano normal a nˆ
que dista d da origem
pn
z
d
0
x
y
a
 
nˆ   b 
c
 
pp
 x
 
p   y
z
 
p  p p  pn
nˆ  p  nˆ  (p p  pn )
nˆ  p  nˆ  p n  d
ax  by  cz  d
ax  by  cz  d  0
MGattass
Aplicações do produto interno:
posição de um ponto em relação a um plano
a
 
nˆ   b 
c
 
nˆ p  d
z
d
0
x
 x
 
p   y
z
 
 lado positivo
ax  by  cz  d
y
ax  by  cz  d  0
ax  by  cz  d  0
 lado negativo
dist(p, plano)  ax  by  cz  d
MGattass
Aplicações do produto interno:
posição de um ponto em relação a
uma reta no R2
F ( x, y)  0
a
nˆ   
b
y
d
 x
p   
 y
F ( x, y)  0
F ( x, y)  nˆ  p  d  ax  by  d
x
MGattass
F ( x, y)  0
Produto interno:
generalização
, : V V  R
Bilinearidade:
p  p' , q  p, q  p' , q
ap , q  a p , q
p, q  q'  p, q  p, q '
p, aq  a p, q
Comutatividade (simetria): p, q  q, p
Positividade: p, p  0, só é igual a zero se p=0
MGattass
Produto interno e norma de funções
b
F,G 
1
F ( x)G( x)dx
2 
(b  a) a
1
F   F, F  
ba
MGattass
b
2
F
(
x
)
dx

a
Ortogonaliadade das funções
da base de Fourier


n 1
m 1
f ( x)  a0   an cosnx   bm sin m x

sin(m x) sin(nx)dx  0,
se m  n


cos(m x) cos(nx)dx  0,


sin(m x) cos(nx)dx  0

MGattass
se m  n
Bases ortonormais
Seja
{p1, p2, ...,pn}
tal que
pi , p j
0 se i  j
  ij  
1 se i  j
então:
a1p1  a2p 2   anp n  0  a1  a2    an  0
MGattass
Produto Vetorial
p2
p  p1  p 2
p1

p  p1 p2 sen
MGattass
Produto Vetorial
p  p1  p2  x1i  y1 j  z1k  x2i  y2 j  z2k 
p  p1  p 2  x1 x2 i  i  x1 y2 i  j    z1 z2k  k
p  p1  p 2
p2

p  p1 p2 sen
× i j k
i  0 k  j
 k 0 i 
j 

k  j  i 0 
p1
p  p1  p 2  ( y1 z 2  z1 y2 )i  ( x1 z 2  z1 x2 ) j  ( x1 y2  y1 x2 )k
MGattass
Produto Vetorial
forma de lembrar
i
j
k
p1  p 2  x1
x2
y1
y2
z1
z2
p1  p 2 
y1
z1
y2
z2
i
x1
z1
x2
z2
j
x1
y1
x2
y2
k
p  p1  p 2  ( y1 z 2  z1 y2 )i  ( x1 z 2  z1 x2 ) j  ( x1 y2  y1 x2 )k
MGattass
Matriz do produto vetorial
 a y z  az y 


a  p   az x  ax z 
a y  a x
y 
 x
MGattass
 a y z  az y   0

 
a  p   az x  ax z    az
 a y  a x   a
y 
 x
 y
 az
 0

a   a z
 a y

 az
0
ax
0
ax
a y  x 
 
 a x  y 
0  z 
ay 

 ax 
0 
Produto vetorial aplicados 2 vezes
 a x    0
  


a  a  p   a y     az
 a    a
 z   y
 0

a  a  p    a z
 a y

ay  0

 ax   az
0   a y
0
ax


MGattass
0
ax
 az
 a y2  a z2

a  a   a x a y
 ax az

a y  x  
  
 a x  y  

0  z  
 az


ax

a y az
2

a
a y  x 
 
 a x  y 
0  z 
0
ax a y


a y az 
 a x2  a y2 
ax az

ax a y
2
y
p
a  a  p
 az
 a x2  a z2
 a x2  a



a  a   ax a y

 a x a z
ap
a
 a
a y az
2




a y az 
2 
a z2  a 

ax az


Aplicações do produto vetorial:
movimento de um corpo rígido

  t
p
p||
A

  eˆ
eˆ
B
vB
B’
B’
  t
vB
p
p BA

v  r   p   p sin     p

v B (t )  v A (t )  (t )  p BA (t )
MGattass
B
Aplicações do produto vetorial:
áreas e normais
Cálculo de áreas e normais
p3
normal n  v12  v13
v13
p2

v12
p1
1
v 12 h
2
1
área  v 12 v 13 sen 
2
área 
área 
Cálculo de ângulos
1
v 12  v 13
2
 p1  p 2 


 p1 p 2 
  arc sen
MGattass
Aplicações do produto vetorial:
interior e exterior
p3
n  v12  v 23
p2
pi
v12
p1
MGattass
n  v12  (pi  p1 )  0
v23
v31
pe
n  p12  (p e  p1 )  0
Aplicações do produto vetorial:
orientação e consistência de malha
p3
n  v12  v 23
n  v 12  v 24   0
p7
v23
v31
n  v 45  v 56   0
p2
p5 = p6
v12
p1
n  v 13  v 37   0
n  v 45  v 52   0
p4
p1 p2 p3
p1 p3 p7 
p1 p2 p4 
p4 p5 p6 
p4 p5 p2 
MGattass
Produto misto
v w
h
u w
v
área da base  v w
u  v  w 
altura 
vw
V  base altura  u  v  w
MGattass
Produto Misto e Determinante
Mostre que:
u  v  w  u x
uy
ux
uy
uz
u  v  w  vx
vy
vz
wx
wy
wz
  vy
T
u z    det 

 wy
 vy
u  v  w  u x det 
wy
vz 
 vx
 u y det 

wz 
wx
c.q.d.
MGattass
T
vz 
 vx
det 
wz 
wx
vy  


wy  
vz 
 vx
 u z det 

wz 
wx
vy 
wy 
vz 
 vx

det
w
wz 
 x
Produto Misto
propriedade
u  v  w  u  v w
Mostre que:
wx
wy
wz
ux
uy
uz
ux
uy
uz
u  v  w  ux
uy
u z   wx
wy
wz  vx
vy
vz
vx
vy
vz
vy
vz
wy
wz
MGattass
vx
wx
FIM
MGattass
Revisão do 2o grau
que não entrou no capítulo
MGattass
Produto de Matrizes
 a11
a
21
C  AB  
 

a n1
a12
a 22

an2
 a1q  b11
 a 2 q  b21
   

 a nq  bq1
q
cij   aik bkj
k 1
neutro:
MGattass
1 0  0
0 1

0

I

 


1
0 0
b12
b22

bq 2
 b1m 
 b2 m 
  

 bqm 
Determinante
a
A   11
 a 21
a12 
a 22 
det A  A  a11a22  a21a22
 a11
A  a 21
 a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
'
A 11
det A  A  (1) (11) a11
a 22
a 23
a32
a33
'
A 12
 (1) (1 2) a12
a 21
a 23
a31
a33
 (1)a13
'
A 13
a 21
a 22
a31
a32
det A  A  a11a22 a33  a11a32 a23  a12 a21a33  a12 a31a23  a13 a21a32  a13 a31a22
-
 a11
a
 21
 a 31
a12
a 22
a 32
-
a13  a11 a12
a 23  a 21 a 22
a 33  a31 a32
+
MGattass
-
+
+
Determinante
a
A   11
 a 21
a12 
a 22 
det A  A  a11a22  a21a12
 a11
A  a 21
 a 31
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 
a 33 
A11'
det A  A  (1) (11) a11
a 22
a 23
a32
a33
 (1) (1 2) a12
A12'
a 21
a 23
a31
a33
A13'
 (1)a13
a 21
a 22
a31
a32
det A  A  a11a22 a33  a11a32a23  a12a21a33  a12a31a23  a13a21a32  a13a31a22
caso geral:
det A  ai1ci1  ai 2ci 2   aincin , i  1, n
ci , j  (1)
MGattass
(i  j )
det M ij
O(n!)
Inversa
A1  AA1  A1 A  I
inversa:
a
A   11
a21
a12 
a22 
A1 
1
a11a22  a21a12

 a11
A  a21
a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
aij1 
A 1 
a 22
a 23
a32
a 21
a33
a 23
1

A a31
a
 21
a31
1
(1)i  j M ji
A
 a22  a12 
 a

 21 a11 
a33
a 21
a32



a12
a13
a32
a11
a33
a13
a31
a11
a33
a13
a31
a33



a12
a13
a12
a11
a13
a13
a31
a11
a33
a12
a 21
a 22
O(n!)
solução de sistemas de equações lineares:
AX  B  X  A1B
MGattass
Exercício: inversa
 3
 2
M 0
 1
  2
det(M)  3
M
MGattass
adj
 3
 2
 0
 1
 2
0
1
0
2

2 
0 
3 
2 
1
1 3
0
1
0
2
M 1  ?
M 1 
1
M adj
det(M)
 0  0  ( 1  1 1  0  0)  1
2 2
 1 
2
0 
3 
2 
M adj
 3
 2
 0
 1
 2
0
1
0
 1 
2
0 
3 
2 
Decomposição de matrizes
Decomposição LDU:
1 0 0
L  * 1 0
* * 1
A  LDU
O(n3)
 a 0 0
D  diag(a, b, c)   0 b 0
 0 0 c 
1 * *
U  0 1 *
0 0 1
Determinante:
A  L D U  1 D 1   dii
O(n3)
i
Ou seja para n pequenos (≤4) podemos utilizar as fórmulas
diretas, mas para n maiores devemos primeiro fazer uma
decomposição tipo LDU.
MGattass