Matrizes e Determinantes
Mara Cristina Baltazar
Problematização
O iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido
várias cores nas prateleiras dos supermercados,
dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de
marcas, cores, sabores e consistência é grande. Os iogurtes
fornecem proteínas, vitaminas A, D e E, cálcio e fósforo.
Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que
dificilmente ultrapassam 5% de gordura, fator muito
observado pelos usuários, principalmente os que cultuam
as formas de um corpo ideal, baseando nas proporções
divulgadas pela mídia, e também os que seguem prescrição médica.
<http//saúde.abril.com.br/livre/speciais/especial_gordura/1209pop2.html.>
Acessado
em
29/09/04(adaptado)
Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral ou
com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz;
Os teores de magnésio e sódio, presentes em 100 ml de iogurte feito com leite integral
ou com leite desnatado, estão representados pelas variáveis x, y, z, t na matriz;
Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:
a) A quantidade de magnésio encontrada em 100ml de leite desnatado e a quantidade de
sódio encontrada em 100 ml de leite integral.
b) A matriz representada pela soma do triplo da matriz M e de da matriz oposta de M.
Historicização
Matrizes
Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821 em Richmond na Inglaterra. Vindo de uma
família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém em 1835
ingressou no King´s College School onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente.
Em 1838 começou seus estudos no Trinity College em Cambridge onde se graduou em 1842.
No período em que era estudante conheceu James Joseph Sylvester, também um ícone da
álgebra britânica. Como ambos pesquisavam as mesmas áreas, tornaram grandes amigos. E foi nessa
época então que Cayley, 1855 escreveu um artigo usando os termos Matriz (termo este que já teria
sido usado por Sylvester a cinco anos antes) salientando que como pela lógica a noção de Matriz
antecedesse a de Determinantes o que historicamente não era correto, pois os Determinantes já eram
usados na resolução de sistemas lineares muito antes da criação das matrizes. Os chineses alguns
séculos antes de Cristo já resolviam sistemas de equações lineares por processos em que está
implícita a ideia de matriz.
Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a notação no estudo de
transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por exemplo, a observação feita por ele do
efeito de duas transformações sucessivas sobre uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de
multiplicação de matrizes (linhas por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava
da propriedade comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propôs, ainda que resumidamente, a ideia de
matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de adição de
matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas propriedades.
Chamamos de matriz do tipo m
xn
(Lê-se “m por n”) a toda tabela constituída por m x n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas em forma de tabela
de dois modos diferentes: usando-se parêntese ou colchetes.
Exemplos:
1
3
1x2
1 
 2  2x1
 
1
2

 4
4
6
0
0
2
4
3x3
Tipos de matriz:
Matriz retangular: m≠n (número de linhas é diferente de números de coluna)
2
3

1
2
0
2x3
1
Matriz linha: m=1
1
3
1x2
Matriz coluna: n=1
1 
 2  2x1
 
Matriz nula:
Quando todos os elementos da matriz são zeros.
0 0

0 0 2 x 2
02 = 
Matriz Quadrada:
Uma matriz quadrada do tipo mxm é dita de ordem m :
Assim :
m=n
3
7

(número de linhas é igual ao número de coluna)
2
2x2
0

Matriz Triangular
Matriz Diagonal
Quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos.
4 0 0
0 2 0


0 0 3
Matriz Identidade
É uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são todos 1, e os
elementos fora da diagonal principal são todos 0.
Importante a matriz identidade é elemento neutro do produto de matrizes.
Matriz Oposta
É quando se obtém trocando os sinais dos elementos de A. Identificamos por –A
Exemplo:
 3 2

A=  7
0

 3  2

- A=  7
0

Matriz Transposta
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = coluna da outra
Matriz Simétrica
Quando uma matriz quadrada A é igual à sua transposta At (A=At), dizemos que A é uma matriz
simétrica.
1 2 3 
1 2 3 
A  2 0 4 que é igual A t  2 0 4
3 4 6
3 4 6
Igualdades de Matriz
Representação genérica:
Uma matriz A do tipo 3x3 é representada genericamente por:
 a11 a12 a13 
a a a 
 21 22 23 
 a31 a32 a33  3x3
Podemos também representar por A= ( a ij ) 3x3 em que i e j indicam, respectivamente, a posição
da linha e da coluna
aij .
Exemplo:
2

4
2

0

6
3
8
2
1
a11  2 a12  8 a13  0
a21  4 a22  2 a23  6
a31  2
Assim:
a13
 a11 a12
a
a 23
 21 a 22
 a31 a32
a33




a m1 a m 2 a m3




a1n 
a 2 n 
a3n 
 

a mn 
a32  1
a33  3
Operações com Matrizes
Adição
A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a matriz, também de mesma ordem,
obtida com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B.
Sendo as matrizes A  (aij ) m x n e B  (bij ) m x n , a soma de A e B é a matriz
A+B = (aij  bij ) m x n
Exemplo:
Dadas a matrizes:
 1 0 3
A


4
7
2


Assim temos;
2 3 1 
B

5
0

2


Propriedades da Adição:
Considerando matrizes de mesma ordem, são validas as seguintes propriedades:
P1
Comutativa:
A + B = B+A
Exemplo:
Dadas as Matrizes:
1
A
8
2 
 4

3
B
7
e
5
8

É valido que:
AA
+
+
B
B
1
3 53
1 2 2 
AA 8  4  B  B

7 87



8

4



 4 47 7
15

  4 
15
4
=
5
=
8

=
B
=
+
3 5
B

= 7 8
=
A
B
+
1 52 
3
B 
A

78 8
4


 4 7
15 4


4
15

A
1
A
8
7
4

2 
 4

P2 Associativa
A + (B + C) = (A + B) + C
Dadas as matrizes:
4  1
C

5
3


3 5
B

7
8


1 2 
A

8

4


É válido que:
A
+
A
(B
+
+
(B
C)
+
=
C)
=
1 2   3 5 4  1 
 1=
A  1 2 +   3  5 4  

7
8
5
3
8

4
A  
 +
         
8  4  7 8 5 3  
1 2 
7 4
+
8  4


1 2  12 711 4 

 + 

8  4
8
20
 8
20 7


A
+
B)
+ C
(
A
+
B)
+
C
 1 2  3 5  4  1
   1  2    3  5  4
 8  4

    7  8  5  3
=
 8  4
=
=
12 11
6
76
(
=
=
7 8 
 1

5 3 
4  1
 4 7
+


15 4

  4 5 7  3   4

 + 
15 4
 8 6
20 7

 8
 1

5 3 
6
20 7


P3 Elemento simétrico
A matriz oposta da matriz A de ordem m x n é a matriz –A de ordem m x n, cujos
elementos de mesma posição são simétricos.
A + (- A) = 0
seja a matriz:
1 2 
A

8

4


É válido que:
A
A
+
+ (-A) (-A) = 0
= 0
1 1 2  2   1  12  20 00 0
8   4  8  4   0 0

8

4

8
4
0
0
 
      

P4 Elemento neutro
A+0=A
1 3 
A

é válida que:
5

2


1 3  0 0 1 3 
5  2  0 0  5  2

   

Subtração de matrizes
A diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela
adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja:
A–B= A+(-B)
A–B= A+(-B)
 1 0 3
2 3 1 
A
B



4
7
2
5
0

2




Multiplicação de um número real por uma matriz
O produto de um número real K por uma matriz A é obtido pela multiplicação de cada elemento
da matriz A por esse número real K.
Exemplos:
Propriedades
P1= (∝ +𝜷). 𝑨 =∝. 𝑨 + 𝜷. 𝑨
P2= ∝. (𝑨 + 𝑩) =∝. 𝑨+∝. 𝑩
P3= ∝. 𝜷. 𝑨 = ∝. 𝜷 . 𝑨
P4=1. A = A
Multiplicação de matrizes
Para a multiplicação entre matrizes precisamos de uma técnica mais elaborada do que as
que vimos até agora.
Primeiro observamos que só definimos o produto de AB de duas matrizes quando o
número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto
de AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B:
a)
Dadas as matrizes
3
A
5

1
2
0

4
3 x 2
e
3
B
6
1
2
2 x 2
Vamos determinar AB.
Como A é uma matriz 3 x 2 e B é uma matriz 2 x 2, o número de colunas de A é ig:ual
ao número de linhas de B; assim, está definido o produto AB, que será uma matriz 3 x 2, isto é:
11
cc11


AB cc21
AB
 21
 31

cc31
.322
 21 7 7 
cc12
33
.3
.6.6 33
.1.1
2.22.2  21
12
33 22 3 1



3
1
 5.3  0.6 5.1  0.2  15 5
  55 00..
cc22
 
5.3  0.6 5.1  0.2   15
5 
22  







 66 22








.344
2

cc32
.3
.6.6 11
.1.1
4.42.
32
1
 
27 9 
 
11 44

1

 27
9 
Propriedades da multiplicação
P1 Associativa
(A . B) . C = A . (B . C)
Exemplo:
 0
A
 6
2
3
1
B
2
3
5
1
C
2
3
1
(A . B) . C =
4
AB  
0
10 
1
.
C

2
 3

3  24


1  6
22
 3
A . (B . C)
 0
A
 6
2 
6 
7


.  BC 



3 
12 11 
 24
 6

22
 3
P2 Distributiva
(A + B) . C = A . C + B . C
C . (A + B) = C . A + c B
Exemplo:
 0 2
A


6
3


1 3
1 3
B
C


2
5
2
1




P3 Elemento Neutro
A m x n . In = A
Exemplo:
 0 2
A


6
3


1 0
B

0
1


Temos que A.B = A
P4
(K . A m x n) . B m x p = A . (K . B) = K . (A . B), com K ∈ Reais.
Exemplo:
 0 2
A

 6 3
1 3
B

2 5
P5
t
t
t
(A m x n . B n x p) = B . A
Exemplo:
 0 2
1 3
A
B 

 6 3
2 5
Observação importante
A propriedade comutativa não é válida para a multiplicação de
matrizes.
Em geral
A.B≠B.A
Exemplo:
Dadas as matrizes:
 0 2
A


6
3


1 3
B

2
5


4 10
  12 11
A.B  
 B. A


0
3

30
19




Determinantes
O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley. A
definição de determinantes é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz (16461716) e teria sido realizada em 1963.Mais tarde, em 1750, o matemático e astrônomo
suíço Gabriel Cramer (1704-1752) publicou a solução de sistemas lineares através da
“Regra de Cramer”
Em1683, paralelamente a Leibniz, o Oriente resolvia sistemas lineares por
intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje.
No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandemonde e Laplace,
deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidado no século XIX por
Cauchy e Jacobi.
O francês Pierre Laplace (1749-1827) viveu num século em que a Europa
respirava o clima revolucionário, em particular seu país de origem envolvido com a
Revolução Francesa.
O clima de guerra leva a Igreja e o Exército a chamar a seus homens da ciência,
Laplace, por exemplo, foi um dos matemáticos indicados por Napoleão para ocupar
postos administrativos.
No conjunto de suas realizações, Laplace contribuiu de forma significativa para a
Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a
mecânica celeste. Nesse percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que
acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de
potencial. Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo.
Determinantes
Determinante de uma matriz é um número real que associamos a essa matriz
segundo algumas regras.
Notação: sendo a matriz
1 3
1 3
A= 
, o seu determinante é indicado como det A =
.

7 8
 7 8
 Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem
A= a11 
det A= a11
Exemplos:
a) A = (6) det A = 6
ou
A= 61x1 é det A = 6
b) B = (-9) det B = -9
ou
A=  91x1 é det A = -9
 Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem
 a11 a12 
O determinante da matriz A = 
 , é o número real obtido através do produto dos
a
a
 21 22  2 x 2
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária:
Det A =
a11
a12
a21
a22
 a11 . a22  a12 . a21
Exemplos:
1 2 
Determinante da matriz B = 
é
9
4


det B = 1.9 – 2.4
det B = 9 – 8 , det B = 1
det B
1 2

4 9
 Determinante de matrizes quadradas de ordem n, n=3,
Esse cálculo do determinante pode ser feito empregado um processo denominado regra
de Sarrus.
 a11

A = a 21
 a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33  3 x 3
1º Passo: Escrevemos a matriz e repetimos a 1º coluna e a 2º coluna à direita da
3º coluna:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
2º Passo: Efetuamos a adição algébrica dos produtos dos elementos indicados
pelas setas conforme o esquema:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Det A = a11. a22 . a33  a12 . a23 . a31  a13 . a21. a32  a13 . a22 . a31  a11. a23 . a32  a12 . a21. a33
Det A = a11. a22 . a33  a12 . a23 . a31  a13 . a21. a32  a13 . a22 . a31  a11. a23 . a32  a12 . a21. a33
a)
1 2  3


2
A= 4 5


1 0 4 
1 2 31 2
Det A =
4 5
2 4 5
1 0
4 1 0
Det = 1.5.4+2.2.1+(-3).4.0 - (-3).5.1-1.2.0-2.4.4
Det = 20+4-0+15-0-32
Det= 24-17=7
b)
1 2 0 


B= 2 5 0


1 2 3
1 2 01 2
Det B=
Det=(1.5.3)+(2.0.1)+(0.2.2)-0.3.1)-1.0.2)-(2.2.3)
Det B = 15+0+0-0-0-12
Det B= 3
2 5 02 3
1 2 31 2
Propriedades dos determinantes
Matriz Inversa
Considerando A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A-1 é
inversa de A se, e somente se, A . A-1 = I n e A-1 . A = I n
A.A-1=A-1.A= In
Condição de uma matriz ser invertível:
Uma mátria só admite inversa se o seu determinante for diferente de zero.
𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎.
𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴.
Onde :
𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
Exemplo
Determine caso exista a inversa da matriz dada.
3 1
A

5
2


Resolução:
Se existir a matriz inversa da matriz A é do tipo:
a b 
X 

c d 
tal que A . X = I2, ou seja
3 1 a b  1 0  3a  c 3b  d  1 0
A . X  I2  
.








5 2 c d  0 1 5a  2c 5b  2d  0 1
Da igualdade de matrizes, temos os sistemas:
3a  c  1.(2)
 6a  2c  2



 5a  2c  0
 5a  2c  0
 a  2  a  2
3a  c  1  3.2  c  1  c  5
3b  d  0.(2)
 6  2d  0


 5b  2d  1
 5b  2d  1
 b  1  b  1
3b  d  0  3.(1)  d  0  d  3
Assim temos que a matriz invertível de A:
 2  1
A

 5 3 
Prova
Boa sorte!!!
9- Referências:
Dante, Luis Roberto. Matemática, Volume único. 1ª edição, SP: Editora ática,2011.
Paiva, Manoel. Componente curricular: Matemática. 1ª edição, SP: Ed.Moderna,2005.
Barreto Filho, Benigno et al. Matemática aula por aula. 1ª edição, SP:Ed. FTD,2003.
Paiva, Manoel. Matemática Paiva.1ª edição, SP: Ed. Moderna,2009.
Acessadoemabrilde2014/LucasSpillerebarchinskihttps://www.youtube.com/watch?v=0xr8Lkt5
Anglo: ensino médio: livro texto. Vários autores - São Paulo: Ed Anglo, 2002
WINMAT, Disponível em <http://ler.vc/ditsp4>, pagina do site da Philips Exeter
Academy. Acessado em (10 setembro de 2014).
SOUZA, Joamir. Novo Olhar Matemática, 2ª edição, SP: Editora FTD 2013.
SILVA, Claudio Xavier et al. Matemática aula por aula, 2ª edição, SP: Ed FTD, 2005.