Eliminação de Gauss - Cálculo da
Matriz Inversa
Profa. Cynthia de O. Laga Ferreira
Métodos Numéricos e Computacionais I - SME0305
Eliminação de Gauss
Considere o sistema
Ax = b,
onde A é uma matriz quadrada de dimensão n ⇥ n cujos elementos aij são
reais ou complexos e x e b são vetores colunas de dimensão n, x é um vetor
desconhecido e b é um vetor dado.
Suponha que todas as submatrizes principais Ak são não singulares, isto é,
det(Ak ) 6= 0, para k = 1, 2, ..., n 1. O método da eliminação de Gauss consiste
em transformar o sistema dado em um sistema triangular superior equivalente
Ãx = b̃,
através de operações elementares sobre as linhas do sistema original. A solução
deste sistema é calculada usando o algoritmo de substituições regressivas.
Descrição do Algoritmo
(k+1)
Ai
(k+1)
bi
(k)
bi
(k)
(k)
(k)
Ai
mik Ak , com mik =
(k)
mik bk , k = 1, ..., n
aik
(k)
akk
,
1 e i = k + 1, ..., n
Vejamos como o algoritmo é aplicado na prática. Consideremos o caso de
uma matriz 4x4.
1. Consideremos a matriz aumentada
2
(1)
(1)
(1)
6 a11 a12 a13
6 (1)
(1)
(1)
6 a
6 21 a22 a23
6 (1)
(1)
(1)
6 a
4 31 a32 a33
(1)
a41
(1)
a42
(1)
a43
1
(1)
a14
(1)
a24
(1)
a34
(1)
a44
..
.
..
.
..
.
..
.
(1)
b1
(1)
b2
(1)
b3
(1)
b4
3
7
7
7
7
7
7
5
(1)
2. Primeiro passo m21 =
2
a21
(1)
a11
(1)
(2)
(1)
6 a11
6
6 0
6
6 (1)
6 a
4 31
(1)
2
6
6
6
6
6
6
4
(1)
a11
(2)
a22
(2)
a23
(2)
a24
(1)
a33
(1)
a43
0
a22
0
a32
(1)
a42
2
(1)
a11
(1)
6 a11
6
6 0
6
6
6 0
4
0
(2)
5. Quarto passo m32 =
2
a32
(2)
a22
(1)
6 a11
6
6 0
6
6
6 0
4
0
(1)
a44
(1)
(1)
(1)
(1)
a13
(2)
a23
(2)
a33
(1)
a43
(1)
a41
a34
(2)
(1)
a12
4. Terceiro passo m41 =
(1)
, A 3 = A3
(1)
a11
a41
(1)
a14
a42
a31
(1)
a13
(1)
3. Segundo passo m31 =
(1)
(2)
a24
(2)
a34
(1)
a44
(2)
(2)
(2)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
a14
(2)
a22
(2)
a23
(2)
a24
a33
(2)
a43
a42
(3)
(2)
a34
(2)
a44
(2)
, A3 = A3
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
b2
(1)
b3
(1)
b4
..
.
..
.
..
.
..
.
(1)
m31 b1
(1)
m41 b1
7
7
7
7
7
7
5
(2)
(1)
b1
3
(2)
b2
(2)
b3
(1)
b4
..
.
..
.
..
.
..
.
(1)
(2)
b2
(2)
b3
(2)
b4
(1)
a14
(2)
a22
(2)
a23
(2)
a24
0
a33
(2)
a43
(3)
a34
(3)
(2)
a44
(2)
..
.
..
.
..
.
..
.
(1)
(2)
b2
(3)
b3
(2)
b4
(1)
3
7
7
7
7
7
7
5
(3)
b1
(1)
7
7
7
7
7
7
5
(2)
b1
(1)
3
(1)
(2)
a13
2
(1)
b1
(2)
m32 A2 , b3 = b3
a12
a42
..
.
..
.
..
.
..
.
(1)
a13
(2)
m21 b1
m41 A1 , b4 = b4
a12
a32
(1)
m31 A1 , b3 = b3
(1)
a14
, A 4 = A4
(2)
m21 A1 , b2 = b2
a12
a32
a41
(1)
, A 2 = A2
3
7
7
7
7
7
7
5
(2)
m32 b2
(2)
6. Quinto passo m42 =
2
a42
(2)
a22
(1)
6 a11
6
6 0
6
6
6 0
4
0
(3)
7. Sexto passo m43 =
a43
(3)
a33
2
6
6
6
6
6
6
4
(3)
(2)
, A4 = A4
(1)
(1)
(2)
(1)
a12
a13
a14
(2)
a22
(2)
a23
(2)
a24
0
a33
0
a43
(4)
(3)
(2)
m42 A2 , b4 = b4
(1)
b1
(2)
b2
7
7
7
7
7
7
5
a34
(3)
a44
(3)
m43 A3 , b4 = b4
(1)
a11
(1)
a12
(1)
a13
0
a22
(2)
a23
0
0
0
0
(3)
(3)
(1)
a14
(2)
a24
(2)
a33
(3)
a34
0
a44
(3)
(4)
..
.
..
.
..
.
..
.
(3)
3
(3)
, A4 = A4
(3)
..
.
..
.
..
.
..
.
b3
(3)
b4
(4)
(1)
b1
(2)
b2
(3)
b3
(4)
b4
(2)
m42 b2
(3)
(3)
m43 b3
3
7
7
7
7
7
7
5
Função Matlab x = eliminacao_gauss(A,b)
% Resolver sistema Ax = b, usando Eliminacao de Gauss
% Input: Matriz quadrada A e vetor b.
% Output: Vetor solução x.
function x=eliminacao_gauss(A,b)
n=size(A,1);
for k=1:n-1
for i=k+1:n
m = A(i,k)/A(k,k);
A(i,:) = A(i,:) - m*A(k,:);
b(i) = b(i) - m*b(k);
end
end
x = backsub(A,b);
Exercício: Resolva o sistema abaixo pelo método da eliminação de
Gauss
0
10
1 0
1
6 2
1
x1
7
@ 2 4 1 A @ x2 A = @ 7 A
3 2 8
x3
13
3
Eliminação de Gauss X Decomposição LU
O método da eliminação de Gauss é equivalente ao método da decomposição
LU no seguinte sentido:
Denotando por [A|b](1) a matriz aumentada, o cálculo feito para a obtenção
de [A|b](2) é equivalente a multiplicar [A|b](1) por uma matriz M1 , na qual
2
3
1
(1)
6 m21 1
7
a
6
7
M1 = 6
, com mi1 = i1
, isto é,
7
..
.
(1)
..
4
5
.
a11
1
mn1
[A|b](2) = M1 [A|b](1) .
Analogamente, tem-se
2
6
6
6
com M2 = 6
6
4
[A|b](3) = M2 [A|b](2) ,
3
1
1
m32
..
.
..
.
1
mn2
[A|b](n) = Mn
7
(2)
7
a
7
. Consequentemente,
7, com mi2 = i2
(2)
7
a22
5
1 [A|b]
(n 1)
Portanto,
= Mn 1 · · · M1 [A|b](1) .
|
{z
}
A(n) = M A(1) = M A = U,
onde U é a matriz triangular superior da decomposição LU . Como M é o
produto de matrizes não singulares, M
M
1
1
existe e
= M1 1 M2 1 . . . Mn 11 .
Assim,
A=M
É fácil verificar que
4
1
U.
M
1
2
6
6
6
=6
6
4
1
m21
m31
..
.
1
m32
..
.
mn1
mn2
3
1
..
.
1
7
7
7
7 = L,
7
5
onde L é a matrix triangular inferior da decomposição LU .
Aplicação: cálculo da matriz inversa
h
.
.
.
c1 .. c2 .. c3 ..
a matriz inversa de A, onde cj é uma coluna de A 1 . Considerando que
AA 1 = I, temos
Seja A uma matriz não singular, isto é, det(A) 6= 0 e A
A
h
c1
..
. c2
..
. c3
..
.
···
..
. cn
i
=
h
e1
1
..
. e2
=
..
. e3
..
.
···
..
. en
onde ej é a j-ésima coluna da matriz identidade. Assim, calcular as colunas da
matriz inversa de A é equivalente a resolver n sistemas lineares
Acj = ej ,
j = 1, ...n.
Podemos inverter uma matriz utilizando qualquer um dos métodos estudados
até agora.
Exercícios:
1) Considere a matriz
2
Determine A
1
3
A=4 2
1
0
2
2
3
3
1 5
0
utilizando o método da eliminação de Gauss.
2) Considere o sistema
0
10
@ 7
8
Ax = b, dado por
10
1 0
1
7 8
x1
3
5 6 A @ x2 A = @ 1 A .
6 10
x3
7
Determine a inversa de A pelo método da Eliminação de Gauss e
resolva o sistema dado utilizando A 1 .
5
···
i
,
..
. cn
i