Solução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): x t f x, t xto xo • x(t) é uma função variante no tempo que depende da condição inicial xo (problema de valor inicial) Sistemas de equações diferenciais não-lineares, normalmente, não podem ser resolvidos analiticamente, assim são resolvidos numericamente. Métodos numéricos somente podem ser aplicados a EDO’s de primeira ordem (onde a ordem corresponde a derivada de mais alta ordem da equação diferencial) Métodos baseados na Série de Taylor: x t f x, t 1 1 p 2 p x tn1 x tn x tn tn1 tn x tn tn1 tn x tn tn1 tn t.a.o. 2 p! tn1 tn h h 2 h p p x tn1 x tn h x tn x tn x tn t.a.o. 2 p! h 2 h p p x tn1 x tn h x tn x tn x tn t.a.o. 2 p! x t f x, t x tn f x tn , t 0 h h x tn1 t.a.o x tn h f x tn , t f x tn , t f p! 2 2 p p 1 x tn , t x tn1 xn 1 x tn xn h2 hp xn1 xn h f xn , t f xn , t f 2 p! p 1 xn , t xn1 xn h Tpxn h h p 1 Tp( xn ) f xn , t f xn , t f 2 p! p 1 xn , t • “p” indica a ordem do método de integração A aplicação direta da Série de Taylor possui pouca precisão quando a ordem é baixa e grande complexidade e esforço computacional quando a ordem é elevada, por estas razões não é utilizada na prática. Série de Taylor para p=1: xn1 xn h f xn , tn Método de Euler Série de Taylor para p=2: h2 xn 1 xn h f xn , tn f xn , tn 2 h2 xn1 xn h f xn , tn f xxn , tn f txn , tn 2 Se a ordem da Série de Taylor aumenta também aumenta o número de derivadas e derivadas parciais, dificultando assim o uso de derivadas analíticas. A substituição de derivadas por aproximações deu origem aos métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem: xn1 xn h K4 xn , tn 1 K 4 T4 K 4 k1 2 k 2 2 k3 k 4 6 • Ki representam aproximações da função para “i’s” diferentes pontos entre tn e tn+1 k1 f xn , t n h h k 2 f xn k1 , t n 2 2 h h k 3 f xn k 2 , t n 2 2 k 4 f xn h k 3 , t n h Método derivados da Série de Taylor Estabilidade fraca são métodos de passo único, nenhuma informação de pontos anteriores a tn são requeridos são métodos explícitos, somente dependem da informação de tn para calcular tn+1. Métodos explícitos a presentam o problema de propagação do erro de truncamento, o que compromete a sua estabilidade numérica, para reduzir isso pequenos passos de integração “h” devem ser utilizados são de fácil implementação Método Multipasso: usam informação de mais de um ponto para calcular x(tn+1) x t f x, t t n1 t n1 x dt f x , t dt t tn xtn1 xtn t tn t n1 f x , t dt t tn t n 1 aproximação por um polinômio de grau “k” p t dt k tn Uma função pode ser aproximada por um polinômio de grau adequado em um intervalo finito tn tn+1. Assim, xn+1 pode ser calculado como uma função polinomial de estimativas prévias xn, xn-1,... e funções f(xn,tn), f (xn-1,tn-1), ... Método Explícitos (Adams-Bashford): obtem Xn+1 a partir de xn, xn-1, xn-2, ... Xn-k São métodos explícitos, e como tal o erro de truncamento é cumulativo; São métodos não auto-iniciáveis. Oh1 xn 1 xn h f xn , t n Método de Euler h Oh 2 xn 1 xn 3 f xn , t n f xn 1 , t n 1 2 h Oh3 xn 1 xn 23 f xn , t n 16 f xn 1 , t n 1 5 f xn 2 , t n 2 12 Método Implícitos (Adams-Moulton): obtem xn+1 a partir de xn+1, xn, xn-1, xn-2, ... xn-k+1 Os métodos implícitos não acumulam erro de truncamento, porém podem apresentar oscilações numéricas se um passo de integração adequado não for utilizado; São resolvidos iterativamente. Oh1 xn 1 xn h f xn 1 , t n 1 Método de Euler Reverso h Método Trapezoidal Oh 2 xn 1 xn f xn 1 , t n 1 f xn , t n 2 h Oh3 xn 1 xn 5 f xn 1 , t n 1 8 f xn , t n f xn 1 , t n 1 12 Método de Previsão-Correção: utilizam um par de fórmulas, normalmente o previsor é um método explícito de baixa ordem e o corretor um método implícito de ordem mais elevada. Algoritmo: 1. calcular x(o)n+1 por um método explícito 2. K=1 3. calcular f (xn+1,tn+1) 4. calcular x(k)n+1 usando um método implícito 5. se | x(k)n+1 - x(k-1)n+1 | / x(k-1)n+1 > incrementar k e voltar ao passo 3; senão calcular o próximo passo de integração
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