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Professor Mauricio Lutz
INTERVALOS
São subconjuntos de ℜ, determinados por desigualdades. Assim,
dados dois números reais a e b, com a ≤ b, tem-se:
a) Intervalo aberto
] a, b [ = {x ∈ ℜ I a < x < b}
A bolinha vazia indica que os extremos não pertencem ao intervalo.
b) Intervalo fechado
[a, b] = {x ∈ ℜ I a ≤ x ≤ b}
A bolinha cheia indica que os extremos pertencem ao intervalo.
c) Intervalo fechado à esquerda
[a, b[ = {x ∈ ℜ I a ≤ x < b}.
d ) Intervalo fechado à direita
]a, b] = {x ∈ ℜ I a < x ≤ b}
e) Intervalos infinitos
] – ∞ , a ] = {x ∈ ℜ I x ≤ a}
] – ∞ , a[ = {x ∈ ℜ I x < a}
[a, + ∞ [ = {x ∈ ℜ I x ≥ a}
]a, + ∞ [ = {x ∈ ℜ I x > a}
] – ∞, + ∞[ = ℜ
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Operações com Intervalos (União, intersecção e diferença)
Exemplo:
Dados A = {x ∈ ℜ I – 1 < x < 1} e B = [0, 5), determine:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A – B
d) B – A
Resolução:
a) [0, 1)
b) (-1, 5)
c) (-1, 0)
d) [1, 5)
Exercícios
1) Determine A ∩ B, quando:
a) A = {x ∈ ℜ I x < 3} e B = {x ∈ ℜ I 1 < x < 4}
b) A = {x ∈ ℜ I –3 ≤ x < 1} e B = {x ∈ ℜ I 0 ≤ x ≤ 3}
c) A = {x ∈ ℜ I x ≤ 5} e B = {x ∈ ℜ I x ≤ 2}
2) Determine A ∪ B, quando:
a) A = {x ∈ ℜ I 0 < x <3} e B = {x ∈ ℜ I 1 < x < 5}
b) A = {x ∈ ℜ I –4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ ℜ I 2 ≤ x ≤ 3}
c) A = {x ∈ ℜ I –2 ≤ x <2} e B = {x ∈ ℜ I x ≥ 0}
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3) Dados A = [2, 7], B = [–1,5] e E = [3, 9[, calcule:
a) A – B
b) B – A
c) A – E
d) E – B
4) Sejam os conjuntos A = [–1, 6[; B = ] –4, 2]; E = ] –2, 4[, calcule:
a) (B ∪ E) – A
5)
Considere
b) E – (A ∩ B)
os
intervalos:
A={x
/–2<x 4},
B={x /–2 x 6},
C={x /1<x 3} e D={x /2 x 5}, determine:
a) A B
b) A B
c) C D
d) C D
6) Verifique se A B ou A B nos seguintes casos:
a) A={5, 7, 11} e B={números primos}
b) A={x Ν /x+2<7} e B={x Ν /1 x<4}
c) A={x Ν /x2 –11x+18=0} e B={x Ν /x<10}
7) Dados os conjuntos A={x /1<x<5} e B={x /2<x<7}, C={x /x< –1} e
D={x /–2<x<5}, determine:
a) A B
b) A B
c) C D
d) C D
8) Resolva a equação 5x2 –12x+4=0, sendo:
a) U= Ζ
b) U = Q c) U= 9) Considere os conjuntos:
Ν , dos números naturais;
Q , dos números racionais não-negativos;
O que não expressa:
Q, dos números racionais;
, dos números reais.
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q , mas não
de Ν .
b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de Ν .
c) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não que Q .
d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.
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10) Se ao dobro de um número real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado
por 3, subtrairmos 15 e dividirmos pelo próprio número, podemos afirmar que o
resultado obtido:
a)pode ser fracionário.
b) pode ser negativo.
c) é sempre 2.
d) é sempre 6.
e) depende do número considerado.
Gabarito
1) a) {x ∈ ℜ / 1< x < 3} b) { x ∈ ℜ / 0 ≤ x < 1} c) { x ∈ ℜ / x ≤ 2}
2) a) { x∈ ℜ / 0 < x< 5} b) { x∈ℜ / –4 < x ≤ 1 ou 2 ≤ x ≤ 3} c) {x∈ℜ / x ≥ -2}
3) a) ]5,7]
b) [–1,2[ c) [2,3[ d) ]5, 9[
4) a) ] –4, –1[ b) ] –2, –1[∪]2,4[
5) a) ] –2, 4] b) [ –2, 6] c) [2, 3] d) ]1, 5]
6) a) A B b) A B c) A B
7) a) ]2, 5[ b) ]1, 7[ c) ] –2, –1[ ]2, 5[ d) ℜ
8) a) S={2} b) S={2, 2/5} c) S={2, 2/5}
9) d
10) d
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