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Professor Mauricio Lutz
FUNÇAO DO 2º GRAU
Definição
Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: ℜ → ℜ definida
por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0.
Exemplo: f(x) = x2 – 3x + 4
(a = 1, b = –3, c= 4)
Zeros da função quadrática
Raízes ou zeros da função quadrática são os valores de x para os quais
tem-se f(x) = 0.
Determinamos os zeros ou raízes da função, resolvendo-se a equação
do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
Lembre-se que:
∆ = b2 – 4 . a . c
x=
-b± ∆
2.a
(fórmula de Báskara)
Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas.
Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais.
Se ∆ < 0 , não existe raiz real.
Exemplos: 1. Determine os zeros das funções reais a seguir:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
Resolução:
x2 – 3x + 2 = 0
∆=1
x=
3 ±1
⇒ x1 = 2 ou x2 = 1
2
b) f(x) = x2 + 3x + 5
Resolução:
∆ = 9 –20 ⇒ ∆ = –11,
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raiz ℜ.
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Gráficos da função quadrática
O gráfico, de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.
O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade dessa parábola.
Assim:
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima: ∪.
Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo: ∩.
Vértice da Parábola e imagem da função do 2º grau
Vértice
É o ponto da curva correspondente à ordenada (yv) máxima ou
mínima.
V (xv, yv)
Coordenadas do vértice
⎛ b -∆⎞
v = ⎜- ,
⎟
⎝ 2a 4a ⎠
Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 3x + 2.
Resolução:
xv = –
b
3
⇒ xv =
2
2a
∆=9–8=1
yv = –
∆
1
⇒ yv = –
4
4a
⎛3 1⎞
V = ⎜ ,− ⎟
⎝2 4⎠
Imagem da função quadrática
a > 0 ⇒ Im(f) = { y ∈ ℜ | y ≥ y v } = [yv, + ∞ [
V é ponto MÍNIMO
a < 0 ⇒ Im(f) = {y ∈ ℜ | y ≤ V é ponto MÁXIMO
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∆
} = ] – ∞, yv]
4a
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Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, significa
determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.
O estudo do sinal da função quadrática depende do coeficiente
quadrática depende do coeficiente “a” e do discriminante ∆ = b2 – 4 . a . c.
Considere x1 < x2
a>0
a<0
∆>0
(x1 ≠ x2) f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2
f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2
f(x) > 0 para x < x1 ou x > x2
f(x) > 0 para x1 < x < x2
f(x) < 0 para x1 < x < x2
f(x) < 0 para x < x1 ou x > x2
a>0
a<0
∆=0
(x1 = x2) f(x) = 0 para x = x1 = x2
f(x) > 0 para x ≠ x1
f(x) = 0 para x = x1 = x2
f(x) < 0 para x ≠ x1
a>0
a<0
∆<0
(
ℜ)
raiz
F(x) > 0, ∀ x ∈ ℜ
f(x) < 0, ∀ x ∈ ℜ
Inequação do 2º grau na variável x
É toda desigualdade que pode ser escrita da seguinte forma:
ax2 + bx + c > 0;
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ax2 + bx + c ≥ 0;
ax2 + bx + c < 0;
ax2 + bx + c ≤ 0.
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Exemplo: Resolva a inequação x2 – 4x + 3 ≤ 0
Resolução:
∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 3
∆ = 16 – 12
∆=4
x’ = 3 e x” = 1
S = {x ∈ ℜ | 1 ≤ x ≤ 3}
Inequação produto e inequação quociente
1) (x – 3) . (x2 + 3x – 4) > 0
Resolução:
x–3=0
x2 + 3x – 4 = 0
x=3
∆ = 25
x1 = 1 e x2 = –4
Quadro resolução ou quadro de sinais
S = {x ∈ ℜ | - 4 < x < 1 ou x > 3}
x 2 - 8x + 12
≤0
x2 - 9
Resolução:
x2 – 8x + 12 = 0
∆ = 15
x1 = 6 e X2 = 2
2)
Quadro de sinais
S = {X ∈ ℜ | - 3 < x ≤ 2 ou 3 < x ≤ 6}
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x2 – 9 = 0
∆ = 36
x1 = 3 e X2 = –3
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Exercícios
⎛ m -1 ⎞ 2
1) Dada a função y = ⎜
⎟ x + x + 4, calcule m ∈ ℜ , de modo que a parábola
⎝ m + 2⎠
tenha a concavidade voltada para cima.
2) Calcule as ordenadas do vértice, verifique se é ponto de máximo ou de mínimo e
o conjunto imagem das seguintes funções:
a) y = x2 – 2x – 3
b) y = – x2 + 4
c) y = 2x2 – 4x + 4
3) Determine a e b, para que a função y = ax2 + bx + 3 tenha vértice V (2, – 1).
4) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x2 – 4x + m
seja – 1.
5) Determine os zeros ℜ das funções:
a) y = x2 – 4x – 5
b) y = x2 – 2x + 6
c) f(x) = x2 + 2x + 1
6) Calcule k de modo que a função y = kx2 – 2x + 3 admita 2 como raiz.
7) Resolva as seguintes inequações:
a) x2 – 2x + 1 > 0
b) 2x2 + 3x + 5 ≥ 0
d) x2 – 10x + 25 > 0
e) –3x2 + 2x – 1 > 0
8) Resolva as inequações:
a) (x2 – 2x – 3) (2x2 – 5x + 2) < 0
c) (x – 3x) (–x + 2) ≥ 0
2
c) – 2x2 + 5x - 6 < 0
b) (x2 + x – 6) (x2 – 1) ≥ 0
x 2 - 7x + 10
d) 2
>0
x - 5x + 4
-x+2
e) 2
≤0
x - 3x
x2
f)
<8
x-2
Gabarito: 1) m < – 2 ou m > 1 3) a = 1 b= –4 4) m = 3
5) a) {–1, 5}
b) Ø
1
c) {–1}
6) k =
7) a) S = ℜ – {1} b) S = ℜ c) S = ℜ d) ℜ – {5)
4
1
e) S = Ø 8) a) {x ∈ ℜ | - 1 < x < ou 2 < x < 3} b) {x ∈ ℜ | x ≤ - 3 ou - 1 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2}
2
c) {x ∈ ℜ | x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 3} d) {x ∈ ℜ | x < 1 ou 2 < x < 4 ou x > 5}
e) {x ∈ ℜ | 0 < x ≤ 2 ou x > 3} f) {x ∈ ℜ | x < 2}
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