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Professor Mauricio Lutz
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos números naturais ( Ν )
São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um
processo de contagem.
Ν ={0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números inteiros ( Ζ )
É formado por todos os números naturais e por seus respectivos
opostos.
Ζ ={... – 3, - 2. – 1, 0, 1, 2, ...}
Conjunto dos números Racionais (Q)
São os números que podem ser expressos sob a forma de fração.
Q={x I x =
Exemplos: a)
5=
a
, com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *}
b
5 10
12
b) 2, 4 =
=
1 2
5
Conjunto dos números irracionais (Ir)
Consideremos um quadrado cujo lado mede 1 e calcular sua
diagonal.
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
d2 = 12 + 12 ⇒ d =
2 ⇒ d = 1,414213...
São os números decimais não exatos e não periódicos.
Conjunto dos números reais (ℜ)
É a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos
números irracionais.
ℜ= Q ∪ Ir = {x I x ∈ Q ∨ x ∈ Ir}
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Operações elementares
Adição e subtração de números racionais
Para somarmos números racionais na forma decimal devemos
colocar um sobre o outro, vírgula sobre vírgula e somar os elementos de
mesma ordem.
Para subtrairmos números racionais na forma decimal devemos
colocar o maior em cima e o menor embaixo e então subtrair e ao final atribuir
o sinal do maior deles (lembre-se de completar com zeros após a vírgula).
Exemplos:
a) 134,7
b) 2,741
c) 13,46
+61,2
+31,4
–9,10
195,9
34,141
4,36
Na soma ou subtração de números racionais na forma fracionária,
somamos e/ ou subtraímos os numeradores (através de m.m.c. deixamos os
denominadores iguais) e conservamos o denominador.
3 1
9
2 11
+
=
+
=
8 12 24 24 24
7 1 14 5
9
− =
−
=
20 8 40 40 20
m.m.c. (8, 12) = 24
m.m.c. (20, 8) = 40
Multiplicação e divisão de números racionais
Na forma decimal, temos:
a)
2,4
b) 31,7
X3
X21
7,2
317
+634
665,7
OBS.: multiplica-se sem observar a vírgula e ao final conta-se as casas após a
vírgula e coloca-se no produto.
No caso da divisão devemos “emparelhar” as casas após a vírgula e
após retirá-la, ficando apenas com números naturais o que facilita a resolução.
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Exemplos:
a) 3,41 ÷ 2
a)
3,41
b) 31,2 ÷ 4
2,00
–200
b)
1,705
31,2
4,0
–280
7,8
1410
320
–1400
–320
1000
0
–1000
0
Lembremos que toda forma decimal pode ser escrita na forma fracionária.
Toda dizima periódica é um número racional, pois pode ser escrito
na forma de uma fração, observe:
0,4444.... =
4
9
0,1414... =
14
99
0,231231.... =
231
999
Note que devemos colocar um nove no denominador para cada
digito que repetirá.
OBS.:
1,2424... = 1 + 0,2424 = 1 +
3,2777... = 3,2 + 0,0777 =
0,007777.... =
24 99 + 24 123
=
=
99
99
99
32 7 288 + 7 295
+
=
=
10 90
90
90
7
900
Potenciação
Potência é um produto de fatores iguais.
a n = a.a.a....a (n fatores)
O número real a é chamado base da potência e o número natural n é
chamado expoente da potência.
Exemplos:
a) 2 4 = 2.2.2.2 = 16
b) (−2) 3 = (−2)(−2)(−2) = −8
2
1 1 1
⎛1⎞
c) ⎜ ⎟ = . =
2 2 4
⎝2⎠
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Casos particulares
a) Toda potência de expoente 1 é igual à base.
a1 = a
Exemplo: (−3)1 = −3
b) Toda potência de expoente zero é igual a 1.
a0 =1
Exemplo: (−5) 0 = 1
c) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de
expoente positivo.
a −n =
Exemplo: 2 −3 =
1
( a ≠ 0 e n inteiro)
an
1 1
=
23 8
Propriedades das potências
a) a m .a n = a m + n
Exemplo: 2 3.2 8 = 2 3+8 = 2 11
b) a m : a n = a m − n
Exemplo: 310 : 3 2 = 310 − 2 = 3 8
c) (a m ) = a m.n
Exemplo: (7 3 ) = 7 3.4 = 7 12
d) (a.b ) = a m .b m
Exemplo: (5.3) 2 = 5 2 .3 2
n
m
4
Radiciação
Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior
que 1, temos por definição que:
n
a = b ⇔ bn = a
Lembremos que os elementos de
→ Sinal do radical;
n → Índice do radical;
a → Radicando;
b → Raiz.
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n
a = b são assim denominados:
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Exercícios
1) O valor de 8 0,66... − 9 0,5 é
a) 2
b) 1
c)
3– 2
d) –2 e) 2 2
2) Desenvolvendo a expressão
2 a .2 a
a
resulta
4 + 4 + 4a + 4a + 4a
a) 1/2ab) ½ c) 2 a – 5
a
d) 4 –2ª
e) 1/5
3) O valor numérico da expressão (9x – 27x)2 para 3x = 2, é igual
a) 4
b) 9
c) 16 d) 25 e) 26
4) Se 10x+2 = 25, então 10–x é igual a
a) 1/25
b) ¼ c) 4
d) 25/2
e) 26
5) Complete com ∈ ou ∉ .
a) – 7 ____ Ν
b)
2 ____ Q
c) 4 ____ Ζ
e)
f)
9
____ Q
4
g) 0,166.... ____ Q h)
2 _____ Ir
i) – 2 ________ Ζ
Gabarito: 1) b; 2) e; 3) c; 4) c.
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d)
1
4
_____ Ζ
3
8 _______ Ν