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Professor Mauricio Lutz
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição
Uma função f : ℜ → ℜ é função do 1º grau ou função afim se, a cada
x∈
, associa o elemento (ax + b) ∈ ℜ, com a ≠ 0.
f : ℜ→ℜ
x → y = ax + b
Exemplo: f(x) = 2x + 1, onde temos a = 2 e b = 1
⇒ Gráfico cartesiano ⇐
Para construir o gráfico cartesiano, atribuímos valores a x e calculamos y.
Nos exemplos acima, temos:
a) a = 2 (coeficiente angular) e b = 1 (coeficiente linear)
Obs: Se a > 0 f é crescente
b) a = –
1
(coeficiente angular) e b = 2 (coeficiente linear)
3
Obs: Se a < 0, a função é decrescente.
Raiz ou zero da função do 1º grau
Raiz da função f(x) = ax + b é o valor de x que anula a função, isto é,
f(x) = 0.
Algebricamente, basta resolver a equação ax + b = 0.
Geometricamente, é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da
função com o eixo x.
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Exemplo: Dada a função f(x) = 2x – 5 determine o zero da função.
Resolução:
Algebricamente
Graficamente
2x – 5 = 0
2x = 5
x=
5
2
Estudo do sinal
Estudar o sinal de uma função f(x) significa determinar para que valores
de x ∈ ao domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula, ou seja
f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0.
Exemplos: Estude o sinal das funções:
a) f(x) = 2x – 5
b) f(x) = -2x – 4
Inequações do 1º grau
Inequações do 1º grau na variável x é toda desigualdade que pode ser
escrita em uma das formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0
Exemplos: 1. Resolva as inequações:
a) 3x – 15 ≤ 0
Resolução:
3x – 15 ≤ 0 ⇒ 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5
Na reta real, podemos representar esta resposta de seguinte maneira:
S = {x ∈ ℜ | x ≤ 5}
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b) 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0
Resolução:
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 ⇒ 4x – 1 + 2 – 6x ≤ 0
–2x + 1 ≤ 0 ⇒ –2x . (-1) ≤ –1 . (–1) ⇒ 2x ≥ 1 ⇒ x ≥ ½
Na reta real, podemos representar esta resposta de seguinte maneira:
S = {x ∈ ℜ | x ≥ ½}
Inequação produto e quociente
Sejam f(x) e g(x) funções na variável x.
Podemos formar as seguintes inequações produto:
f(x) . g(x) > 0;
f(x) . g(x) ≥ 0;
f(x) . g(x) < 0;
f(x) . g(x) ≤ 0
Podemos formar as seguintes inequações quociente:
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
> 0,
≥ 0,
< 0,
≤0
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
Para resolvê-las, estudamos a variação dos sinais de f(x) e g(x)
separadamente. O sinal f(x) . g(x) ou f(x) / g(x) é obtido através de um quadro
resumo.
Exemplos: Resolva as inequações:
a) (x – 4) (x + 2) > 0
Resolução:
Vamos estudar os sinais das funções:
f(x) = x – 4
x–4=0
x=4
Quadro de sinais:
S = {x ∈ ℜ | x < –2 ou x > 4}
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g(x) = x + 2
x+2=0
x = –2
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2x + 1
>1
x−2
b)
Resolução:
Para resolver esta inequação, vamos fazer uma pequena transformação:
2 x + 1 − ( x − 2)
2x + 1
2x + 1
x+3
>1⇒
−1> 0 ⇒
>0⇒
>0
x−2
x-2
( x − 2)
x−2
Vamos então, resolver a inequação
x+3
> 0 , com x ≠ 2.
x−2
f(x) = x + 3
g(x) = x -2
X + 3 = 0 ⇒ x = -3
x – 2 = 0 ⇒ x =2
Quadro de sinais:
S = {x ∈ ℜ | x < –3 ou x > 2}
Exercícios
1) Dada a função do 1º grau f(x) = 4x – 1, determine:
1
a) f ( )
8
b) f(–1)
c) x, tal que f(x) = 1
2) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:
a) f(1) = 5 e f(–3) = –7
b) f(–1) = 7 e f(2) = 1
3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (–2, 1) e cujo coeficiente
angular é – 4.
4) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (–3, –1) e cujo coeficiente
linear é 8.
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5) Resolva as inequações:
a) 2 x − 1 ≥ 9
d)
b) 2 x − 6 > x + 5
x + 1 1 − 3x 1 − x
≤
+
4
5
10
e) x −
c) 5 − 3x < x + 1
x − 3 5x + 7 5
−
>
2
10
4
6) Resolva, em ℜ, as inequações:
a) (− 3x + 3)(5 x − 3) < 0
b) 5 x − 2( x + 2) ≥ 1 − (3 − 4 x ) c) (2 x + 1)(− x + 2) ≥ 0
d) ( x + 2)(− x − 2) ≤ 0
e) ( x − 1)( x − 2)( x + 4) > 0
g) −
2x + 1
≤0
x−2
h)
3x − 1
≤2
x +1
i)
2x + 3
>2
x+2
f)
x−2
>0
x+3
j)
(x − 1)(x + 3) > 0
x−5
Gabarito
1. a) –½ b) –5 c) ½
2. a) f(x)= 3x + 2 b) y= –2x + 5
3. y = –4x – 7
4. y = 3x + 8
5. a) S = [5,+∞[
b) S = ]11,+∞[
c) S = ]1,+∞[
1⎤
⎤
d) S = ⎥ − ∞, ⎥
19 ⎦
⎦
e) S = ℜ
3⎡
⎤
⎡ 1 ⎤
6. a) S = ⎥ − ∞, ⎢ ∪ ]1,+∞[
b) S = ]− ∞,−2]
c) S = ⎢− ,2⎥
5⎣
⎦
⎣ 2 ⎦
d) S = ℜ
e) S = ]− 4,1[ ∪ ]2,+∞[
f) S = ]− ∞,−3[ ∪ ]2,+∞[
1⎤
⎤
g) S = ⎥ − ∞, ⎥ ∪ ]2,+∞[
h) S = ]− 1,3]
i) S = ]− ∞,−2[
2⎦
⎦
j) S = ]− 3,1[ ∪ ]5,+∞[
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