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Professor Mauricio Lutz
SISTEMAS LINEARES
Chama-se sistema linear a um conjunto formado por duas ou mais
equações lineares.
ìx - 2 y = 4
Exemplo: SL1 = í
î3x + y = 2
SL1 é um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas.
Solução e conjunto solução de um sistema linear
O conjunto solução de um sistema linear é o conjunto formado por
todas as soluções desse sistema.
OBS.: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,
b1=b2=...=bn=0 o sistema linear será dito homogêneo.
Sistemas lineares equivalentes
Se dois sistemas lineares S1 e S2 admitem a mesma solução, eles são
ditos sistemas equivalentes.
Exemplo: Calcular m e n, de modo que sejam equivalentes os sistemas:
ìx - y = 1
ìmx - ny = -1
e í
í
î2 x + y = 5 înx + my = 2
Resolução:
Cálculo do x e y:
x - y =1
2x + y = 5
3x = 6
x=2
x - y =1Þ 2 - y =1Þ y =1
Substituindo-se x e y no segundo sistema, vem:
2 m - n = -1
ì2m - n = -1
- 2m - 4n = -4
Þ
Þ n =1
í
- 5n = -5
î2n + m = 2.( -2)
2m - n = -1 Þ 2m - 1 = -1 Þ 2m = 0 Þ m = 0
Portanto n=1 e m=0.
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Exercícios
ì2 x - y = 5
ì- x + 5 y = 11
1) Verifique se os sistemas S1 = í
e S2 = í
são equivalentes.
îx + y = 7
î3 x - y = 9
2) Determine a e b de modo que sejam equivalentes os sistemas:
ìx - y = 0
í
îx + y = 2
Gabarito
1) São equivalente
ìax + by = 1
e í
îbx - ay = 1
2) b=1; a=0
Sistemas escalonados
Um sistema linear se diz escalonado (em forma de escada) se o número
e coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumentar de equação
a equação, de cima para baixo, até que restem, eventualmente, no final, equações
com todos os coeficientes das incógnitas nulos.
ìx + y + z = 4
ï
Exemplo: S1 = í0 x + y + 2 z = 5
ï0 x + 0 y + z = 1
î
Método da eliminação gaussiana
Consiste em substituir o sistema dados por outro que lhe seja
equivalente e mais simples, chamado sistema escalonado. Este método é também
chamado de método de escalonamento parcial.
ìx + 3 y - 2z = 4
ï
2y + z = 3
Exemplo: S1 = í
ï
2z = 2
î
Procedimentos para escalonar um sistema:
1. Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da primeira
variável diferente de zero;
2. Utilizando as operações elementares, anulamos todos os coeficientes da
primeira variável das demais equações;
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira equação;
4. Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se torne
escalonado,
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ì3x + 6 y + 6 z = 54
Exemplo: Resolver o sistema ïí6 x + 5 y + 4 z = 47 .
ï2 x + 7 y + 5 z = 50
î
Resolução:
ì3x + 6 y + 6 z = 54
ï
í6 x + 5 y + 4 z = 47
ï2 x + 7 y + 5 z = 50
î
3
6
6 54
6
5
4 47
2
7
5 50
1º) Multiplicar a primeira equação por
equação, substituindo nesta:
ì3x + 6 y + 6 z = 54 3
ï
í0 x - 7 y - 8 z = -61 0
ï2 x + 7 y + 5 z = 50
î
2
6
6
54
-7 -8 -61
7
5
50
2º) Multiplicar a primeira equação por
equação, substituindo nesta:
ì3 x + 6 y + 6 z = 54
ï
í0 x - 7 y - 8 z = -61
ï0 x + 3 y + z = 14
î
(-2) e adicionar com a segunda
3
6
6
0
-7 -8 -61
0
3
1
(-2/3) e adicionar com a terceira
54
14
3º Multiplicar a segunda equação por (3/7) e adicionar com a terceira
equação, substituindo nesta:
ì3 x + 6 y + 6 z = 54
ïï
í0 x - 7 y - 8 z = -61
ï
17
86
ïî0 x + 0 y - 7 z = - 7
3
6
6
54
0
-7
-8
-61
0
0 -17/7 -85/7
O sistema escalonado é:
ì3x + 6 y + 6 z = 54
(I )
ïï
í - 7 y - 8 z = -61 ( II )
ï
- 17 z = - 86 ( III )
7
7
îï
De (III), obtemos z = 5 . Substituindo z = 5 em (II), obtemos y = 3 e
substituindo esses valores em (I), teremos x = 2 .
Portando a solução do sistema é S={(2, 3, 5)}.
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Exercícios
1) Escalone e resolva os seguintes sistemas:
ì- x + y - 2 z = -9
ï
a) í2 x + y + z = 6
ï- 2 x - 2 y + z = 1
î
ì2 x - y + z = -1
ï
b) í- x - 4 y - 3 z = 2
ï3x + 3 y + 4 z = 3
î
ìx + y = 0
c) í
î2 x - 3 y = 4
ìx - y - z = 2
ï
d) í2 x - 4 y + z = 16
ï- x + 5 y + 3z = -10
î
ìx + y = 1
ï
e) í x + z = 3
ïy + z = 2
î
ìx - y = 3
ï
f) í x + y = 5
ï- 2 x + 5 y = -3
î
2) O valor da expressão A = (2 x - y ). z , onde x, y e z são soluções do sistema
ì2 x + y + 3 z = 1
ï
í 4 x + 2 y - 6 z = -2 é
ï6 x + 6 y + 6 z = -1
î
a)
2 3
3
b) -
2 3
3
c) 0
d)
2
3
e) -
2
3
3) Resolva os sistemas a seguir:
ìx + 2 y = 5
a) í
î 2 x - 3 y = -4
ì3 x - 4 y = 1
b) í
îx + 3y = 9
Gabarito: 1. a) S = {(2,-1,3)}
S = {(1,0,2)}
f) S = {(4,1)}
ìæ 9 12 9 öü
S = íç , , ÷ý
îè 5 5 5 øþ
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b) S = f
ìx + 2 y - z = 2
ì2 a - b + c = 3
ï
ï
c) í2 x - y + 3z = 9 d) ía - b + 2c = 3
ï3x + 3 y - 2 z = 3
ïa + b + c = 6
î
î
ì4 4ü
c) S = í ,- ý
î5 5 þ
2) a 3) 1. a) S = {(1,2 )}
d) S = {(1,-3,2)}
e)
b) S = {(3,2)} c) S = {(1,2,3)} d)