GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
A Definição do Plano
© antónio de campos, 2009
DEFINIÇÃO DE UM PLANO
Um plano é uma região do espaço, uma superfície plana, na qual se pode assentar
completamente um recta em qualquer direcção.
Em geometria descritiva, um plano pode ser definido pelas seguintes situações:
Três pontos não colineares (não alinhados);
xz
B2
A2
B
A
α
B2
A2
C2
C2
x
x
A1
C
C1
B1
xy
A1
C1
B1
Uma recta e um ponto exterior à recta;
xz
B2
r2
B2
A2
A2
α
B r
A
C2
C2
x
r2
A1
x
C
C1
A1
B1
r1
xy
C1
B1
r1
Duas rectas paralelas;
xz
B2
A2
r2
A2
s2
C2
α
B r
D2
C1
x
s
D
C
x
s2
D2
A
C2
r2
B2
C1
A1
D1
B1
r1
s1
A1
D1
B1
r1
xy
s1
Duas rectas concorrentes;
xz
B2
C2 A
C2
r2
A2
s2
A
α
B r
s
x
C1
C1
r2
s2
2
C
x
B2
A1
B1
r1
s1 xy
A1
B1
s1
r1
Os seus traços (que são duas rectas do plano);
xz
fα
fα
α
x
x
hα
xy
hα
Uma das suas rectas com maior declive ( rectas que fazem o maior ângulo
com o Plano Horizontal de Projecção);
xz
fα
fα
dα2
α
dα
dα2
x
x
hα
dα1
hα
xy
dα1
Uma das suas rectas com maior inclinação (rectas que fazem o maior ângulo
com o Plano Frontal de Projecção).
iα2
xz
fα
iα2
fα
α
iα
x
x
iα1
iα1
hα
xy
hα
A condição para um ponto pertencer a um plano, é se pertence a uma
recta do plano.
Os pontos A, B e C pertencem a rectas (r e s) que pertencem ao plano α,
portanto pertencem ao plano α.
xz
B2
C2 A
C2
r2
A2
s2
A
α
B r
s
x
C1
C1
r2
s2
2
C
x
B2
A1
B1
r1
s1 xy
A1
B1
s1
r1
Um plano α é definido por duas rectas oblíquas, r e s, concorrentes em P (4; 2).
A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x, e o seu
traço frontal tem 4 cm de cota. A projecção horizontal da recta s é
perpendicular à projecção horizontal da recta r, e o traço horizontal de s tem 1
cm de afastamento. Desenha as projecções de uma recta m, pertencente ao
plano α, sabendo que a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o
eixo x. A recta m é concorrente com r num ponto com 3 cm de cota.
r2
m2
F2
s2
M2
P2
N2
H2
x
F1
H1
M1
P1
r1
s1
N1
m1
Um plano δ é definido por duas rectas frontais, f e f’. A recta f passa por A (2;
2; 1) e faz um ângulo de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. A recta
f’ passa por B (-2; 3; 3). Desenha as projecções de uma recta horizontal h, com
2 cm de cota e pertencente ao plano δ.
y≡ z
f2
B2
M2
h2
f’2
N2
A2
x
f1
f’1
A1
M1
N1
B1
h1
Um plano δ é definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a passa por R (3;
2; 2) e S (-2; 1; 5). A recta b passa por T (-1; 4; 2). Desenha as projecções de
uma recta horizontal h, com 3 cm de cota e pertencente ao plano δ.
a2
y≡ z
S2
b2
h2
A2
B2
T2
R2
x
S1
A1
a1
R1
B1
T1
b1
h1