«Semi-recta é cada uma das partes em que um ponto divide uma
recta. Esse ponto chama-se origem da semi-recta»
.
Semi-recta OA
A
O
«Ângulo é cada uma das partes em que duas semi-rectas com a
mesma origem dividem o plano»
A
Ângulo convexo
<) AOB
(amplitude de AÔB = 120º) O
B
Dois pontos definem uma recta
B
r
A
Três pontos não colineares definem um plano
B
π
M. Ribeiro
A
C
1
Uma Recta com dois pontos num plano está contida nesse plano.
α
s
Q
P
Se dois planos distintos têm um ponto comum a sua intersecção é
uma recta
t
R
β
γ
Por um ponto exterior a uma recta passa* uma e uma só recta
paralela a essa recta
X
p
r
*
Dado que rectas e planos são conjuntos de pontos, a expressão
«passa pelo ponto P» significa que «P é elemento do conjunto».
M. Ribeiro
2
Modos de definir um plano
C
A
Por 3 pontos não colineares
B
r
Por duas rectas concorrentes
s
P
r
m
Por uma recta e um ponto exterior
n
Por duas rectas paralelas (sem pontos
comuns)
Q
Muitos planos distintos podem
passar por Q e R, mas por P, Q e R
só há um: designa-se PQR
P
R
M. Ribeiro
3
Posições Relativas - RECTA E PLANO
r
Um só ponto comum: r ∩ α = {P}.
Diz-se que a recta intersecta o plano
ou que a recta e o plano são secantes.
P
α
Mais do que um ponto comum:
A recta está contida no plano (r ⊂ α),
porque recta com dois pontos num
plano está contida nele.
r
α
r
Não há ponto comum à recta e ao
plano: r ∩ α = φ.
A recta e o plano são paralelos.
α
Posições Relativas - DE DOIS PLANOS
r
α
Têm uma recta comum α ∩ β = r:
Planos Secantes
β
α=β
α
β
M. Ribeiro
Tem algo mais do que uma recta comum: planos
coincidentes (é só um plano, planos sobrepostos)
Não há nenhum ponto comum aos planos,
α ∩ β = φ : Planos paralelos
4
PARALELISMO DE PLANOS
α
a
a'
Teorema: Se um plano contém duas
rectas concorrentes paralelas a outro
plano então os planos são paralelos
β
σ
α
i
β
Teorema: Se um plano corta planos
paralelos então as intersecções são rectas
paralelas
j
Teorema: Se planos distintos são
paralelos a um terceiro então são
paralelos entre si
α
β
π
r
Definição: Ângulo de duas rectas não
complanares é o ângulo de duas paralelas
às dadas que se intersectam num qualquer
ponto do espaço.
P
s
M. Ribeiro
5
PERPENDICULARIDADE DE RECTA E PLANO
Teorema: Se uma recta é perpendicular a duas rectas secantes do plano
então é perpendicular ao plano.
r não perpendicular ao plano
r
A
Distância de um ponto a um plano é a
medida do comprimento do segmento
perpendicular entre o ponto e o plano.
dA, α = med AA'
A'
α
A' designa-se projecção ortogonal de A
sobre α
PERPENDICULARIDADE DE PLANOS
α
β
M. Ribeiro
r
p
q
Teorema: Se um plano contém uma
recta perpendicular a outro plano
então os planos são perpendiculares.
6
Segmento de recta [A,B]
Sentido de A para B
B
A
Sentido de B para A
B
B
A
A
Mesmo SENTIDO
SENTIDO OPOSTO
Segmento orientado [A,B] Segmento orientado [B,A]
Mesma DIRECÇÃO
B
D
u
A
π
Y
C
X
Dado um plano π e nele um segmento orientado [A,B], chama-se vector
livre ou apenas VECTOR AB do plano π ao conjunto dos segmentos
orientados desse plano com:
a mesma DIRECÇÃO
o mesmo SENTIDO
que [A,B].
o mesmo COMPRIMEMTO
Assim,
M. Ribeiro
AB = CD = XY = u
1
v
u
u
u+v
u+v
v
p q
u
p+q
I
v
u+v
Comutativa
p
q
p+q
p+q
p+q = q+p
II Associativa
p
q
p+q
( p+q ) + r
M. Ribeiro
p
q
q
r
q+r
p
=
r
p + ( q+r )
2
III Elemento neutro
a
+ 0
=
a
a+0=0+a=a
IV Simétrico
u
v
Sendo v = –u, u + v = u + (–u ) = u – u = 0
V Norma da soma de vectores
colineares com mesmo sentido
não colineares
u+v
u
v
a
b
a+b
|| u || + || v || = || u+v ||
|| a+b || < || a || + || b ||
Em geral || u+v || ≤ || u || + || v ||
M. Ribeiro
3