Turma 3º Ano
Ensino Médio
TRABALHO DIRIGIDO - TD #2
1ª QUESTÃO
(UNIFICADO) Uma torneira alimenta um reservatório de água cujo volume, em função da
altura que o nível da água atinge, é registrado
por um cientista, o qual, com os dados obtidos,
constrói o gráfico abaixo:
Tema: FUNÇÃO DO 1º
GRAU
2ª QUESTÃO
(UFF) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos abaixo:
y
q
f
p
x
m
Volume de água  l 
n
y
179, 00
q
143, 20
g
Altura do nível
de água  cm 
0
Prof.: Leonardo Santos
p
x
6
10
Qual o percentual de aumento do volume de
água nesse reservatório quando o nível de água
varia de 6 cm para 10 cm?
a) 15% b) 18% c) 20% d) 25% e) 35,8%
m
n
y
q
h
p
x
Solução 1:
Como a questão só pede a variação percentual
do volume de água em relação a variação do
nível de água, teremos:
179  143, 20
V 
143, 20
35,80
25
V 
 V  0, 25 
 25%
143, 20
100
Solução 2:
Podemos usar uma regra de três simples e direta:
Valor
%
143, 20 — 100%
179
—
x
Transformando em uma equação:
143, 20 1
179
 x
 x  1, 25
179
x
143, 20
Representando em porcentagem:
125
x
 x  125%
100
Que corresponde ao mesmo aumento de 25%
verificado anteriormente.
Opção D
m
n
Pode-se afirmar que
a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva;
b) f é sobrejetiva, g é injetiva é h não é sobrejetiva;
c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva;
d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva;
e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva.
Solução:
Para solucionar a questão devemos saber as
definições de função injetora (ou injetiva),
sobrejetora (ou sobrejetiva) e bijetora (ou
bijetiva).
Uma função é dita injetora se, e somente se, para cada valor distinto do domínio
temos uma imagem distinta, ou seja:
x1  x 2  f  x1   f  x 2 
Isto ocorre somente para a função f,
note que para cada x entre m e n existe um y
diferente entre p e q. Portanto, f é injetora.
Para as funções g e h existem faixas de
valores em que, para valores distintos de x temos o mesmo y. Nestes intervalos as funções
são constantes. Portanto, g e h não são injetoras.
Uma função é dita sobrejetora se seu
conjunto imagem é igual ao seu contradomínio.
Turma 3º Ano
Ensino Médio
Para as três funções, temos o contradomínio sendo o intervalo [p, q].
Para encontrarmos a imagem, “projetamos” o grafico sobre o eixo y. Note que para f
e g a projeção é exatamente do tamanho do
intervalo [p, q], mas em h isto não ocorre. Portanto, f e g são sobrejetoras e h não o é.
Para que uma função seja bijetora, ela
deve ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Podemos montar um quadro:
Função
f
g
h
Injetora
Sim
Não
Não
Sobrejetora
Sim
Sim
Não
Bijetora
Sim
Não
Não
Tema: FUNÇÃO DO 1º
GRAU
Prof.: Leonardo Santos
7 5 3 
 7  15 
f  
 f 
2
2
4
8
 
2
Opção D
4ª QUESTÃO
(UERJ) A promoção de uma mercadoria em um
supermercado está representada, no gráfico
abaixo, por 6 pontos de uma mesma reta.
Valor total da compra
150
50
Opção A
3ª QUESTÃO
(UFF) Uma função real de variável real f é tal
1
que f     e f  x  1  x  f  x  para todo
2
7
x  . O valor de f   é:
2
a) 
d)
15 
8
b) 7 
e)
c)

2
 7
15
Solução:
1
A única informação que temos é f     .
2
1
Fazendo x  na expressão f  x  1  x  f  x 
2
:
1  1 1
f   1   f  
2  2 2

3 1
3
f   f 
2
2
2
2
 
 
3
Fazendo agora x  :
2
3  3 3
f   1   f  
2  2 2
5 3 
5 3 
f  
f 
4
2 2 2
2
5
Fazendo x  :
2
5  5 5
f   1   f  
2  2 2
0
5
20
30
Quantidade de
unidades compradas
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria,
na promoção, pagará por unidade, em reais, o
equivalente a:
a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00
Solução:
Como os pontos estão todos sobre a mesma reta,
podemos considerar o gráfico como uma função
afim, ou seja:
y  ax  b
Temos os pontos  5,150  e  30,50  pertencetes ao gráfico, então:
150  5a  b

 50  30a  b
Subtraindo a primeira equação da segunda:
150  50  5a  30a  b  b
100  25a
a  4
Observação: Repare que a deve ser negativo,
pois a função é decrescente.
Substituindo em uma das equações:
150  5   4   b
b  150  20  b  170
Voltando à função e fazendo x  20 :
y  4x  170  y   4   20  170
y  90
Para calcular o preço unitário p devemos dividir
o preço total pelo número de unidades compradas:
90
p
 p  4,5
20
Opção A
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5ª QUESTÃO
(UNIRIO) Seja f :

onde b  .
1
x  y   xb
2
Sabendo-se que fof  4   2 , a lei que define
f 1 é:
1
a) y   x  2
2
c) y  2x  4
e) y  2x  8
1
b) y   x  3
2
d) y  2x  6
Solução:
Da definição de f do enunciado temos que:
1
f x   x  b
2
Então:
1 1

f f  x      x  b   b
2 2

f x
Calculando f  f  4   :
1  1 

f  f  4       4  b   b
2  2 

1
f  f  4      2  b   b
2
b
b
f  f  4  1   b  f  f  4  1 
2
2
Do enunciado:
b
1  2
2
b
1 b  2
2
Portanto, teremos que f é definida por:
1
f x   x  2
2
Queremos sua inversa. Trocamos então x por y
e isolamos y:
1
y   x2
2
1
x   y2
2
Isolando y:
1
x  2   y   y  2x  4
2
y  2x  4
Opção C
Tema: FUNÇÃO DO 1º
GRAU
Prof.: Leonardo Santos