Função
1. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações:
I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ ∅
II. {2} ⊂ S\ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}
III. Existe uma função f : S Æ T injetiva.
IV. Nenhuma função g : T Æ S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
(A) apenas I.
(B) apenas IV.
(C) apenas I e IV.
(D) apenas II e III.
(E) apenas III e IV.
2. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D Æ D uma função dada por f(x) =
x +1
. Considere as afirmações:
x −1
I. f é injetiva e sobrejetiva
II. f é injetiva, mas não sobrejetiva
⎛1⎞
⎝x⎠
III. f(x) + f ⎜ ⎟ = 0,para todo x ∈ D, x ≠ 0
IV. f(x) . f(–x), para todo x ∈ D
Então, são verdadeiras
(A) apenas I e III.
(B) apenas I e IV.
(C) apenas II e III.
(D) apenas I, III e IV.
(E) apenas II, III e IV.
3. (ITA 2003) Considere uma função f : IR Æ IR não- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), ∀ x, y ∈ IR.
Das afirmações:
I. f(x) > 0, ∀ x ∈ IR.
II. f(nx) = [f(x)]n, ∀ x ∈ IR, ∀ n ∈ IN*.
III. f é par.
é (são) verdadeira(s):
(A) apenas I e II.
(B) apenas II e III.
(C) apenas I e III.
(D) todas.
(E) nenhuma.
4. (ITA 2003) Mostre que toda função f : IR \ {0} Æ IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par.
5. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por:
f(x) =
Então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a
(A) a + b.
(B) a + c.
(C) c.
(D) b.
(E) a.
ax + b
, –c < x < c.
x+c
6. (ITA 2009) Seja f: IR → IR \ {0} uma função satisfazendo às condições:
f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y ∈ IR e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ IR \ {0}.
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f (0) =1.
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x ∈ IR.
é(são) falsa(s) apenas
(A) I e III.
(B) II e III.
(C) I e IV.
(D) IV.
(E) I.
7. (ITA 2009) Seja f : IR \ {–1} → IR definida por f(x) =
2x + 3
x +1
a) Mostre que f é injetora.
b) Determine D= {f(x), x ∈ IR \ {−1}} e f −1 : D → IR\ {−1}.
8. (ITA 2001)
Se
f : ] 0,1 [ → IR é
tal que, ∀ x ∈ ] 0, 1[ ,
f (x) <
desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é:
1 1
(A) f ( x ) + n <
2
2
1
1
(B) n ≤ f ( x ) ≤
2
2
1
1
(C) n
< f (x) <
2
2 +1
1
(D) f ( x ) > n
2
1
(E) f ( x ) < n .
2
9. (ITA 1999) Sejam f, g, h: R → R funções tais que a função composta
h o g o f:R → R
é a função identidade. Considere as afirmações:
I– A função h é sobrejetora.
II– Se xo ∈ R é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0 para todo x ∈ R com x ≠ x0.
III– A equação h(x) = 0 tem solução em R.
Então:
(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
(C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
(D) Todas as afirmações são verdadeiras.
(E) Todas as afirmações são falsas.
1 ⎛ ⎛ x ⎞ ⎛ x +1⎞⎞
1
e f(x) = ⎜⎜ f ⎜ ⎟ + f ⎜
⎟ ⎟ então a
4 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
2
n
10. (IME 2006-2007) Seja f : N→IR uma função tal que
∑f (k) = 2008 ((nn ++ 12)) , onde N e IR são, respectivamente, o
k =0
conjunto dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de
1
.
f (2006)
11. (IME 1995-1996) Seja f uma função real tal que
1
∀ x, a ∈ IR : f(x + a) =
+ f ( x ) − [f ( x )]2 , f é periódica? Justifique.
2
12. (IME 1992-1993) Considere uma função L : IR+ Æ IR que satisfaz:
1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 < x < y tem-se L( x ) < L( y) ;
2. L( x ⋅ y) = L( x ) + L( y) para quaisquer x > 0, y > 0.
Mostre que:
a) L(1) = 0;
b) L(1/x) = - L(x) para todo x > 0;
c) L(x/y) = L(x) – L(y) para quaisquer x, y > 0;
d) L(xn) = nL(x) para todo x > 0 e natural n;
e) L
( x ) = n1 L(x) para todo x > 0 e natural n;
n
f) L(x) < 0 < L(y)
sempre que 0 < x < 1 < y.
13. (IME 1986-1987) Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por:
h : IR 2 → IR 2
( x, y) a ( x 3 , x − f ( y))
Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que
g o h ( x , y) = ( x , y)
h o g( x, y) = ( x , y) , ∀ x , y ∈ IR.
14. (IME 1982-1983) Seja F o conjunto das funções de IR em IR que satisfazem f(xy) = f(x) + f(y). Dados f ∈ F e a ∈ IR
define-se a função ga: IR Æ IR tal que ga(x) = f(ax) – f(x).
a) Mostre que f(1) = 0; ∀f ∈F.
b) Mostre que ∀a ∈ IR, ga é função constante.
Obs: Para o item (b), desenvolver ga (xy) e leve em conta o item (a).
15. (OM) Determine todas as funções f : R\ {0} → R satisfazendo
1
⎛1⎞
f (− x ) + f ⎜ ⎟ = x para todo x ∈ R\ {0} .
x
⎝x⎠
16. (OM) Determine o valor da expressão
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ 1999 ⎞ ⎛ 2000 ⎞ ⎛ 2000 ⎞
⎛ 2000 ⎞
f⎜
⎟ + f⎜
⎟ + ⋅⋅⋅ + f⎜
⎟ + f⎜
⎟ + f⎜
⎟ + ⋅⋅⋅ + f⎜
⎟
⎝ 2000 ⎠ ⎝ 2000 ⎠
⎝ 2000 ⎠ ⎝ 2000 ⎠ ⎝ 1999 ⎠
⎝ 1 ⎠
supondo que f (x ) =
x2
1+ x2
.
17. (OM) Determine todas as funções f : R → R que satisfazem a
f (f ( x ) + y ) = f ( x 2 − y ) + 4 f ( x ) ⋅ y
para todos os números reais x e y .
18. (OM) Sejam f e g duas funções reais de variável real não constantes, tais que:
a ) f ( x + y) = f ( x ) ⋅ g ( y) + g ( x ) ⋅ f ( y)
b ) g ( x + y ) = g ( x ) ⋅ g ( y ) − f ( x ) ⋅ f ( y)
Quais os possíveis valores de f (0) e g(0) ?
19. (OM) Seja
f : IN → IN
Tal que
1. f (3) = 1
2. f (3n ) = n + f (3n − 3) , n > 1.
Determine f (2010) .
20. (OM) Se para todo x, f ( x ) =
2
x
4 +2
. Calcule o valor da expressão
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎛ 2000 ⎞
f⎜
⎟+ f⎜
⎟+f⎜
⎟ + ... + f ⎜
⎟
⎝ 2001 ⎠
⎝ 2001 ⎠ ⎝ 2001 ⎠ ⎝ 2001 ⎠
21. (OM) Determine
f : IR \ {−1,0,1} → IR
tal que
(f (x ) )2 ⋅ f ⎛⎜ 1 − x ⎞⎟ = 64x
⎝ 1+ x ⎠
22. (SEI) Seja
f : IR + → IR
x a f (x) =
1
x + x +1
99
Determine
∑ f (k ) .
k =1
23. (SEI) Seja
f : IR + → IR
x a f (x) =
99
Determine
∑ f (k ) .
k =1
1
( x + 1) ⋅ x + x ⋅ x + 1
Gabarito
1. B
2. A
3. A
4. \
5. E
6. E
7. \
8. E
9. D
10. \
11. Sim, f ( x + 2a ) = f ( x ) , ∀ x ∈ IR.
12. \
13. \
14. \
15.
f : IR * → IR
x a f (x) =
16. 1999 +
x 3 +1
2⋅ x
1
2
17.
f : IR → IR
x a f (x) = x 2
ou
f : IR → IR
x a f (x) = 0
18. f (0) = 0 e g (0) = 1
19. 224.785 .
20. 1000
21.
f : IR \ {−1,0,1} → IR
x
22. 9
9
23.
10
a f (x) = 4 ⋅ 3 x 2 ⋅
1+ x
1− x