Matemática Elementar III – Funções
Solução:
De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, com
a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b).
TEMA 03
Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos,
então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer dos
casos a2 ≠ b2 ⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva.
FUNÇÕES INVERSÍVEIS
Dados dois conjuntos S e T não-vazios, pode
existir uma função f : S → T tal que f seja injetiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamada
uma função bijetiva ou bijetora ou uma bijeção.
Afirmo que f é sobrejetiva.
De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelo
menos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b.
Essa definição sugere uma certa simetria em
relação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a definição fala de uma função bijetiva f de S para T.
Mas, nesse caso, também existe uma função
bijetiva de T para S, e essa função será chamada de a inversa de f, sendo usualmente denotada por f−1.
Tome a =
. Sendo assim, f(a) = a2 = (
= b, para qualquer b ∈ IR+.
)2
Assim, concluímos que f é sobrejetiva.
Exemplo 3:
Na expressão
não podemos atribuir o
Vamos mostrar, em seguida, que se f : S → T
é bijetiva, então existe g : T → S bijetiva.
valor 2 para x, pois teríamos
Demonstração:
consiste em uma impossibilidade matemática.
De fato, como f é bijetiva, em particular f é
sobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t de
T, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f é
também injetiva, s é único; isto é, s é o único
elemento de S com a propriedade de que f(s)
= t. Ou seja, não existe ambigüidade em levarmos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esse
elemento s será chamado g(t). Essa regra
associa cada elemento de T num único elemento de S, em outras palavras, define uma
função g: T → S. Esta função é chamada a
inversa de f e é comumente denotada por f−1.
Assim, para que a fórmula
que
possa repre-
sentar uma função, teríamos de eliminar a possibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, pode
ser definida f : IR – {2} → IR, tal que
f(x) =
é uma função bem definida. Nesse
caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é o
contradomínio.
A função f definida acima é injetiva?
Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, com
x ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), isto
Exemplos
significa que
Exemplo 1:
(x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3x
= 3y, que resulta em x = y, que é uma contradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímos
que a função é injetiva.
Seja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver que
g é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g?
Solução:
=
, ou seja,
f é sobrejetiva?
Considere t um elemento de Z.
Sabemos que g−1(t) = x, tal que g(x) = t. Mas,
g(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6.
Assim, g−1(t) = t + 6, para todo t ∈ Z.
Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. De
fato, se 1 = f(s) =
teríamos 3 = 0, que é
uma contradição.
Exemplo 2:
Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal que
Afirmo que a função f: IR+ → IR+ definida por
f(x)= x2 é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobrejetiva.
g(x) =
. Pelo que vimos acima, g é injeti-
va e sobrejetiva.
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