Módulo 2 – Funções I ­ Definição Box: O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. No módulo anterior foram apresentados os principais conceitos envolvendo a teoria dos conjuntos. Nessa seção veremos que, constituí grande interesse, estudar como é possível transformar certos conjuntos numéricos em outros conjuntos numéricos. Essas transformações são de grande utilidade, seja do ponto de vista teórico ou na aplicação a problemas práticos em economia ou administração. A título de exemplo, suponha que estejamos interessados em relacionar nível educacional (anos de estudo) e padrão salarial. A tabela abaixo exemplifica os resultados de um estudo hipotético sobre padrão salarial. Anos de Estudo Salário 4 400 5 500 6 600 7 700 8 800 9 900 10 1000 11 1100 12 1200 13 1300 14 1400 15 1500 16 1600 Se definirmos A como sendo o conjunto que contém os anos de estudo e B o conjunto dos correspondentes padrões de salário, vemos que existe uma relação entre os conjuntos A e B , de maneira que, para cada nível de instrução corresponde um nível salarial. Indo mais além, é possível observar que a relação entre A e B é regida por uma regra explícita, segundo a qual, o salário corresponde a cem vezes os anos de estudo. Se
fizermos x representar os anos de estudo e y o salário então os fatos acima podem ser colocados da seguinte forma: para cada x Î A correspond e um y Î B tal que y = 100 x Em termos matemáticos, a sentença acima estabelece que existe uma relação funcional entre os conjuntos A e B . Essa relação funcional por sua vez obedece a uma regra explícita em que os anos de estudo são multiplicados por cem. A figura abaixo ilustra a sentença acima: A B
x y = 100x No exemplo acima o conjunto A é denominado o domínio, o conjunto B o contradomínio e a regra de associação é comumente simbolizada por y = f ( x ) , onde f ( x ) significa que para cada x Î A existe uma ação f que transforma x em y . De posse dos elementos acima, podemos agora definir rigorosamente uma função: Uma função corresponde a uma tripla de objetos ( A , B , f ) , em que A é denominado domínio da função, B o contradomínio da função e f uma regra que associa a cada elemento em A , um e somente um elemento em B . É importante atentar para a última parte da definição “...cada elemento A em um e somente um elemento em B ...”. Qualquer regra de associação que faz corresponder a um elemento no domínio dois ou mais elementos no contradomínio, não pode ser chamada de função. As figuras abaixo mostram o que pode e o que não pode ser chamado de função. A B a ¦(a )
b ¦(b)
c
¦(c)
É uma função A B a ¦(a )
b ¦(b) c
É uma função A B a ¦(a )
¦(b)
c
¦(c)
Não é uma função A notação comumente utilizada para função é a seguinte: f : A ® B ou x Î A a f ( x ) Î B Observe que, dados o domínio e o contradomínio a definição da função fica a mercê da regra de associação. Por esta razão, existem tantas funções quantas regras possíveis de associação entre dois números, ou seja, existe um número incontável de funções possíveis. Em nosso estudo sobre funções consideraremos sempre que ambos, domínio e contradomínio são subconjuntos ou o próprio conjunto dos números reais. Vejamos alguns exemplos de funções . Exemplo 1: Definiremos a função f : A ® B pondo: f ( x ) = x Ou seja, na regra escolhida a cada elemento no domínio corresponde exatamente o mesmo elemento no contradomínio. Essa função e comumente chamada de função identidade e corresponde a um caso particular das chamadas funções lineares. Exemplo 2: Para construir a classe geral de funções lineares ou do 1º grau , definimos a função f : A ® B por: f ( x ) = a + bx As quantidades a e b são números reais que podem ser negativos ou positivos. O número a é denominado coeficiente linear e o número b coeficiente angular da função. Mais adiante veremos porque esses números são assim denominados. Veremos também que na medida em que a e b são modificados a natureza da relação entre os elementos do domínio e do contradomínio da função também é modificada. Exemplo 3: Considere a função f : A ® B definida por: f ( x ) = x 2 Neste exemplo a regra de associação estabelece que para cada elemento no domínio corresponde o seu quadrado no contradomínio. Esse é um exemplo de função quadrática ou do 2º grau. II ­ Imagem e Gráfico de uma Função Em muitas situações, o contradomínio de uma função não corresponde exatamente ao conjunto dos valores efetivamente transformados pela regra de associação. No exemplo da relação de anos de estudo e salário, por exemplo, poderíamos ter posto outros padrões salariais (elementos do conjunto B ) como 350 e 1650, entretanto de acordo com a regra especificada, não existem anos de estudo (elementos em A) que correspondem a esses padrões de salário. Assim, embora o conjunto B continue sendo o contradomínio da função, dois de seus elementos não correspondem a nenhum dos elementos no domínio. Em função dessa observação defini­se um outro conjunto que corresponde ao conjunto dos elementos no contradomínio para os quais sempre existe um elemento correspondente no domínio da função. Esse conjunto é denominado imagem da função e será denotado por Im (em muitos livros a notação para imagem de uma função ( A , B , f ) é f ( A )) . Em nosso exemplo podemos definir o contradomínio como: B = {350 , 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900 , 1000 , 1100 , 1200 , 1300 , 1400 , 1500 , 1600 , 1650 } Mas a imagem da função será: Im = { 400 , 500 , 600 , 700 , 800 , 900 , 1000 , 1100 , 1200 , 1300 , 1400 , 1500 , 1600 , 1650 } Assim sendo, a imagem de uma função corresponde aos elementos no contradomínio para os quais sempre existe um elemento correspondente no domínio da função. Em termos matemáticos, dada uma função ( A , B , f ) a imagem da mesma é o conjunto:
Im = { y Î B ; exsiste x Î A com y = f ( x )} A figura abaixo ilustra a definição de imagem de uma função. A B d a f ¦(a )
g b c
¦(b)
e ¦(c) Im
Nos Exemplos 1 e 2 dados acima temos que Im = Â Mas o que acontece no caso do Exemplo 3? Seria a imagem da função dada o conjunto todo dos números reais como nos Exemplos 1 e 2? A resposta é não. Note que de acordo com a regra estabelecida a cada número real tomado no domínio corresponde seu quadrado. Mas o quadrado de qualquer número real é sempre um número real não negativo (os números reais não negativos correspondem a todos os números positivos mais o zero). Assim os números reais negativos não possuem correspondentes, pois não existe número real para o qual o quadrado é negativo. Portanto no caso do Exemplo 3 temos que Im = { x Î Â; x ³ 0 } . A principal vantagem no estudo das funções é que toda relação entre elementos no domínio e na imagem pode ser visualizada através de figuras no plano cartesiano, denominadas gráficos. Para tanto, todos os pontos da forma ( x , f ( x )) são marcados no plano cartesiano e interligados através de uma linha cheia, formando assim um traçado que representa o gráfico da função. ¦( x) Î B B = Â A = Â x Î A
0 A = Â Para ilustrar a construção de um gráfico de uma função, consideremos o seguinte exemplo. A função f : A ® B será definida por: f ( x ) = x 2 Note inicialmente que podemos verificar facilmente que: A = Â , B = Â e Im = {x Î Â / x ³
0}. Para construir o gráfico de f , atribuímos valores a x , obtemos os respectivos valores de f ( x ) , coletamos os pares ordenados da forma ( x , f ( x )) , marcamos esses pares no plano cartesiano e então obtemos um esboço do gráfico ligando tais pontos. A tabela abaixo contém alguns valores para f . x 3 2 1 0 ­1 ­2 ­3 f ( x ) 9 4 1 0 1 4 9 Os pares acima são marcados no plano cartesiano e os pontos resultantes são ligados formando um traçado aproximado da função como mostra a figura abaixo. 10 (3,9) (3,9) 9 8 7 6 Im
5 (­2,4) (2,4) 4 3 2 (­1,1) (1,1) 1 0 1 2 ­4 ­3 ­2 ­1 ­1 0 1 2 3 4 ­2 ­3 Box: Podemos utilizar programas de computadores para fazer gráficos das funções, ­4 tais como: Winplot , Mat Lab, Microsoft Excel e outros. 3 III ­ Injeção, Sobrejeção e Bijeção. As funções recebem certas denominações dependendo de suas características. Essas características geralmente podem ser relacionadas ao comportamento do gráfico da função de maneira que as mesmas podem ser identificadas pela simples inspeção do gráfico da função estudada. Como foi discutido nas seções anteriores, existe um número infindável de funções que podemos construir. Para cada uma delas o respectivo gráfico tem um comportamento, entretanto é possível identificar certos atributos que são comuns a uma ampla classe de funções diferentes. O primeiro atributo que estudaremos é o de injeção cuja definição é dada a seguir. Uma função f : A ® B é injetiva em A se o gráfico de f não muda de sentido, ou seja, para cada par x 1 e x 2 tomados em A tais que x1 ¹ x 2 tem­se f ( x 1 ) ¹ f ( x 2 ) . Em alguns livros a palavra injetiva é substituída por monótona, e a função que goza dessa propriedade pode ser sempre crescente ou sempre decrescente em seu domínio. Mais precisamente, f : A ® B é injetiva (ou monótona) crescente se sempre que x1 < x 2 tem­se f ( x 1 ) < f ( x 2 ) . A figura abaixo ilustra um exemplo de função injetiva crescente. B ¦(x2) ¦(xI)
0 x1 x2
A De modo semelhante, f : A ® B é injetiva (ou monótona) decrescente se sempre que x1 < x 2 tem­se f ( x 1 ) > f ( x 2 ) . A figura abaixo ilustra um exemplo de função injetiva decrescente. B ¦(xI)
¦(x2) 0
x1 x2
A Existem funções para quais em certos trechos do domínio a função é crescente e em outros a função é decrescente. Funções com essa característica não são injetivas como é o caso, por exemplo, da função quadrática que é crescente para valores positivos no domínio e é decrescente para valores negativos. O segundo atributo a ser estudado é o de sobrejeção que definimos a seguir. Uma função f : A ® B é sobrejetiva em A se o contradomínio e a imagem da função coincidem, ou seja, se Im = B . Uma função não será sobrejetiva se existe pelo menos um elemento no contradomínio que não está na imagem da função, ou seja, se existe pelo menos um elemento no contradomínio para o qual não existe elemento correspondente no domínio da função. O exemplo mais simples de função sobrejetiva é a função identidade que como foi visto é a função f : A ® B definida por f ( x ) = x . O gráfico da função identidade é ilustrado abaixo. B
A 0
Para um exemplo simples de função que não é sobrejetiva podemos considerar a função quadrática 1 . Combinando os conceitos de injeção e sobrejeção definimos a seguir o conceito de bijeção. Uma função f : A ® B é bijetiva em A se é injetiva e sobrejetiva simultaneamente. IV – Máximos e Mínimos Um conceito importante no estudo das funções é de ponto crítico, que pode ser um ponto de máximo ou de mínimo. A conceituação precisa é dada a seguir: Dada uma função f : A ® B , o ponto ( x, f ( x )) é um ponto de máximo da função se para qualquer x Î A tem­se f ( x ) < f ( x ) . Semelhantemente o ponto ( x , f ( x ) ) é um ponto de mínimo da função se para qualquer x Î A tem­se f ( x ) > f ( x ) . A figura a seguir ilustra os conceitos de ponto de máximo e de mínimo. Box: Existe uma obser vação impor tante a r espeito do conceito de sobr ejeção. P odemos notar que uma função pode tor nar ­se sobr ejetiva simplesmente pela r edefinição do contr adomínio. P or exemplo, a função quadr ática não é sobr ej etiva em todo o conjunt o de númer os r eais, entr etanto se definir mos o seu contr adomínio como sendo os reais não negativos então contr adomínio e imagem coincidem e, por tanto a função passa a ser sobr ejetiva
B Ponto de Máximo ( x , f ( x )) f ( x ) x A x 0 f ( x ) ( x , f ( x )) Ponto de Mínimo
Na função do 2º grau, estes pontos de máximo e mínimo são calculados no vértice da parábola. Se V(xV; yV) indica o vértice da parábola y = ax 2 + bx + c, suas coordenadas são: x V = -
b 2a y V = -
D
4a Em funções polinomiais com grau maior que 2 e outras funções, os valores de máximo e mínimo podem ser calculados através do Cálculo Integral e Diferencial. V – Aplicações 1 – Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é $ 100,00 nenhuma é vendida, quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 são procurados. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de $ 30,00. Solução: Sejam: p = preço de venda e D = demanda. Do enunciado, temos: 1º) p = 100 Þ D = 0 e 2º) p = 0 Þ D = 50 Como a função é do 1º grau, y = ax + b e fazendo x = p e y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função. Substituindo p = 100 e D = 0 Þ 0 = a.100 + b (Equação I) Substituindo p = 0 e D = 50 Þ 50 = a.0 + b Þ b = 50 Voltando a equação I, temos: 0 = a.100 + 50 Þ a = ­0,5 E daí, D = ­0,5p + 50 A equação de demanda ou função demanda é: D = ­0,5p + 50 Substituindo p = 30 na equação D = ­0,5p + 50, temos: D = ­0,5. 30 + 50 = 65 Assim, para o preço de $ 30,00 a demanda é de 65 unidades. 2 ­ Suponha que determinada mercadoria, cuja quantidade é denotada por y , seja negociada a um preço p . A função y = D ( p ) é denominada função demanda e corresponde a quantidade demandada da mercadoria y ao preço p . Em geral admite­se que para preços mais altos a quantidade demandada é menor, ou seja, a função demanda é uma função injetiva decrescente. Também assume­se que não é possível existir preços negativos e quantidades demandadas negativas, ou seja, a função demanda é restrita aos números reais não negativos tanto no domínio quanto na imagem. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função demanda típica.
B
D( p ) 0 A p É possível também, definir a função oferta da mercadoria y , que será denotada por y = S ( p ) . A função oferta expressa quanto a firma produtora da mercadoria está disposta a ofertar dado o nível de preço de mercado. Assume­se que a função oferta está restrita aos números reais não negativos tal como no caso da função demanda, todavia, supõe­se que na medida em que o preço aumenta a quantidade de oferta também aumente. Noutros termos, a função oferta em geral é injetiva crescente. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função oferta típica. B
S ( p ) p 0 A p
(
) Um equilíbrio de mercado é um par preço e quantidade p * , y * tal que a demanda e a oferta são iguais, ou seja, y* = D ( p * ) = S ( p * ) . Em termos geométricos, o equilíbrio de mercado é representado pelo ponto no plano cartesiano em os gráficos das funções demanda e oferta se interceptam, tal como ilustrado na figura abaixo: B
D( p * ) = S ( p * ) 0 A * p Exemplo: Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que: D ( p ) = 34 - 5 p S ( p ) = -8 + 2 p Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções? De acordo com a definição dada o equilíbrio de mercado é um par
( p, y ) tal que y = D ( p ) = S ( p ) , ou seja: 34 ­ 5p = ­8 +2p 34 + 8 = 2p + 5p 42 = 7p p = 6 Logo, o preço do equilíbrio é $ 6,00. Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funções, utilizando a função oferta, temos: S = ­8 + 2.6 = 4 Logo a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades. Graficamente, 3 – Sejam as funções CT(q) = 12 + 16q e RT(q) = 80q – 2q 2 , onde: RT(q) representa a função receita total de um produto, CT(q) representa o custo total do mesmo produto e q a quantidade em unidades do produto. Calcule: a) A receita total, o custo total e o lucro total (LT(q) = RT(q) ­ CT(q)) para uma quantidade de 10 unidades; b) Faça uma representação gráfica das funções CT(q) e RT(q) c) Escreva e faça a representação gráfica da expressão do lucro total LT(q) e calcule o lucro máximo; Solução: a) Para obtermos a receita total basta substituirmos q = 10 unidades na função RT(q) = 80q – 0,2q 2 . Assim, RT(10) = 80. 10 – 2.(10) 2 = 800 – 200 = 600, logo a receita total é de $ 600,00. O custo total para q = 10 unidades é: CT(10) = 12 + 16.10 = 172, logo o custo total é de $ 172,00. O lucro total para q = 10 unidades é: LT(10) = RT(10) – CT(10) = 600 – 172 = 428, logo o lucro total = $ 428,00
b) A função custo total CT(q) = 12 + 16q é do 1º grau, cujo gráfico é uma reta. Podemos obter o gráfico da função calculando pelo menos dois valores da função, isto é, vamos achar pelo menos dois pontos. q = 0 Þ CT(0) = 12 + 16.0 = 12 q = 3 Þ CT(3) = 12 + 16.3 = 60 logo, os pares ordenados (0; 12) e (3; 60) são pontos do gráfico. Assim, a figura abaixo mostra o gráfico da função custo total. CT Custo Total (CT) 96 84 72 60 48 36 24 12 0 CT(q) = 16q + 12 0 3 6 9 12 quantidade q A função receita total RT(q) = 80q – 2q 2 é do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola. A construção do gráfico de uma função do 2º grau pode ser feito de duas formas: calculando valores particulares da função ou através da obtenção dos pontos notáveis da parábola que descreveremos abaixo: 1º) zeros da função, isto é a intersecção com o eixo das abcissas (eixo x); 2º) intersecção com o eixo das ordenadas (eixo y); 3º) vértice da parábola; Para a função RT(q) = 80q – 2q 2 , temos: 1º) RT(q) = 0 (zeros da função ou raízes) 80q – 2q 2 = 0 2q(40 – q) = 0
2q = 0 Þ q = 0 ou 40 – q = 0 Þ q = 40 Logo as intersecções com o eixo x são os pontos: (0; 0) e (40; 0) 2º) q = 0 Þ RT = 0 Logo a intersecção com o eixo y é o ponto (0; 0) 3º) Cálculo do vértice da parábola: Utilizando a formula x V = temos: q V = -
b D
e y V = 2a 4a 80
80 2 - 4 ( -2 ) 0 6400 = 20 e RT V = == 800 2 (- 2 ) 4 ( -2 ) - 8 Assim, o vértice da parábola é o ponto V(20; 800). Os pontos notáveis da parábola são: (0; 0), (40; 0) e (20; 800) que marcados no sistema cartesiano obtemos o gráfico abaixo. Receita Total (RT) 1000 RT(q) = ­2q 2 + 80q RT 800 600 400 200 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 quantidade q Observe no gráfico que o vértice (20; 800) é ponto de máximo da função, isto é, a quantidade q = 20 unidades nos dá a receita máxima de $ 800,00. c) A expressão do lucro total LT(q) ou função lucro total é: LT(q) = RT(q) – CT(q) LT(q) = 80q – 2q 2 ­ (12 + 16q) LT(q) = 80q – 2q 2 ­ 12 – 16q LT(q) = ­2q 2 + 64q – 12
O gráfico da função LT(q) = ­2q 2 + 64q – 12 é do 2º grau e obtido analogamente do item anterior e executando os três passos, obtemos: 1º) A intersecção com o eixo x são os pontos (0,19; 0) e (31,81; 0) 2º) A intersecção com o eixo y é o ponto (0; ­12) 3º) O vértice da parábola é: V(16; 500) E marcando os pontos notáveis, obtemos o gráfico abaixo: Lucro Total (LT) 600 500 2 LT = ­2q + 64q ­ 12 LT 400 300 200 100 0 0 16 32 quantidade q 48 Observe no gráfico que o vértice (16; 500) é ponto de máximo da função LT(q) , isto é, a quantidade q = 16 unidades nos dá a lucro máximo de $ 500,00. 4 – Suponha que uma determinada mercadoria, cujo custo total (CT) denotada por y , a função y = CT ( q ) é denominada função custo total e corresponde ao custo total para uma quantidade demandada q desta mercadoria. A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função custo total.
B CT (q ) 0
q A É possível também, definir a função receita total da mercadoria y , que será denotada por y = RT (q ) . A figura abaixo ilustra o gráfico de uma função receita total. B RT(q ) 0 q A Ponto de nivelamento ou Break even point é a quantidade q na qual a receita total e o custo total são iguais, ou seja, y = RT ( q ) = CT ( q ) . Em termos geométricos, o break even point é representado pelo ponto no plano cartesiano em que os gráficos das funções receita total e custo total se interceptam, tal como ilustrado na figura abaixo. B CT(q ) = RT ( q ) 0 q A Exemplo: Suponha que as funções custo total e receita total sejam dadas pelas funções tais que: RT(q) = 8 + 2q e CT(q) = 24 + 1,2q. Qual é o ponto de nivelamento (break even point) para essas funções? De acordo com a definição o ponto de nivelamento (break even point) é dado por: y = RT ( q ) = CT ( q ) , portanto; Resolvendo a equação do 1º grau na variável q, temos: 8 + 2q = 24 + 1,2q 2.q ­ 1,2q = 24 ­ 8 0,8q = 16 q = 20 Logo, o ponto de nivelamento (break even point) se dá com uma quantidade de q = 20 unidades. 2º Modo: O Lucro Total pode ser expresso pela diferença entre a receita total pelo custo total, isto é: LT(q) = RT ( q ) - CT ( q ) LT(q) = 8 + 2q – (24 + 1,2q) LT(q) = 8 + 2q ­ 24 ­ 1,2q LT(q) = 0,8q ­ 16 No break even point, RT = CT, temos que o lucro total LT(q) = 0 ou seja, 0,8 q ­ 16 = 0 e resolvendo a equação do 1º grau na variável q, obtemos q = 20. Assim, o ponto de nivelamento ocorre para uma quantidade de 20 unidades.