Matemática Elementar III – Funções Compostas
Ou seja: (f−1of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso significa dizer que (f−1of) =ids, que é a aplicação
identidade de S sobre ele próprio.
(i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva?
(ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva?
Demonstração:
De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1) (t) = t.
Ou seja, f o f−1 = idT, que é a identidade de T
sobre T.
−1
A resposta é afirmativa para ambas as questões:
(i) Suponha que as funções g : S → T e f: T → W
são injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que:
−1
Essas duas relações, fof = idT e f of = ids
facilitam o entendimento de que f−1: T → S é
uma aplicação bijetiva.
(fog) (s1) = (fog) (s2).
Queremos saber se s1 = s2.
De fato, suponha que f−1(t1) = f−1(t2), com t1, t2
∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade,
obtemos:
Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒
f(g (s1)) = f(g (s2)).
Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2).
Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é injetiva.
f (f−1( t1)) = f (f−1( t2)), que é a mesma coisa de:
(fof−1) (t1) = t1 = (fof−1) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2
Portanto f−1 é, de fato, injetiva.
(ii) Suponha que ambas as funções g : S → T
e f: T → W são sobrejetivas.
Por que f−1 é sobrejetiva?
Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t
∈ T tal que s = f−1(t). Para isso, seja t = f(s),
então f−1(t) = f−1(f(s)) = (f−1of) (s) = idS(s) = s.
Queremos mostrar que dado w ∈ W, existe
so ∈ S tal que (fog) (so) = w.
De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ T
tal que f(to) = w.
Logo, f−1 é sobrejetiva.
Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈
S tal que g(so) = to .
PARA REFLETIR
Sejam f e f−1 duas funções, tais que f−1 seja a
inversa de f. Mostre que f é bijetiva se, e
somente se, f−1 é bijetiva.
Mas, então:
(fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W.
Portanto, f o g é sobrejetiva.
PROPRIEDADES IMPORTANTES
PARA REFLETIR
As aplicações identidades idS, idT têm algumas
propriedades algébricas importantes, que
comentaremos a seguir.
Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas,
então f o g : S → W é bijetiva
Propriedade 1:
Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T a
aplicação identidade de T. Pelas definições de
f e idT, mostre idTof = f
Demonstração:
Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s).
Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Isto
significa que idTof = f.
Propriedade 2:
Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessas
condições, podemos definir: fog : S → W.
Sendo assim, temos que duas questões podem ocorrer naturalmente:
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