Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 4.1 – Estudo das Funções
Amintas Paiva Afonso
Funções
1. Interpretação de Gráficos
O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que
resolveu visitar uns amigos
Distância
( Km)
Tempo
(horas)
Voltar
Funções
1. Interpretação de Gráficos
 A que distância de casa estava a Joana quando efetuou
a primeira parada?
Joana estava a 10 m de casa.
 Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a
separou de casa?
A distância máxima que a separou de casa foi 15 m.
 Quanto tempo demorou a viagem?
A viagem demorou 3h 30min.
 Quanto tempo esteve parada a Joana?
Joana esteve parada 1h 30min.
 A que horas chegou a Joana a casa?
Joana chegou ás 3h30min.
Voltar
Funções
1. Noção de Função
Considere os seguintes conjuntos A e B
A
f
B
5
1
2
3
4
C
6
7
8
9
Definição de Função:
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A
e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só
elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B.
Voltar
Funções
1. Noção de Função
• A esta correspondência chama-se _________.
função
• Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________
Domínio
Df
e representa-se por ______.
Df = { 1, 2, 3, 4 }
Objetos
• A todo o elemento de A chamamos _____________.
• Ao conjunto B chamamos _______________________
Conjunto de Chegada da função.
Conjunto de chegada de f = { 5, 6, 7, 8, 9 }
• A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A
imagem
chamamos ___________.
Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A
imagem
• Ao conjunto C chamamos ______________
da função e representa-se
por Imf D’f = { 5, 6, 7 }
Voltar
Funções
1. Noção de Função
Simboliza-se do seguinte modo:
f: A
x
B
y = f(x)
• x é variável independente e y a variável dependente.
• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df.
• Ao conjunto B chamamos Contradomímnio.
• Ao conjunto das imagens chama-se Imagem da função e
representa-se por Imf.
• A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y = f(x).
Funções
1. Interpretação de diagramas
Exemplo 1:
A correspondência não é uma função porque o objecto 1
tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.
Exemplo 2:
A correspondência não é uma função porque o objecto 2
não tem imagens.
Funções
2. Representação gráfica de uma Função

Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de
Aveiro, de hora em hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das
temperaturas em função da hora do dia.
Temperatura
ºC
Horas
Indique:
• o domínio;
1 0;24]
• a imagem;
2
• os intervalos de tempo onde a
temperatura: é positiva; é negativa;
• os intervalos onde a temperatura:
-3;6]
• as horas do dia em que se
registou a temperatura 0 ºC
4
3
aumenta; aumenta e é positiva;
diminui; diminui e é positiva; é
constante.
5
Funções
2. Representação gráfica de uma Função
Como averiguar se é, ou não, uma função
Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no
máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.
Não se trata de uma
representação de uma
função
Trata-se de uma representação de uma
função
Funções
Interpretação gráfica do domínio
Domínio
O domínio de uma função obtém-se projetando o seu
gráfico sobre o eixo dos x.
Voltar
Funções
Interpretação gráfica do Contradomínio
Imagem
A Imagem de uma função obtém-se projectando o seu
gráfico sobre o eixo dos y.
Voltar
Funções
3. Noções gerais de uma função
Zeros de uma função
Definição: Zero de uma função é todo o objecto
que tem imagem nula.
 Determinação dos zeros de uma função:
 Graficamente
Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico
para os quais o gráfico da função intersecta o
eixo das abcissas (x)
 Analiticamente
Determinar os valores de x para os quais f(x)=0
isto é, x: f (x) = 0
zeros
Voltar
Funções
3. Noções gerais de uma função
Sinal de uma função
Definição: Seja f uma função de domínio D, dizemos que :
- f é positiva em I (I  D) se e só se f(x) > 0, para todo o x  I.
- f é negativa em I (I  D) se e só se f(x) < 0, para todo o x  I.
 Determinação do sinal de uma função:
 Graficamente
- A função é positiva para todos os valores de x cujas
imagens estão acima do eixo das abcissas.
f(x) >0
f(x) < 0
- A função é negativa para todos os valores de x
cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.
Voltar
Funções
Noções gerais de uma função
Monotonia de uma função
f(b)
g(b)
g
g(b)
f(b)
g
f
f
g(a)
f(a)
f(a)
g(a)
O
a
b
O
a
b
a
A função f é crescente
num intervalo E.
A função g é decrescente
num intervalo E.
b
A função f é
estritamente crescente
num intervalo E.
a
b
A função g é estritamente
decrescente num intervalo
E.
Definição: Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E  Df se para todos os
números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)  f(b) / se a < b, então f(a) < f(b).
Definição: Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E  Df se para todos
os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b) / se a < b, então g(a) > g(b).
Definição: Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.
Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente.
Voltar
Funções
Noções gerais de uma função
• Monotonia de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x)
f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)
Definição : Seja f uma função de domínio D.
f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que
f(a)  f(x), qualquer que seja o x  E  D
f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que
f(b) f(x), qualquer que seja o x  E  D
Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos relativos da
função chamam-se maximizantes / minimizantes
Voltar
Funções
Noções gerais de uma função
Injetividade de uma função
Definição: Uma função f é injetiva
num intervalo E  Df se para dois
valores quaisquer de E, x1 e x2, se
x1  x2 então f(x1)  f(x2).
Definição: Uma função f é não
injetiva num intervalo E  Df se
existem pelo menos dois objectos
distintos com a mesma imagem.
Voltar
Funções
Noções gerais de uma função
Injetividade de uma função
 Graficamente
Vê-se que uma função é não injetiva se existir pelo menos uma recta horizontal
que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.
f é função injetiva
f é função não injetiva
Funções
Noções gerais de uma função
Sobrejetividade de uma função
Definição: Uma função g é
sobrejetiva
se
o
seu
contradomínio coincide com o
conjunto de chegada.
g é sobrejetiva
f é não sobrejetiva
Funções
Noções gerais de uma função
Taxa de Variação Média
A taxa de variação média
(t.v.m) entre a e b traduz a
f(b)
rapidez de variação da função
e obtém-se dividindo a
variação da função pela f(a)
amplitude do intervalo, isto é:
f
b-a
f(b) - f(a)
t.v.m. =
[a, b]
a
b-a
f(b) - f(a)
b
Funções
Noções gerais de uma função
Observações:
• Se a função é crescente a taxa de variação média é positiva
nesse intervalo.
• Se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa
de variação média é negativa nesse intervalo.
• Se a função é constante num dado intervalo então a taxa de
variação média é zero nesse intervalo.