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ÁLGEBRA
Aula 4 _ Classificação das Funções
Professor Luciano Nóbrega
Maria Auxiliadora
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FUNÇÃO INJETORA
É quando quaisquer dois elementos diferentes
do conjunto A têm imagens diferentes no
conjunto B.
Ou seja, “x” diferente
A
B
0
-3
2
4
1
6
8
tem “y” diferente !!!
3
FUNÇÃO SOBREJETORA
É quando o conjunto Imagem da função for
igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD )
M
-1
1
1
9
3
H
Se M é o conjunto das mulheres
e H é o conjunto dos homens,
então não se pode ter homem
solteiro !!!
4
FUNÇÃO BIJETORA
É uma função simultaneamente injetora e
sobrejetora.
Injetora: “x” diferente
tem “y” diferente
M
H
-1
1
3
5
7
9
Ou seja, homens
e mulheres com os
mesmos direitos !!
Sobrejetora: NÃO
SOBRAM elementos no
contra domínio.
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Testando seus conhecimentos
1º) Classifique as funções como bijetora,
sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:
a)
b)
4
5
6
7
1
2
3
é injetora
1
2
3
é sobrejetora
4
6
1º) Classifique as funções como bijetora,
sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:
c)
d)
1
2
3
é bijetora
4
5
6
1
2
3
3
4
5
não é sobrejetora, nem
injetora
6
2º) (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e7 R
o conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que
associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros,
então f :
Existem brasileiros com a
a) é injetora e não é sobrejetora.
mesma altura, portanto ,
b) é injetora e é sobrejetora.
“ f ” não é injetora!
c) não é injetora e é sobrejetora. Sobram elementos no
d) não é injetora e não é sobrejetora.conjunto contra domínio,
portanto, “ f ” não é
sobrejetora!
B
Eu
Thiago
Mailson
Francisli
Claúdia
Dennys
R
1,73 -2
1,75 10
1,70 -2,3
1,61
0
√2 π
Resp.
(d)
3º) (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de
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ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números
que representam a quantidade de professores de cada escola
do conjunto E. Se f: E → P é a função que a cada escola de E
associa seu número de professores, então:
a) f é uma função sobrejetora.
b) f não pode ser uma função bijetora.
c) f não pode ser uma função injetora.
Resp.
d) f é necessariamente uma função injetora.
(a)
E
IFRN
“Empregad”éstica
Maris”bela”
Flo”foca”
Over”dopping”
Conte”râneo”
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10
13
12
14
P
FUNÇÃO INVERSA:
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A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o
seguinte procedimento:
1º) Isola “x”;
2º) Troca “x” por “y” e vice versa.
R O símbolo para a
D
função inversa de f
f(x)
é f -1 e lê-se “função
inversa de f”.
x
y
f -1(x)
O símbolo “–1” em f -1 não é um expoente;
f -1(x) não significa 1 / f(x).
FUNÇÃO INVERSA:
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TESTE DA RETA HORIZONTAL
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da
mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta
horizontal.
EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa ?
y ou f(x)
y=x2 ou
f(x)=x2
reta horizontal
4
-2
0
2
Conclusão: a função f(x)=x2 não tem inversa.
x
4º) (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a
expressão que define sua inversa é:
A) (x + 3) : ( 3x – 1)
B) ( 3x + 1) : ( 3 – x)
Vejamos:
C) ( 2x – 1) : (x + 1)
y = ( 3x – 1) : (x + 3)
D) ( 3x – 1) : (x + 3)
y = _3x – 1_
x+3
1º) Isolando “x” ;
_3x – 1_ = y
x+3
3x – 1 = y . (x + 3)
3x – y . x = 3.y + 1
x = _3.y + 1_
3–y
3x – 1 = y . x + 3.y
Colocando x em evidência:
x .(3 – y) = 3.y + 1
2º) Troca x por y.
y = _3.x + 1_ = ( 3.x + 1) : ( 3 – x)
3–x
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f(x) = f(-x)
FUNÇÃO PAR:
Uma função é PAR quando ela é
simétrica em relação ao eixo y.
y
x
exemplo:
f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4
FUNÇÃO ÍMPAR:
Função ÍMPAR é simétrica em
relação a origem.
f(x) = x²
y
f(x) = x³
f(a) = - f(-a)
exemplo:
f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³
x
5º) a) Verifique se f(x) = 2x³ +5x é par ou ímpar:
Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7
Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7
Logo f(x) = 2x³ +5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)
ou seja,
f(1) = - f(-1),
pois 7 = - (-7)
b) Mostre que f(x) = 3x² é par:
Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3
Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3
Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)
ou seja,
f(1) = f(-1), pois 3 = 3
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6º) Sendo o gráfico ao
lado de f(x), o gráfico
de f(– x) será :
Lembre-se:
Se
f(x) = f(-x)
Então a função “f” é
par e ela é simétrica
ao eixo “y”.
Resp.:E
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FUNÇÃO CRESCENTE ou DECRESCENTE:
f(b)
f
f(b)
g(a)
f(a)
O
g
g(b)
a
b
A função f é
crescente
O
f(a)
a
b
A função g é
decrescente
g
g(b)
f
g(a)
a
b
A função f é
crescente
a
b
A função g é
decrescente
Diz-se que f é crescentef se para a < b, então f(a) < f(b).
Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).
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7º) A partir da análise do gráfico, determine os
intervalos onde a função é:
y
-2
a) Decrescente
b) Crescente
0
2
4
6
]0, 4[
]-∞ ; 0[
e
]4 ; +∞[
x
Função Composta
Função composta
Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a
função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x Є A.
B
C
A
x
Se
f(x)
g(f(x))
x=3
Ex: f(x) = x+2 e g(y) = y2, então h(x) = g(f(x)) = (x+2)2
Função Composta
Mais exemplos:
Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:
a) f(g(x))
b) g(f(x))
c) f(f(x))
d) g(g(x))
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
1 – Qual
2 – Ao
dos gráficos representa uma função injetora?
analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12,
podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
3 – Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de
decrescimento.
4 – Dadas as proposições:
p: Existem funções que não são pares nem ímpares.
q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao
eixo dos y.
r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.
t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.
Podemos afirmar que são falsas:
a) Nenhuma
b) Todas c) p,q e r
d) t
e) r e t
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
5 – (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O
elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a) 0
b) 2/5
c) -3
d) 3/4
e) 4/3
6 – A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1,
então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
7 – (UFRJ) Considere a relação  de M em N, representada no diagrama
abaixo. Para que  seja uma função de M em N, basta:
A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;
B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;
C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;
D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
8 – (UNESP – SP) A unidade usual de medida para a energia contida nos
alimentos é kcal (quilocaloria). Uma fórmula aproximada para o consumo de
energia (em kcal) para meninos entre 15 e 18 anos é dada pela função (h) =
17h, onde h indica a altura em cm e, para meninas nessa mesma faixa de idade,
pela função g(h) = (15,3)h.
Paulo, usando a fórmula para meninos, calculou seu consumo diário de energia e
obteve 2975 kcal. Sabendo-se que Paulo é 5 cm mais alto que sua namorada
Carla (e que ambos têm idade entre 15 e 18 anos), o consumo diário de energia
para Carla, de acordo com a fórmula, em kcal, é:
A) 2970.
B) 2875.
C) 2770.
D) 2601.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
9 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a
quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar
em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.
O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa
85kgf receberá em cada dose:
A) 7 m
B) 9 m
C) 8 m
D) 10 m
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
10 – (UFRN) Na tabela abaixo, X representa dias, contados a partir de uma
data fixa, e Y representa medições feitas em laboratório, nesses dias, para
estudo de um fenômeno.
X
1
5
20
100
Y
5
25
100
500
De acordo com a tabela, pode-se afirmar que as grandezas são:
A) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.
B) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.
C) diretamente proporcionais e relacionadas por uma função linear.
D) inversamente proporcionais e relacionadas por uma função quadrática.
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
11 – (UFCE) Qual dos gráficos abaixo não pode representar uma função?
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
12 – (UFRN) Determine o valor da expressão
para a = – 1.
 1  3a 3  
1  3a 2


 2  a 5 . 9  2a






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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
13 – Vimos que se uma função “ƒ” é bijetora então ela admite uma
função inversa “ƒ -1”. Diante de duas funções, “ƒ” e “g”, podemos
obter uma composição entre elas, ou seja, uma função h = ƒ(g(x))
ou j = g(ƒ(x)).
Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x – 4, resolva a equação
ƒ -1(g(x)) = 0, seguindo o procedimento em cada item:
a) Determine ƒ -1(x);
b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”,
em seguida, iguale a zero e resolva a equação;
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TESTANDO OS CONHECIMENTOS
RELEMBRANDO:
Resolva os exercícios do livro:
P.89 _ 4
P.95 _ 9
P.99 _ 10
P.100 _ 11
P.101 _ 14 e 15
P.107 _ 17 e 19
P.112 _ 23 e 25
OBS: Foram selecionados 10 exercícios de um total de 36 exercícios do
referente capítulo do livro.
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