8. Uma Função de duas Variáveis
Aleatórias
Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e uma função
g(x,y), define-se uma nova variável aleatória Z como
Z  g ( X , Y ).
Dada a f.d.p. conjunta f XY ( x, y ), como obter f Z (z ),a f.d.p.
conjunta de Z ? Problemas deste tipo são de interesse do
ponto de vista prático. Por exemplo, um sinal de saída de
um receptor geralmente consiste de um sinal desejado
somado a um ruído, a a formulação acima reduz-se a:
Z = X + Y.
1
É importante conhecer como a estatística do sinal de
entrada, para melhor se projetar o receptor. Neste contexto
serão analisados problemas dos seguintes tipos:
X Y
X Y
max(X , Y )
Z  g ( X ,Y )
min(X , Y )
X 2 Y 2
XY
X /Y
tan1 ( X / Y )
Referindo-se em primeiro lugar ao caso em que Z = g(X,Y),
tem-se portanto
FZ ( z )  PZ  z   Pg ( X , Y )  z   P( X , Y )  Dz 


x , yDz
f XY ( x, y)dxdy,
2
onde Dz no plano XY, representa a região tal que g ( x, y)  z
é satisfeita. Note que Dz não precisa ser uma região
conectada, para determinar FZ (z).
Este método será ilustrado através de vários exemplos.
Y
Dz
Dz
X
3
Exemplo 8.1: Z = X + Y. Encontre f Z (z ).
Solução: Seja Dz a região do plano xy onde x  y  z
representada na figura pela área inferior à esquerda. Calculase em primeiro lugar FZ ( z)  P(Z  z)  P X  Y  z .
Integrando-se esta área na direção do eixo x, de   até
a reta x=z - y. E na direção do eixo y, de   a  
,
tem-se:
FZ ( z)  P X  Y  z   

y 

z y
x 
f XY ( x, y)dxdy,
y
x z y
x
4
Pode-se determinar f Z (z) diferenciando FZ (z) diretamente.
É importante relembrar a regra da diferenciação de uma
Integral devido a Leibnitz. Supondo que:
H ( z)  
Então
b( z )
a( z)
h( x, z )dx.
b ( z ) h ( x , z )
dH ( z ) db( z )
da ( z )

h b( z ), z  
h a ( z ), z   
dx.
a
(
z
)
dz
dz
dz
z
substituindo h(x,y) por fXY(x,y)
f Z ( z)  





 
f XY ( x, y ) 
  z y

f
(
x
,
y
)
dx
dy

1

f
(
z

y
,
y
)

0

   XY

 XY
dy



z
 z



f XY ( z  y, y )dy.
Alternativamente, a integração pode ser resolvida
integrando-se primeiro em relação ao eixo y seguido do x.
5
Neste caso
FZ ( z)  

x 

zx
y 
y
f XY ( x, y )dxdy,
diferenciando-se em relação a z

dFZ ( z )
f Z ( z) 

x  
dz


x  
y zx
  z x

  y  f XY ( x, y )dy dx
 z

x
f XY ( x, z  x )dx.
Se X e Y são independentes, então
f XY ( x, y )  f X ( x) fY ( y )
Substituindo na equação de fZ(x), acima tem-se
f Z ( z)  

y 
f X ( z  y) fY ( y)dy  
f Z ( z)  f X ( x) * fY ( y)

x 
f X ( x) fY ( z  x)dx.
convolução de fX(x) com fY(y)
6
Como caso particular, suponha que f X ( x)  0 para x  0 e
que fY ( y )  0 para y  0, então fZ(z) é dado por:
FZ ( z )  
f Z ( z)  
z
y 0

z y
x 0
f XY ( x, y )dxdy


y 0 z  x 0

z y
z
ou
FZ ( z )  
z
x 0

zx
y 0
f XY ( x, y )dydx
z

 f ( z  y, y )dy, z  0,

f XY ( x, y )dx  dy  0 XY


0,
z  0.

Se X e Y são variáveis independentes, então
y
f Z ( z)  
z
x 0
 z f ( x ) f ( z  x )dx, z  0,
Y
f XY ( x, z  x )dx   y 0 X

0,
z  0,
(z,0)
x z y
(0, z )
x
7
Exemplo 8.2: Suponha que X e Y são variáveis aleatórias
independentes, ambas com distribuição exponencial com
parâmetro . Se Z = X + Y, determine f Z (z ).
Solução: Tem-se:
f X ( x)  exu ( x),
fY ( y)  eyu ( y),
f Z ( z )  f X ( x) fY ( z  x)dx,
z0
f Z ( z )   0z 2ex e ( z  x ) dx 2ez  0z dx  z2ez u ( z ).
Exemplo 8.3: Sejam X e Y duas variáveis aleatórias
independentes, uniformemente distribuídas no intervalo
(0,1). Determine f Z (z ), onde Z = X + Y.
Solução: Neste caso, Z  X  Y  0  z  2 . O cálculo de
FZ(z) deve ser feito usando dois intervalos, 0<z<1 e
8
1<z<2, como é mostrado na figura.
y
y
x z y
x z y
x
(b) 1  z  2
(a ) 0  z  1
x
Fig. 8.5
Para 0  z  1,
FZ ( z )  
z
y 0

z y
x 0
z2
1 dxdy   ( z  y )dy  , 0  z  1.
y 0
2
z
Para 1  z  2, é fácil verificar pela figura que:
FZ ( z )  1  PZ  z   1  
1

1
y  z 1 x  z  y
1 dxdy
(2  z )2
 1 
(1  z  y )dy  1 
, 1  z  2.
y z 1
2
1
9
Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se
0  z  1,
dFZ ( z )  z
f Z ( z) 

dz
2  z, 1  z  2.
Calculando fZ(z) diretamente pela pela convolução de f X (x)
com fY ( y ), obtém-se o mesmo resultado acima.
Para
0  z 1 ,
Para 1  z  2 ,
z
f Z ( z )   f X ( z  x) fY ( x)dx   1 dx  z.
0
f Z ( z)  
1
z 1
1 dx  2  z.
As figuras a seguir mostram os procedimentos para
determinar f Z (z) usando a convolução de duas funções
retangulares.
10
f X ( z  x ) fY ( x )
f X ( z  x)
fY (x)
x
1
z 1
x
z
x
z
(a ) 0  z  1
z
f Z ( z )   f X ( z  x) fY ( x)dx   1 dx  z.
0
f X ( z  x)
fY (x)
1
x
z 1
f X ( z  x ) fY ( x )
x
z
x
z 1
1
(b) 1  z  2
f Z (z)
f Z ( z)  
1
z 1
1 dx  2  z.
0
Fig. 8.6 (c)
1
2
z
11
Exemplo 8.3: Seja Z  X  Y . Determine a p.d.f f Z (z ).
Solução: observando a figura abaixo pode-se escrever:
FZ ( z)  P X  Y  z   

y 

z y
x 
f XY ( x, y )dxdy
Diferenciando FZ(z) em relação a z, tem-se:


dFZ ( z )
  z x

f Z ( z) 

f XY ( x, y )dx dy   f XY ( y  z, y )dy.


y  

dz
 z x 

Se X e Y são v.a.`s independentes, a equação reduz-se a:
f Z ( z)  


f X ( z  y ) fY ( y )dx  f X ( z )  fY ( y ),
que representa a convolução de f X ( z) com
fY (z ).
y
y
x y z
x yz
x
12
Fig. 8.7
No caso especial da v.a. Z = X - Y, em que
f X ( x)  0, x  0, and fY ( y)  0, y  0.
Neste caso, z pode ser tanto negativo quanto positivo, o que
resulta em duas situações distintas, que serão analisadas
separadamente, uma vez que as regiões de integração são
diferentes. Para
y

z y
para z  0, FZ ( z)    f XY ( x, y)dxdy
y 0 x 0
parar z  0, FZ ( z)  

y  z

z y
x 0
f XY ( x, y )dxdy
x z y
z
(a)
y
Diferenciando em relação a z, obtém-se:
 f ( z  y , y )dy,
  XY
f Z ( z )   0 
f ( z  y , y )dy,

  z XY
x
z
z  0,
z  0.
x z y
z
x
Fig. 8.8 (b)
13
Exemplo 8.4: Dado que Z = X / Y, obtenha f.d.p. de Z.
Solução: Tem-se que FZ ( z)  P X / Y  z  .
A desigualdade X / Y  z pode ser rescrita como X  Yz se Y  0,
e X  Yz se Y  0. Então o evento  X / Y  z  precisa ser __
condicionado ao
evento A  Y  0 e seu complemento A .
__
Visto que A  A  S , pelo teorema da probabilidade total:
X / Y  z ( X / Y  z)  ( A  A ) ( X / Y  z)  A ( X / Y  z)  A
Como os eventos são mutuamente exclusivos
P  X / Y  z   P  X / Y  z , Y  0  P  X / Y  z , Y  0
 P X  Yz, Y  0  P X  Yz, Y  0 .
A figura mostra as áreas correspondentes ao primeiro e ao
segundo termo da integração.
y
y
x  yz
x  yz
x
x
(a)
14
Fig. 8.9
(b)
Integrando ambos os lados dessas regiões tem-se
FZ ( z)  

y 0

yz
x 
f XY ( x, y )dxdy  
0
y 


x  yz
f XY ( x, y )dxdy.
Diferenciando com relação a z tem-se

0
0

f Z ( z )   yf XY ( yz, y )dy   (  y ) f XY ( yz, y )dy

  | y | f XY ( yz, y )dy,

   z  .
Note que se X e Y são variáveis aleatórias não negativas,
então:
y
FZ ( z)  

y 0

yz
x 0
f XY ( x, y )dxdy
 y f ( yz, y )dy,
z  0,
XY

f Z ( z)   0

0,
otherwise.
x  yz
x
Fig. 8.10
15
Exemplo 8.5: X e Y são variáveis aleatórias conjuntamente
gaussianas com média zero, tal que
 x
1
2 rxy y 
2
f XY ( x, y ) 
1
2 1 2 1  r
2
e
2



 2 
2



2 (1 r 2 ) 

1 2 2 
 1
.
Mostre que a relação Z = X / Y tem uma função densidade de
probabilidade de Cauchy centrada em r 1 /  2 .
Soluçao: Usando a fato de que f XY ( x, y )  f XY ( x, y ),
 y f ( yz, y )dy,
z  0,
f Z ( z )  0 XY

0,
otherwise.

2
 02 ( z )
 y 2 / 2 02
f Z ( z) 
ye
dy 
,
2 0
2
2 1 2 1  r
 1 2 1  r
onde
 02 ( z ) 
z
2
 12

1 r
2 rz
2
 1 2

1
 22
.
 1 2 1  r 2 / 
f Z ( z)  2
,
2
2
2
 2 ( z  r 1 /  2 )   1 (1  r )
Cauchy centrada em r 1 /  2 .
16
Integrando-se fZ(z), obtém-se
1 1
 2 z  r 1
FZ ( z )   arctan
.
2
2 
1 1  r
Exemplo 8.6: Z  X 2  Y 2 . Obtenha f Z (z ).
Solução:
2
2
FZ ( z)  PX  Y  z     2 2
X Y  z
f XY ( x, y )dxdy.
Mas X 2  Y 2  z representa a área de um círculo de raio
y
FZ ( z )  
z
y  z

z y2
x  z  y 2
f XY ( x, y )dxdy .
z,
z
X 2 Y 2  z
z
Diferenciando com relação a z, tem-se
f Z ( z)  
z
y  z
1
2 z y
2
f
x
 z

2
2
(
z

y
,
y
)

f
(

z

y
, y ) dy.
XY
XY
17
Exemplo 8.7 : X e Y são variáveis aleatórias independentes
com distribuição normal, ambas com média zero e variância
 2 . Determine f Z (z) se Z  X 2  Y 2 .
Solução: Tomando a f.d.p. de duas v.a.`s conjuntamente
gaussianas com r  0, 1   2   e substituindo em fZ(z)
f Z ( z)  

z
y 
e
1

( z y
2

e

2
z
2 z  y 2  2
1
 z / 2 2
 2

/2
0
2
 y ) / 2
2
2
 z / 2 2
e

dy


 2


z
0
1
z y
z cos
1  z / 2 2
d 
e
U ( z ),
2
2
z cos
2
dy
onde y  z sin .
Portanto Z é uma v.a. exponencial com parâmetro 2 2 .
Exemplo 8.8 : Seja Z  X 2  Y 2 . Encontre f Z (z).
Solução:
FZ ( z ) 

z
y  z

z2  y2
x 
z2  y2
f XY ( x, y )dxdy .
18
Diferenciando com relação a z, tem-se

f Z ( z) 
z
z
z
z y
2
2
f

2
2
2
2
(
z

y
,
y
)

f
(

z

y
, y ) dy.
XY
XY
Supondo que X e Y são v.a.`s independentes gaussianas
f Z ( z )  2

z
z
z  y 2
2
0
2z

1
2
e
2
 z 2 / 2 2

/2
0
2
e( z
2
 y 2  y 2 ) / 2 2
dy 
2z

2
e z
2
/ 2 2

z
1
0
z y
2
2
dy
z cos
z  z 2 / 2 2
d  2 e
U ( z ),
z cos

Que representa uma distribuição de Rayleigh.
Portanto Z  X 2  Y 2 .representa a magnitude de um v.a.
complexa do tipo Z = X + jY. Então o que dizer da fase
X
  t an 
Y
1

?

Fazendo U  tan   X / Y , e  1   2 , r  0
19
Fazendo U  tan   X / Y , e supondo que X e Y são v.a.’s
gaussianas com  1   2 , r  0 e considerando ainda que a fase
principal de  está no intervalo ( / 2, / 2).
pode-se
mostrar que U tem distribuição de Cauchy, f.d.p.
1/ 
fU (u )  2
,
u 1
   u  .
Que resulta em:
1 /  ,   / 2     / 2,
1
1
1/ 
f ( ) 
fU (tan ) 

2
2
otherwise.
| d / du |
(1 / sec  ) tan   1  0,
Em resumo: A magnitude e fase de uma v.a. gaussiana
complexa com média zero tem distribuição de Rayleigh e
distribuição uniforme respectivamente.
20
Considere agora no exemplo 8.8 que X e Y tem médias  X
e Y , respectivamente (diferentes de zero). Então Z  X 2  Y 2
tem distribuição de Rician. Tal esquema é usado para
modelar situações de desvanecimento em múltiplos
caminhos, onde há uma componente dominante constante
adicionado a um ruído gaussiano com média zero. A parte
constante é devido à componente do sinal em visada direta,
enquanto que a v.a. gaussiana com média zero corresponde
às componentes devido aos múltiplos caminhos aleatórios
adicionadas incoerentemente. (veja o diagrama abaixo). A
envoltória de tais sinais
Multipath/Gaussian
noise
Line of sight
tem uma f.d.p. de Rician.
signal (constant)
a

Rician
Output
21
Exemplo 8.9: Considerando ainda exemplo 8.8, onde X e Y
tem médias diferentes de zero.
Solução: Z  X 2  Y 2
1
[( x   X ) 2  ( y  Y ) 2 ] / 2 2
f XY ( x, y ) 
e
,
2
2
y  z sin  ,  
fZ ( z) 


onde
ze
 ( z 2   2 ) / 2 2
2
ze
2
 ( z 2   2 ) / 2 2
2 2
ze
 ( z 2   2 ) / 2 2
2 2
1
I 0 ( ) 
2
 X2  Y2 ,  X   cos  , Y   sin  ,
/2

 /2
e
z cos(   ) /  2
e
 z cos(  ) /  2
 d
 /2 e z cos(  ) /  2 d  3/2 e z cos(  ) /  2 d 
/2
  /2

 z 
I 0  2 ,
 

2
0
 cos(  )
e
d 
1


0
e cos d
22
Exemplo 8.10: Z  max(X ,Y ), W  min(X ,Y ). Determine f Z (z).
Solução: As funções
max e min são não lineares

X ,
Z  max(X , Y )  
Y ,
X Y,
X Y,
Assim:
FZ ( z )  Pmax(X , Y )  z   P X  z, X  Y   Y  z, X  Y 
 P X  z, X  Y   PY  z, X  Y ,
FZ ( z)  P X  z,Y  z   FXY ( z, z).
FZ ( z )  FX ( x) FY ( y )
y
xz
(eventos disjuntos)
Se X e Y forem independentes
f Z ( z)  FX ( z) fY ( z)  f X ( z) FY ( z).
y
y
x y
x y
X Y
X z
x
X Y
( a ) P( X  z , X  Y )
( z, z )
yz
x
x
Y z
(b) P(Y  z, X  Y )
Fig. 8.12
(c )
23
W = min(X , Y). Isto significa que
Y ,
W  min(X , Y )  
X ,
X Y,
X  Y.
FW (w)  Pmin(X ,Y )  w  PY  w, X  Y    X  w, X  Y .
FW ( w)  1  PW  w  1  P X  w, Y  w
 FX ( w)  FY ( w)  FXY ( w, w) ,
Se X e Y forem independentes:
FW ( w)  FX ( w)  FY ( w)  FX ( w) FY ( w)
fW ( w)  f X ( w)  fY ( w)  f X ( w) FY ( w)  FX ( w) fY ( w).
y
y
x y
xw
y
x y
( w, w)
yw
x
x
x
24
(a)
(c)
Exemplo 8.11: Seja X e Y v.a.`s independentes com
distribuição exponencial com parâmetro . Determine fW (w).
Se W  min(X ,Y ).
FW ( w)  FX ( w)  FY ( w)  FX ( w) FY ( w)
fW ( w)  f X ( w)  fY ( w)  f X ( w) FY ( w)  FX ( w) fY ( w).
Mas,
f X ( w)  fY ( w)  e
 w
,
FX ( w)  FY ( w)  1  ew ,
Substituindo
fW ( w)  2ew  2(1  ew )ew  2e2wU ( w).
Assim W = min ( X, Y ) é ainda exponencial com
parâmetro 2.
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Exemplo 8.13 (caso discreto): Seja X e Y variáveis aleatórias
independentes com distribuição de Poisson com parâmetros 1
e 2 respectivamente. Determine a f.d.p. de Z=X+Y.
Solução: como X e Y assumem somente valores inteiros o
o mesmo é verdadeiro para Z. Logo n  0, 1, 2, , X  Y  n
dá um número finito de opções para X e Y. Assim, se X= 0,
então Y deve ser n; se X = 1, então Y deve ser n-1, etc. De
modo que o evento { X  Y  n} é a união de (n + 1)
eventos mutuamente exclusivos Ak dado por:
Ak   X  k , Y  n  k,
k  0,1,2,, n.
que resulta
 n

P( Z  n )  P( X  Y  n )  P   X  k , Y  n  k 
 k 0

n
  P( X  k , Y  n  k ) .
k 0
26
Se X e Y são independentes, então
P  X  k , Y  n  k   P( X  k ) P(Y  n  k )
n
P( Z  n )   P( X  k , Y  n  k )
k 0
n
1k
k 0
k!
  e 1
e 2
e ( 1 2 )

(n  k )!
n!
n2k
n
(



)
2
 e ( 1 2 ) 1
,
n!
n
n!
k n k


1 2
k 0 k! ( n  k )!
n  0, 1, 2, , .
O que representa a f.d.p. de uma variável aleatória de Poisson
com parâmetro 1  2 , Isso significa que a soma de duas
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de
Poisson, é ainda uma variável aleatória de Poisson.
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