16 - Séries Temporais: Processos MA e Processos AR Estacionariedade Um processo estocástico yt é dito estacionário de 2a. ordem se Ergodicidade Ergodicidade na média 1 Ergodicidade de 2a. ordem Função de Autocorrelação (FAC) Representa uma medida de associação linear entre o processo e o seu passado, ou seja, uma medida da “memória” do processo. Formalmente 2 A FAC de um processo estocástico é como se fosse uma “marca registrada” deste processo. Processos de uma mesma “família” geram FAC’s do mesmo tipo. Portanto, a FAC pode ser utilizada como um procedimento para identificar o processo estocástico que gera uma série temporal. Propriedades da FAC 3 A FAC estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é Função de Autocorrelação Parcial (FACP) Complementa a idéia da FAC. A FACP é a correlação entre duas observações seriais yt e yt-k , eliminando-se a dependência dos termos intermediários. Formalmente 4 A FACP de ordem k estimada a partir de uma realização do processo estocástico (série temporal) é o valor estimado do coeficiente a(k) na regressão O Ruído Branco Um processo estocástico é chamado de ruído branco se Em geral, considera-se também que 5 O processo é chamado de ruído branco Gaussiano se Exemplo: Uma realização (série temporal) de um processo estocástico do tipo ruído branco Gaussiano com variância 1. 6 Qual a FAC de um ruído branco? 7 Qual a FACP de um ruído branco? 8 O Processo Média Móvel (MA) Um processo estocástico {yt} é chamado de processo média móvel de ordem q, MA(q), se para cada instante de tempo t, yt segue a equação 9 Exemplo: uma realização de um processo MA(1) com 100 observações 10 O Processo MA(1) O processo MA(1) e definido por Algumas questões importantes • Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo MA(1)? • Qual a média de yt ? • Qual a variância de yt ? • E a FAC e FACP? 11 Qual a condição de estacionariedade de um processo MA(1)? • Todo processo MA(1) é estacionário! • Qual a média de um processo MA(1)? • Qual a variância? 12 • Qual a FAC de um processo MA(1)? • E a FACP? Um processo MA pode ser escrito como um somatório infinito de valores defasados de yt . Desta forma, a FACP de um processo MA(1) terá a forma da FACP de um processo auto-regressivo de ordem infinita. 13 O Processo Auto-Regressivo Um processo estocástico {yt } é chamado de processo autoregressivo de ordem p, AR(p),se para cada instante de tempo t, yt segue a equação 14 Exemplo: uma realização de um processo AR(1) 15 O processo AR(1) é definido por Algumas questões importantes • Quais são as condições necessárias e suficientes para estacionariedade de um processo AR(1)? • Qual a média de yt ? • Qual a variância de yt ? • E a FAC e FACP? 16 • Qual a condição de estacionariedade de um processo AR(1)? • Um processo AR(1) pode ser escrito da seguinte forma onde y0 é um valor inicial. Portanto, para um processo AR(1) ser estacionário 17 • Qual a média de um processo AR(1)? • Se o processo for estacionário 18 • Qual a variância do processo AR(1)? •A variância de um processo AR(1) é dada por • Qual a FAC de um processo AR(1)? • A FAC de um processo AR(1) decai exponencialmente. • A autocorrelação de k-ésima ordem é dada por 19 • Qual a FACP do processo AR(1)? • Pela própria definição, para um processo AR(1) a FACP é dada por 20