Introdução a Processos Estocásticos
Estacionaridade
Júlio César e Melo
Evolução de um sistema
 Sistemas dinâmicos
• Estrutura matemática
• Modelo determinístico
• Futuro totalmente previsível
 E quando o houver alguma “aleatoriedade
intrínseca”?
• “Apesar de tendências ou correlações fortes
existirem, sempre há algum elemento de
incerteza.”
Evolução de um sistema
 Sistemas dinâmicos
• Estrutura matemática
• Modelo determinístico
• Futuro previsível
 Processo estocástico
• Estrutura matemática
• Fenômeno com
incerteza
Processo estocástico

Três componentes:
1. Espaço de estados
2. Linha do tempo
•
•
Ordenado linearmente
Estrutura que permite ir precisamente à frente ou
para trás
3. Medida de probabilidade
Processo Estacionário
 Características estatísticas não se alteram
com o tempo.
• Sentido estrito
• Distribuição de probabilidade não varia com o
tempo.
f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c)
• Sentido amplo
• A média, variância e correlação não variam com o
tempo.
Aplicação prática
 Economia – Anti-truste
 Preço relativo no mesmo mercado deve
ser estacionário
• Exemplo:
Preço do salmão escocês em relação ao
preço do salmão norueguês
(Fonte: Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve
Accuracy. Disponível em: http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf)
Preço do salmão escocês relativo ao
salmão norueguês na Inglaterra
Processo Estacionário
 Estacionaridade no
sentido amplo
Em função de t - s
 Ruído branco
Processo estacionário
 Auto-regressivo
• Condição de estacionaridade:
• Teste da hipótese nula verifica
estacionaridade
Processo estacionário
 Trend-stationarity
• Obtém-se um processo estacionário
removendo-se uma tendência temporal
Processo estacionário
(Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)
Processo estacionário
(Fonte: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section4/pmc442.htm)
Processo estacionário
 Difference-Stationary
Processo estacionário discreto
 Processo Bernoulli
• Processo estocástico sem memória
• Estacionário para p e q constantes
P{k = r} =
Processo estacionário discreto
 Processo Markov Estacionário
• Relógio de um computador com n estados
• Distribuição de probabilidade de um único
estado que seja consistente para qualquer
momento:
[ 1/n, 1/n, ..., 1/n ]
Definição
f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c)
 Estacionaridade de N-ordem
• n≤N
 Estacionaridade em um intervalo
• Para todo ti e ti + c no próprio intervalo
Definição
 Incremento estacionário
• y(t) = x(t + h) – x(t) forma um processo
estacionário para todo h
• Processo estacionário contínuo
• Não é importante “quando” começa o processo
estacionário
Conclusão
 Estacionaridade em processo estocástico
 Tipos de estacionaridade
 Aplicação prática
Bibliografia
 Pivato, Marcus. Stochastic Processes and Stochastic
Integration. 21 fev. 1999.
 Papoluis, A. Probability, Random Variables and
Stochastic Process. 2002.
 NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods.
Disponível em: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/
 Johnson, D. The Poisson Process. Disponível em:
http://cnx.rice.edu/content/m11255/latest/
 Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests
Can Improve Accuracy. Disponível em:
http://www.lexecon.co.uk/assets/stationarity.pdf