1 Considere o seguinte integral:
 2
I   sen2 x dx
0
a) determine o número de intervalos necessário para estimar o valor do
integral com erro de |Et|0.01 pela regra de Simpson 1/3 composta
1
( 4)
5
Et  
f
(
b

a
)
180 n 4

1
( 4)
5
n   
f (b  a ) 
 180E t

b
1
f (x) 
f ( x )dx

ba a
0.25
a)
f''''=16*sen(2x)

f
(4)
n=
2


2
2
 8 c o s  2 x
1
6
*
s
e
n
(
2
x
)
d
x

0

2.7123
----->
4
 0 2


10.18592
b) estime o valor do integral com o número de intervalos obtido. (Nota: se
não conseguiu resolver alinha a) utiliza n=10.)
n 1
n2

ba 
I
f ( x )  4  f ( x i ) 2  f ( x i ) f ( x n ) 
3n  0
i 1, 3,5,
i  2 , 4 , 6,

n
x
0
1
2
3
4
0=
pi/8=
2pi/8=
3pi/8=
4pi/8=
x
0
0.392699082
0.785398163
1.178097245
1.570796327
I(4)=
f(x)
0
0.707106781
1
0.707106781
1.22515E-16
1.00228
Considere o seguinte integral definido:

2
 sen xdx
0
Calcule o integral utilizando o método de Quadratura Gaussiana e determine o erro de
aproximação. Nota: Cuidado com os limites de integração.
1
I   f ( x d )dx
1
1
1
I  f(
)  f(
)
3
3
( a  b)  ( b  a ) x d
x
2
x
 
 xd
4 4
ba
dx 
dx d
2
dx 

dx d
4
1
1
  1 
  1 
  
I  f ( )  f ( )   sen  x d  dx d sen 
 dx d  sen 
 dx d 
3
3
4 4 4
4 4 34
4 4 34
1
1


 
1 
1  



sen
1


sen
1




 
 


4 4
3 
3  
4
pi/4=
1/sqrt(3)=
AA=
BB=
I=
0.785398
0.57735
0.325886
0.945409
0.998473
Iverdadeiro:
1
erro:
0.001527
Junho 2004
1. Considere o seguinte equação diferencial:
f ( x , y) 
dy
 2 x 3  10 x 2  20 x  7
dx
Determine o valor de y para x=1 utilizando o método “midpoint” com um passo de
h=0.5 e condição inicial y=2; x=0.
yi+1=yi+k2h
onde
h=xi+1-xi
k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+0.5h, yi+0.5 k1 h)
i=0
x0=0;
y0=2;
dy
k1  f (0,2) 
dx
x1=x0+h=0+0.5=0.5
 2(0)3  10(0) 2  20(0)  7  7
x 0 , y  2
x+0.5h=0.25
k 2  f (0.25,0.5  7  0.5) 
dy
dx

x  0.25 , y 1.75
 2(0.25)3  10(0.25) 2  20(0.25)  7  2.59375
y1=y0+k2h
y(0.5)=2+2.593750.5=3.296875
i=1
x1=0.5; y1= 3.296875;
dy
k1  f (0.5,3.296875) 
dx
x2=x1+h=0.5+0.5=1
 2(0.5)3  10(0.5) 2  20(0.5)  7  0.75
x 0, y  2
x+0.5h=0.75
k 2  f (0.75,0.5  0.75 0.5) 
dy
dx

x  0.75 , y  0.1875
 2(0.75) 3  10(0.75) 2  20(0.75)  7  -3.21875
y2=y1+k2h
y(1)= 3.296875 -3.218750.5=1.6875
Junho 2003
Os seguintes valores representam a velocidade dum fluido num tubo em função da
distância à parede do tubo:
y (cm):
v (m/s):
0
0
1
2.1
2
7.8
3
18.2
4
31.9
5
50.3
Estime a tensão de corte () do fluido, sendo esta definida pela seguinte formula:

dv
dy
onde  é a viscosidade do fluido, igual a 0.001 kg/(ms). Nota: preste atenção às
unidades
y (cm):
0
1
2
3
4
5
v(0) 
y(m)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
v (m/s):
0
2.1
7.8
18.2
31.9
50.3
v'
210
390
805
1205
1605
1840
tau
0.21
0.39
0.805
1.205
1.605
1.84
v 0 v(0.01)  v(0) 2.1  0


 210
h
h
0.01
v(0.01) 
v 0.01 v(0.02)  v(0) 7.8  0


 390
2h
2h
0.02
v(0.02) 
v 0.02 v(0.03)  v(0.01) 18.2  2.1


 805
2h
2h
0.02
v 0.03 v(0.04)  v(0.02) 31.9  7.8


 1205
2h
2h
0.02
v
v(0.05)  v(0.03) 50.3  18.2
v(0.04)  0.04 

 1605
2h
2h
0.02
v(0.03) 
v(0.05) 
v 0.05 v(0.05)  v(0.04) 50.3  31.9


 1840
h
h
0.01