Movimento oscilatório e Caos
Do mais simples para o mais
complicado ...
MHS

Amortecimento

Não linearidade

Caos
Nas aulas
anteriores
Hoje
Movimento Harmônico Simples

Na penúltima aula:
Pêndulo simples
Movimento Harmônico Simples

T


P
Hoje: pêndulo
não-linear  sen() 
 forçado
FDsen(Dt)
amortecido -b
d/dt
Decompondo
FR=0
PR=T
F = P+Fext +Famort
dt2
F  m
d 2s
Mas s=l
dt 2
F  m l
d 2
P =-mg sen()
Fext=FDsen(Dt)
dt 2 m l
 
d 2 F
Famort=-b d/dt
Tomando FD/ml e q  b/ml
Juntando
dt 2
l
dt
  sen( )  q
  sen( Dt )
d 2
g
d
1 equação diferencial não-linear
não-homogênea de 2a ordem
Solução desconhecida!
Aplicar o Método de Euler-Cromer
Transformar
1 equação diferencial de 2a ordem
em
2 equações diferenciais de 1a ordem
Como aplicar o Método de Euler-Cromer?
dt

d
2 equações
de 1a ordem
dt
l
dt
  sen ( )  q
  sen ( Dt )
d
g
d
Iterando 
dt

d
dt
t

d  (t  t )   (t )
dt
 (t  t )   (t )  t   (t )   (t )t
d
i+t= i +
 t
Igual a aulas
anteriores
Iterando 
dt
l
dt
  sen ( )  q
  sen ( Dt )
d
g
d
dt
t

d  (t  t )   (t )
dt
 (t  t )   (t )  t
d
l
 (t  t )   (t )  sen ( (t )) t  q (t )t  sen ( Dt )t
g
Iterando 
l
 (t  t )   (t )  sen ( (t )) t  q (t )t  sen ( Dt )t
g
i+t= i – (g/l)senitqit+sen(Dti) t
diferente das aulas
anteriores
O programa
Inicializa
Itera
(até n)
Imprime
0=... e 0=...
i+t= i - (g/l)senit
-qit+sen(Dti) t
i+t= i +
Print,
i+1t write ...
Testando o programa
l =1m g = 9,8
m/s2
g
  2
 2s
l
t= 0,04 s
0= 0
= 0
q= 0
0=0,2 rad sen(0)=0,199  sen(0) 0
Rodando o programa
0.3

(rad)
0=0,2 rad
sen(0)= 0,199
 sen(0) 0
sen
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
0
2
4
6
t(s)
8
10
Ok !
Amortecimento
q=3.125
q=6.25
q=12.5
q=0
q=1.5625
0,3
Sub-crítico
(rad)
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
0
2
4
t(s)
6
8
crítico
Amortecimento
Energia
0,20
0,15
q=0
q=1.5625
q=12.5
0,10
0,05
0,00
0
2
4
t(s)
6
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
Força externa
=2
t= 0,04 s
0,2
q=0.625
0,1

0= 0
0,0
-0,1
0= 0.02
q= 0.625
0
10
transiente
20
t(s)
30
= 0.0
Força externa
q= 0.625
5
=0
=0.5
=1.2
q=0.625
4
3
2
= 0
= 0.5
= 1.2

1
0
-1
-2
-3
0
10
transiente
20
t(s)
30
40
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
Força externa
4
t= 0,04 s q= 0.5
q=0.02
2
(rad)
0
0= 0
-2
-4
-6
=0
=0.5
=1.2
-8
-10
0
10
20
30
t(s)
40
50
60
0= 0.02
CAOS!
Força externa
l =9.8 m g = 9,8 m/s2
3
q=0.02
2
(rad/s)
1
t= 0,04 s
0
-1
=0
=0.5
=1.2
-2
-3
0= 0
0= 0.02
-4
0
10
20
30
t(s)
40
50
60
q= 0.5
Caos
Um sistema pode obedecer às
leis determinísticas da física e ainda
assim ter seu comportamento não
predizível devido a uma extrema
sensibilidade às condições iniciais
Esse sistema é dito caótico
Trajetória no espaço de fase
0= 0.02
0.8
0.6
0.4
q= 0.5
(rad/s)
0.2
0.0
-0.2
= 0.5
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
(rad)
0.4
0.6
0.8
1.0
Sem caos
Trajetória no espaço de fase
0= 0.02
3
2
(rad/s)
1
q= 0.5
0
-1
= 1.2
-2
-3
-10
-8
Tf=60s
-6
-4
-2
(rad)
0
2
4
Caos
Caos
3
2
Tf=360s
(rad/s)
1
0
-1
-2
-3
-20
-15
-10
-5
(rad)
0
5
Sensibilidade às condições iniciais
1E-3
= 0.5
1E-4
||
1E-5
(t=0)=0.001
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
0
10
20
t(s)
30
40
 ~ et
~-0.25 < 0
Expoente de Liapunov
10
= 1.2
1
0,1
(t=0)=0.001

0,01
1E-3
1E-4
1E-5
1E-6
0
50
100
t(s)
150
 ~ et
> 0
Caos
=0.5
< 0
Sem caos
=1.2
> 0
Caos
Transição:  = 0
 > 0.5
 < 1.2
Bifurcação
Para cada  (FD) calcula-se (t)
Depois de 300 períodos
(transiente vai a zero)
Até 400 períodos
 Pegar  para t em fase com a
força externa: Dt=n
Bifurcação
Referência
Computational
Physics
Nicholas J. Giordano