TA631 - Op. Unit. I
Transf. Quantidade de Movimento
Aula 8
Casos especiais de escoamento
 8.1. Sistemas não isotérmicos
 8.2. Diâmetro equivalente
 8.3. Diâmetro econômico
 8.4. Gráfico de Karman
CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO
8.1. Sistemas não isotérmicos
Os métodos para cálculo do fator de atrito descritos até
agora são aplicáveis aos casos onde não há
transferência de calor (aquecimento ou resfriamento)
entre a parede e o fluido.
No entanto, quando um fluido é aquecido ou resfriado
durante o escoamento, existe uma alteração nas suas
propriedades físicas e o perfil de velocidades muda
com o gradiente de temperatura existente no sistema.
Sistemas não isotérmicos
Este fenômeno é mais pronunciado nos líquidos
cujas
propriedades
reológicas
variam
sensivelmente com a temperatura.
Existem teorias bastante elaboradas para o efeito
da transferência de calor sobre a distribuição de
velocidades, porém para cálculos de engenharia
pode-se utilizar um método simples tanto para
gases como líquidos.
Descrição do método:
a) Calcular o número de Reynolds com valores de
parâmetros reológicos e densidade à temperatura
média. A temperatura média é a média aritmética das
temperaturas médias do fluido na entrada e saída da
tubulação.
T 
T entrada  T saída
2
R eT
Newtoniano:
ρ
Lei da potência:
ρ
T
T
μ
K
T
T
n
b) Com o valor do número de Reynolds e
com o parâmetro de rugosidade do tubo é
possível obter o fator de atrito (Fanning ou
Darcy) à temperatura média aritmética.
Fluido Newtoniano – Reg. Turbulento
R eT

Diagrama de Moody
ou Diagrama de Dodge-Metzner
D
Fluido de Lei da Potência – Reg. Turbulento
f FT
c) O fator de atrito obtido é corrigido mediante
uma correlação da viscosidade que leva em conta
o tipo de processamento térmico
f Fcorrigido
 P 

 f F T 
  
B
onde:
 P  viscosidade do fluido à temperatura da parede do tubo
   T  viscosidade do fluido à temperatura media aritmética
Valor da constante B para a correção do fator de
atrito em sistemas não-isotérmicos
B
Tipo de processo
térmico
Aquecimento
Resfriamento
Regime laminar
Re < 2100
0,38
0,23
Regime turbulento
Re > 2100
0,17
0,11
8.2. Diâmetro Equivalente em tubos não cilíndricos
Até agora vimos o cálculo das perdas por atrito em tubos de
seção cilíndrica, no qual o líquido ocupa totalmente a área de
escoamento. Em tubos ou canais cuja seção não é circular ou
onde o escoamento ocorre em dutos parcialmente cheios, se
o escoamento é turbulento e o fluido newtoniano, as técnicas
descritas podem ser usadas, apenas é necessário substituir
o diâmetro real por um diâmetro equivalente.
O diâmetro equivalente é definido, tradicionalmente, como
4 vezes o raio hidráulico.
D eq  4 R H
Por sua vez, o raio hidráulico pode ser definido como:
RH 
Área da seção transversal de escoamento
Perímetro molhado
Portanto:
D eq

 4

Á rea da seção transversal de escoam ento
P erím etro m olhado



O perímetro molhado é a porção da parede numa seção
transversal do tubo, na qual existe contato com o fluido.
Diferentes situações de cálculo do diâmetro equivalente:
Tubo circular cheio
D eq 
 Área da seção transversa l de escoamento
4 
Perímetro molhado


Deq  4
D
4
 D
2
D eq  D



Tubos circulares concêntricos (área anular):
D eq


2
2 
 D ext  D in t   D 2  D 2 
 D ext  D in t   D ext  D in t 
ext
in t
4
 4

4


 D ext   D in t
D ext  D in t
D ext  D in t
D eq  D ext  D int
Tubo de seção quadrada:
2
D eq  4
L
4L
D eq  L
Tubo circular cheio até metade
1
D eq
 4


D
2 4
1
1 D
2
2
=D
Nesse caso, a energia de atrito total é calculada através da
equação de Fanning usando o diâmetro equivalente:

L
ˆ
E f   fF

D eq


2
 2v 


k
v
f
2
2
O fator de atrito será obtido do diagrama de Moody
Re 
 vD eq

* A velocidade nas equações é a velocidade média efetiva,
calculada sem usar o diâmetro equivalente:
v 
V
A

vazão volum étrica
área transversal de escoam ento real
Por exemplo, no caso de líquido dentro do anel
existente entre dois tubos concêntricos, a velocidade
efetiva é:
v 
vazão volum étrica
área transversal do anel

V

D

4
2
ext
 D int
2

8.3 VELOCIDADE E DIÂMETRO ECONÔMICOS
A escolha do diâmetro da tubulação deve levar em
consideração os parâmetros econômicos e a disponibilidade
de diâmetros dos tubos comerciais.
Na escolha do diâmetro, dois fatores são importantes:
O custo da tubulação a ser instalada (custos fixos ou
depreciação do investimento inicial). Este custo aumenta a
medida que se escolhe diâmetros maiores.
O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no
bombeamento do fluido diminui com o aumento do diâmetro da
tubulação (custos operacionais).
Custo total
Custo da
tubulação
$/ano por
metro de
tubulação
Custo de bombeamento
D ótimo
Diâmetro
Figura: Determinação do diâmetro ótimo
A soma dos custos fixos mais os operacionais
apresenta um valor mínimo que é denominado
diâmetro econômico, aquele que minimiza os
custos totais de uma tubulação.
O diâmetro econômico pode ser determinado através
de duas metodologias:
1. Através de equações obtidas da derivação da
equação resultante da soma dos custos fixos e
dos operacionais. Este método exige dados reais de
tubulações e a obtenção de equações, porém fornece
o verdadeiro valor do diâmetro ótimo. No caso de
sistemas complexos de alto custo, este método é o
método a ser seguido.
2. Através da velocidade aconselhável ou velocidade
econômica. Este método é adequado para
pequenas e médias instalações e será o método que
usaremos nesta disciplina.
Obtenção do diâmetro econômico através da equação de
custos mínimos
Solução para fluidos newtonianos:
Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NJ.
Solução para fluidos newtonianos, da lei da potência e plásticos
de Bingham
Darby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum
economic pipe diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 1121.
Solução para fluidos Herschel-Bulkley
Garcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for
pumping Herschel-Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food
Process Engineering, 8, 117-136.
Obtenção do diâmetro econômico através da
velocidade econômica
Usa-se a velocidade aconselhada para um dado regime
de escoamento, considerando a viscosidade ou a
densidade. Com essa velocidade calcula-se o diâmetro.
Este método se baseia no fato de que as velocidades de
fluidos que escoam em tubos com diâmetros econômicos,
estão dentro de uma estreita faixa de valores.
Esses valores de velocidade variam em função da
densidade, quando o escoamento é turbulento e da
viscosidade, quando o regime é laminar.
Tabela: Valores de velocidade econômica para tubos com
diâmetro igual ou inferior a 4 polegadas.
óleo
Líquido viscoso
Escoamento Laminar
μ (cP)
v (m/s)
10
1
100
0,3 - 0,8
1000
0,1 - 0,24
água
Escoamento Turbulento
 (kg/m3 )
0,12
1,2
v (m/s) 12,5 - 15,5 5,5 - 7,7
12
800
1200
3,2 - 4,0
1,6 - 2,0
0,79 - 1,0
Escolhida a velocidade aconselhável através da tabela
anterior, para um fluido de densidade ou viscosidade
conhecidas, o diâmetro econômico será obtido pela
expressão:
D eco 
4 m
 v eco

4V
 v eco
Após o cálculo do diâmetro econômico, se consulta o
catálogo de tubulações para determinar a dimensão real do
tubo. O diâmetro escolhido corresponde a um dos
diâmetros-padrão e gera a velocidade efetiva.
Regras práticas para a determinação do diâmetro ótimo:
a) Quando o diâmetro calculado é bem próximo de
um valor-padrão, toma-se este valor.
b) Quando o diâmetro calculado é menor que 1",
toma-se o valor-padrão imediatamente superior.
c) Quando o diâmetro calculado é maior que 1",
toma-se o valor-padrão imediatamente inferior.
Essa regra foi feita de acordo com a forma de
variação do custo da tubulação com o aumento
do diâmetro.
Exemplos
Diâmetro econômico
Diâmetro equivalente
Exemplo 1: Diâmetro econômico
Deseja-se transportar óleo de soja a uma vazão
de 5 litros/s. Que diâmetro de tubulação deve
ser empregado?
Dados:
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
μ = 0,0336 kg/m.s
Supondo regime laminar para o fluído newtoniano,
com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma
velocidade econômica de 0,9 m/s (lembrando que
0,0336 kg/m.s = 33,6 cP).
 (cP)
10
100
1000
v (m/s)
1
0,3 - 0,8
0,1 - 0,24
O diâmetro econômico é calculado por:
D eco 
4 m
 v eco

Deco = 8,4.10-2 m
Deco = 3,3 in
4V
 v eco
Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial
(regime de escoamento laminar) está correta:
Re = Dvρ/μ
Re < 2100 = regime laminar
Re = 2138 Considera-se regime laminar !
Suposição inicial satisfeita !
Agora, podemos escolher um diâmetro comercial através
de um catálogo.
Diâmetro Diâmetro
nominal externo Código
in
in
Espessura Diâmetro
da parede interno
in
in
Calculado:
Deco = 3,3 in
Selecionado
(considerando aço
carbono série 40):
Tubulação de aço. Perry & Chilton, pág. 6-59.
Dn = 3 in
Di = 3,068 in
ou
Dn = 3 1/2 in
Di = 3,548 in
Supondo regime turbulento para o fluído
newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo
podemos estimar uma velocidade econômica de
1,5 m/s.
ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3
0,12
1,2
 (kg/m3 )
v (m/s)
12,5 - 15,5 5,5 - 7,7
12
3,2 - 4,0
800
1,6 - 2,0
1200
0,79 - 1,0
O diâmetro econômico é calculado por:
D eco 
4 m
 v eco

4V
 v eco
Deco = 6,5.10-2 m
Deco = 2,5 in
Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime
de escoamento turbulento) está correta:
Re = Dvρ/μ
Re > 4000 = regime turbulento
Re = 2137 Considera-se regime laminar ! Suposição
inicial não satisfeita ! Calcular como regime laminar !
Exemplo 2: Diâmetro equivalente
Deseja-se saber qual será o tipo de tubulação que dará
menor perda de carga para a distribuição de ar: seção
circular ou quadrada? Suponha área de seção com 1 m2;
modelo newtoniano; relacione as perdas de carga
^
através de: ^
E f cir . / E f quad .
^
E
fcil .
^
E
fqua .

_2 


L v 
 fF

D cil . 2 






L v 
 fF

D qua . 2 



_2

D qua .
D cil .
Agora, precisamos encontrar os diâmetros
das seções
Supondo uma área de seção de 1m2
Seção circular
A = π R2
1 = π R2
R = 0,5641 m
D = 1,128 m
Seção quadrada
A = L2
1 = L2
L = 1m
D eq = 1m
D eq

 4

2
D eq  4
L
4L
D eq  L
Á rea da seção transversal de escoam ento
P erím etro m olhado



^
E
fcil .
^
E
fqua .

D qua .
D cil .

1
 0 ,88
1,128
A energia perdida por atrito por unidade de
massa em uma tubulação com seção
circular é, geralmente, 12% menor que na
seção quadrada.
8.4. Gráfico de Karman
Geralmente se conhece a vazão, o diâmetro, as características do fluído
(μ e ) e do meio (rugosidade) e pode-se calcular Re.
Com esses valores obtém-se o fator de fricção com o gráfico de Moody
e se calcula a energia perdida no atrito com a parede.
Em certas ocasiões a energia utilizada para vencer o atrito viscoso (Ef) é
pré-determinada e se conhece o diâmetro. Neste caso para calcular a
vazão se utiliza o método interativo aproveitando o gráfico que
correlaciona o número de Karman (λ) com 1/fD
  Re
fD

Número de Karman
A velocidade é calculada com a equação
obtida da definição de energia friccional:

v  


_
1
fD

.


^
2E
f
 L 


 D 
Gráfico de Karman

1
D
fD

Exemplo:
Água a 43ºC flui através de um tubo de aço comum ( = 4,6.10-5m),
de diâmetro nominal de 2” e comprimento de 20m. Os manômetros
indicam 30 psig no início da tubulação e 15 psig no final. A diferença
de altura é 3 m.
Aplicando o balanço de energia temos:
P.1

_2
P1
P1

 g . z1 
_2
^
v1
2
W
p

P2

 g .z 2 
v2
2
P.2
5m

P2
_2
P1  P2
2m
_
Reagrupando
temos:
1
fD

v
 P  P2

2 1
 g  z 1  z 2 
 

L/D

 g .( z 1  z 2 )  f D
L v
D 2
^
E
f
_
1
fD

v
^
 P  P2

2 1
 g  z 1  z 2 
 

L/D
fD
  Re
Inserindo no número de Karman
Re
fD
D v  1

 .

v 
 
D

1 
  .
v 

f
 L 


D 
 P1  P2

2
 g  z 1  z 2 
 

L/D
f
 L 


 D 
f D obtemos:
^
2E
2E
......[ 1]
g ( z 1  z 2 )  9 ,8
P


5 psig
1000
kg
m
L
2 in
s
2
x 3 m  20
101325 Pa
m
s
 33
14 , 7 psig
3
20 m

D
x
m
0 , 0254 m
 400
1 in
D

0 , 05 m 1000
kg
3
s
m

 80000
m
 3  kg 
0 , 6 x 10 

 m .s 
2
 
2
m
s
2
2
D

 P1  P2



2
 g z1  z 2 
 

L/D
33 m2/s2
20 m2/s2
80000 s/m
 
D

 P1  P2

2
 g  z 1  z 2 
 

L/D
400
  67642
Gráfico de Karman

1
D

0 . 000046 m
 0 . 0009
0 . 0525 m
7
fD
  67642
1
Do gráfico de Karman:
7
fD
Agora podemos calcular a velocidade média através da
relação inicial [1]:

v  


_
11
ffDD

 .


^
2E
_
f
 L 


 D 
v  5 , 65
m
s