Sistemas de partículas
Plano da aula
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Sistemas de duas partículas.
Sistemas de N partículas.
2a Lei de Newton para um sistema de partículas.
Cálculo de centro de massa.
Momento linear e sua conservação.
Sistema de 2 partículas: centro de massa
• Considere duas partículas de massas m1 e m2 em uma dimensão:
F12
F1

 m1


m
 2
F21
(ext)
F2(ext)
2
d x1
dt
 F1 2  F1
2
( ext )
2
d x2
dt
2
 F2  1  F2
( ext )
Note como distinguimos forças internas (F12 e F21) de forças externas (F1(ext) e F2(ext)).
Somando-se as equações
termo a termo:
2
 m1
d x1
 m1
d x1
dt
2
2
 m2
d x2
 m2
d x2
2
Da 3a lei de Newton,
F12= - F21
dt
2
dt
2
 F1 2  F2  1  F1
( ext )
 F2
2
dt
2
 F1
( ext )
 F2
( ext )
 F
( ext )
F(ext) é a força externa resultante. As forças internas
se cancelam
( ext )
Sistema de 2 partículas: centro de massa (cont.)
2
m1
d x1
dt
2
2
 m2
d x2
Definimos: xCM 
dt
2
 F
( ext )

d
2
 m 1 x1  m 2 x 2 
dt
m1 x1  m2 x2
m1  m2
2
 F
( ext )
2
tal que F
( ext )
 ( m1  m 2 )
d x CM
dt
2
2
M
d x CM
dt
2
onde M=m1+m2 é a massa total do sistema.
O sistema age como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de
massa)
xCM
F12
F21
F1(ext)
F2(ext)

M
F(ext)
Em particular, se F(ext)=0, a velocidade do CM é
( ext )
constante
F
M
2
dx CM
dt
 v CM  cte .
2a Lei de Newton para um sistema de 2 partículas dt
2
d xCM
Exemplo em que o centro de massa tem velocidade constante
m=80 kg
m=60 kg
Dois patinadores no gelo (sem atrito com o
chão) encontram-se inicialmente a uma
distância de 12 m. Eles puxam as extremidades
de uma corda até se encontrarem. Em que
ponto eles se encontram? O resultado depende
das forças exercidas por eles?
 Só há forças internas ao sistema  O centro de massa tem velocidade constante.
x CM 
0  80  12  60
80  60
m  5 ,1 m 
Os patinadores se encontrarão a 5,1 m
da posição inicial do patinador da
esquerda, não importam as forças
exercidas por eles.
Generalização para N partículas:

2
d
x1
( ext )

m1

F

F



F
1

2
1

3
1
2

dt

2
d x2

( ext )

F

F



F
m2
21
2 3
2
Somando as equações, as forças internas
2
dt

se cancelam aos pares


2

d xN
( ext )
m

F

F



F
 N
N 1
N2
N
2
dt

2
 m1
d x1
dt
2
 m2
dt
2
xCM 
F
( ext )

d
2
2
d x2
2
   mN
d xN
dt
2
 F1
 F2
( ext )
( ext )
m1 x1  m2 x2    mN xN
m1  m2    mN
 m 1 x1  m 2 x 2    m N x N 
dt
2


1
   FN
( ext )
N
mx

M
i
i
i 1
2
F
( ext )
M
d xCM
dt
2
 F
( ext )
Generalização para 3 dimensões:
r CM 
N
1
mr

M
i
i
i 1
( ext )
F
2
 m1
d r1
dt
2
2
 m2
( ext )
F
d r2
dt
2
2
   mN
d rN
dt
2
2
 M
d r CM
dt
2
2
M
d r CM
dt
2
O sistema responde à resultante das forças externas
como se a massa total M estivesse toda concentrada
no centro de massa.
2a Lei de Newton para um sistema de partículas
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa
descreve uma parábola como uma partícula.
Momento Linear e sua
conservação
Momento linear:
O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é uma quantidade
vetorial definida como:
p  mv
A
2a
lei de Newton pode ser escrita como:
F m
dv

dp
dt
dt
O momento linear de um sistema de partículas é a soma vetorial dos momentos
lineares individuais:
P  p1  p2    pN  m1 v1    mN v N
Diferenciando em relação ao tempo a definição do centro de massa:
r CM 
1
N
mr

M
i
N
i
i 1
 M v CM   mi v i  P
i 1
Diferenciando novamente e usando a 2a lei de Newton para um sistema de partículas:
M
d v CM
dt

dP
dt
F
(ext)
Nesta figura, um neutrino (n) colide com um próton (p) estácionário. O
neutrino se transforma num muon (m-) e há a criação de um píon (p). O
neutrino, por ser neutro, não deixa rastro na câmara de bolhas. Observe
que não haveria conservação de momento linear, se não houvesse uma
partícula neutra colidindo pela direita.
Eine andere Nachweismöglichkeit besteht darin, die Spuren
einer Kollision zwischen einem Neutrino und einem anderen
Atomkern z.B. in einer Blasenkammer zu fotografieren. Die
Abbildung rechts zeigt die weltweit erste Aufnahme einer
Neutrino-Kollision (p + n  p + m- + p+) in einer WasserstoffBlasenkammer, die im November 1970 gelang. An der Stelle,
an der das Neutrino (n ohne Spur) ein Proton trifft, beginnen
drei Spuren. Das Proton (p) fliegt weg und es entstehen ein
Müon (m-) und ein Pion (p+).
Das Bild wurde freundlicherweise von Malcolm Derrick vom
Argonne National Laboratory zur Verfügung gestellt.
Conservação de momento linear:
Uma consequência imediata da 2a lei de Newton para um sistema de partículas é a
conservação do momento linear total de um sistema quando a soma das forças
externas é igual a zero.
(ext)
F
 0  P  cte.
Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei pode ser
muito útil para resolver problemas, sem ter que achar a dinâmica detalhada do
sistema.
 Note que a única condição para a conservação do momento linear total é que a
resultante das forças externas seja nula. Não há nenhuma restrição quanto à
presença de forças dissipativas, desde que elas sejam internas.
(ext)
Se F
0
Resultante das forças
externas nula
P  cte
O momento se conserva!!
Exemplo do canhão:
Massa do canhão mais plataforma M=100 kg
Massa da bala m=1,0 kg
Velocidade da bala em relação ao canhão vrel=300 m/s
 O momento linear total inicial é nulo.
 Imediatamente após a explosão, o momento linear
total tem que ser nulo também, pois as forças que
atuam durante a explosão são todas forças internas
(depois da explosão, forças externas passam a atuar:
gravidade e resistência do ar sobre a bala, atrito sobre
v0  ? V0  ?
a plataforma).
MV0  mv0
Os módulos das velocidades estão assim relacionados:
vrel  v0  V0
v rel
 Note que v rel  v 0 - V 0
V0
v0
m

V

vrel  2,97 m/s
 0
Resolvendo o sistema de equações encontramos: 
mM
v  v - V  297 m/s
rel
0
 0
Forças externas e mudanças de energia interna:
Considere a situação ao lado, em que uma patinadora
empurra um corrimão (força F) e adquire velocidade e
energia cinética no processo. Nessa situação:
a)
Energia (muscular) é gasta pela patinadora, que se
transforma em energia cinética. Há apenas
transferência de energia entre partes do sistema, não
entre o sistema e o ambiente externo.
b)
A situação envolve um sistema de partículas e não
uma partícula apenas: as diferentes partes da
patinadora movem-se diferentemente.
Para analisar essa situação, utilizamos a 2a lei de Newton
para um sistema de partículas, em que este é substituído
por toda sua massa concentrada no Centro de Massa
(ext)
F
M
d v CM
dt
Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.)
O trabalho realizado pela força no centro de massa ao
deslocá-lo de uma distância d se traduz numa mudança
da energia cinética da patinadora:
Fd cos   K
Se parte do trabalho é utilizada para aumento de energia
potencial (p. ex., a patinadora sobe uma rampa), o
resultado se generaliza:
Fd cos   K  U  Emec
Essa energia foi perdida pela patinadora, que despendeu
energia interna na mesma proporção:
Fd cos   Emec  -Eint
Forças externas e mudanças de energia interna: (cont.)
Propulsão de um carro: o atrito estático é a força externa
Atenção: o carro acima tem tração nas quatro rodas. Se ele só tivesse tração
em duas rodas (digamos, as dianteiras), a força nas outras rodas seria em
sentido contrário!