Robótica 1ª aula - Álgebra de Boole 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Robótica Definição Álgebra de boole é todo o terno ordenado, constituído por um conjunto A, com mais de um elemento, e por duas operações: adição (+) e multiplicação (·). 1. 2. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Propriedades 1 - (A,+) e (A,.) São semigrupos comutativos, logo: Existência das operações a,b A c,d A : a b c a b d Comutatividade das operações Associatividade das operações Existência de elemento neutro a,b A a b b a a b b a a,b,c A : a b c a b c a b c a b c a A a 0 a a 1 a 2 - distributividade entre operações a b c a b a c a b c a b a c 3 - existência de complementar a A a A : a a 1 a a 0 1. 3. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Onde a é o complementar de a . Passar para a primeira página Robótica Teoremas Elemento neutro 0 a a 0 a 1 a a 1 a Elemento absorvente 1 a a 1 1 0 a a 0 0 Idempotência aa a Involução a a Complementar a a 1 Comutatividade ab ba Distributividade a b c a b a c a b c a b a c Leis de morgan aa a aa 0 a b b a a a b a b a a b a b a a b a a a b a a b a b a b a b 1. 4. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Funções Booleanas Funções lógicas booleanas básicas Função E (AND) a b 0 1 0 1 0 0 1 1 ab 0 0 0 1 Função NÃO (NOT) a 0 1 a 1 0 Função OU (OR) a b 0 1 0 1 0 0 1 1 a b 0 1 1 1 Função SIM (YES) a a 0 1 0 1 1. 5. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Funções lógicas booleanas derivadas Função NÃO E (NAND) a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 ab 1 1 1 0 Função NÃO OU (NOR) a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 ab 1 0 0 0 Função IMPLICAÇÃO a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 0 0 1 1 b 0 1 0 1 a a b 1 0 1 1 Função INIBIÇÃO a Função DILEMA ou OU EXCLUSIVO (XOR) ab 0 0 1 0 b 0 1 0 1 0 0 1 1 ab 0 1 1 0 Função EQUIVALÊNCIA (THRESHOLD OPERATION) a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 a b a b 0 1 1 0 1. 6. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Funções Lógicas Aplicação de Bn em B F 1 Af 0 B Bn 1. 7. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Aplicação de B3 em B F 000 001 010 011 100 101 110 111 1 0 B B3 Para B3 existirão 8 elementos diferentes. Fazendo uma representação de F em extensão: F 100, 101, 110, 111 1 Representando os elementos pelas variáveis x2, x1, x0, tem-se para a função característica: 1. 8. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa F x2 Passar para a primeira página Robótica Representação Analítica 1ª forma canónica F 2 n 1 m i i 0 F i 1 2ª forma canónica F 2 n 1 m i i 0 F i 0 3ª forma canónica F 2 n 1 m i i 0 F i 1 4ª forma canónica F 2 n 1 m i 0 F i 0 i 1. 9. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Seja a função definida em B3, de acordo com a seguinte tabela de verdade: nº ordem 0 1 2 3 4 5 6 7 x2 0 0 0 0 1 1 1 1 x1 0 0 1 1 0 0 1 1 x0 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 1 0 1 0 0 5 Logo: F 010, 011, 101 1 F 000, 001, 100, 110, 111 0 1. 10. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica 1ª Forma canónica (levantamento pelos 1’s) F x 2 x1 x0 x 2 x1 x0 x 2 x1 x0 2ª Forma canónica (levantamento pelos 0’s) F x 2 x1 x0 x 2 x1 x0 x2 x1 x0 x2 x1 x0 x2 x1 x0 F x2 x1 x0 x2 x1 x0 x2 x1 x0 x2 x1 x0 x2 x1 x0 3ª Forma canónica (função NAND) F x 2 x 1 x 0 x 2 x 1 x 0 x 2 x1 x 0 F x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 4ª Forma canónica (função NOR) F x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 1. 11. F x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x1 x 0 x 2 x 1 x 0 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Representação Numérica As coordenadas de um ponto de bn escritas, sem parêntesis ou virgulas, resulta numa sequência ordenada de zeros e uns que pode ser lida como um número de base 2. O ponto será referenciado numericamente pelo número decimal correspondente ao valor binário. 011010 0 23 1 22 1 21 0 20 6 1. 12. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Para a tabela anterior: F B3 1 2, 3, 5 0 0, 1, 4, 6, 7 F tem valor 1 nos pontos 2, 3, 5 e tem valor 0 em todos os restantes pontos de B3. É usual não escrever os pontos de valor 0. Passar para a primeira página Robótica Representação Geométrica 0 Em B1 x0 2 Em B2 x1 Em B3 (110) 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa x1 (10) 3 (11) Valores lógicos 1 0 (00) (01) 0 x0 1 x2 5 4 (100) (101) 6 1. 13. 1 7 (111) 0 1 (000) (001) 3 (010) (011) 2 x0 Passar para a primeira página Robótica Representação Tabular Mapa de Karnaugh: 2 variáveis 4 variáveis 0 1 x1 0 0 2 1 1 3 x0 0 0 1 1 x1 3 variáveis 0 0 0 0 1 1 x0 0 1 2 3 0 1 1 0 x0 0 0 0 1 3 2 0 1 4 5 7 6 5 variáveis 1 1 6 7 1 x2 0 x1 4 5 x4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 x1 x0 0 0 0 1 3 2 0 1 4 5 7 6 1 1 12 13 15 14 1 x3 0 x2 8 9 11 10 1 1 12 13 15 14 1 x3 0 x2 8 9 11 10 x4 1 0 0 0 1 1 1 1 0 x1 x0 0 0 16 17 19 18 0 1 20 21 23 22 1 1 28 29 31 30 1. 14. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página 1 x3 0 x2 24 25 27 26 Robótica F B 2 1 0, 2, 3 0 1 x1 0 1 1 1 0 1 x0 Em algumas situações não interessa definir valor para um ponto, será o projectista a escolher o valor que mais lhe aprover. Iremos usar a letra d de d’ont care (tanto faz). F B 4 1 0, 2, 3, 7, 8, 10 d 1, 5, 9, 12 0 0 1 1 x1 0 1 1 0 x0 0 0 1 d 1 1 0 1 0 d 1 0 1 1 d 0 0 0 1 x3 0 x2 1 d 0 1 1. 15. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página Robótica Simplificação De Funções Analiticamente F B 4 1 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12 F x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 x 3 x 2 x1 x 0 Por utilização das propriedades e teoremas obtém-se: F x1 x0 x3 x 2 x3 x 2 x1 ou ainda: 1. 16. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa F x1 x 0 x3 x 2 x3 x 2 Passar para a primeira página Robótica Mapa de karnaugh Levantamento pelos 1’s: 0 0 1 1 x1 0 1 1 0 x0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 x3 0 x2 1 1 0 0 F x1 x 0 x3 x 2 x3 x 2 x1 1. 17. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Levantamento pelos 0’s: 0 0 1 1 x1 0 1 1 0 x0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 x3 0 x2 1 1 0 0 F x 3 x 2 x 0 x3 x 2 x 0 x 3 x1 x 2 x1 F x3 x2 x0 x3 x2 x0 x3 x1 x2 x1 Passar para a primeira página Robótica Estados d’ont care (tanto faz) Levantamento pelos 1’s: 0 0 1 1 x1 0 1 1 0 x0 0 0 0 0 1 d 0 1 0 1 1 0 1 1 d 0 d d 1 x3 0 x2 0 0 1 1 F x 2 x1 x3 x 2 x 0 1. 18. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Levantamento pelos 0’s: 0 0 1 1 x1 0 1 1 0 x0 0 0 0 0 1 d 0 1 0 1 1 0 1 1 d 0 d d 1 x3 0 x2 0 0 1 1 F x3 x1 x x x 2 x1 2 0 F x3 x1 x 2 x0 x 2 x1 Passar para a primeira página Robótica Bibliografia Folhas das Cadeiras de Automação Industrial: Mestrado em Engenharia Mecânica - IST (1995/96) Rui Loureiro Licenciatura em Engenharia Mecânica - IST (1990) Caldas Pinto Método Sequencial para Automação Electropneumática Fundação Calouste Gulbenkian (Agosto 1983) José Novais 1. 19. 02-08-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa Passar para a primeira página
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