Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do 1º teste
Ano lectivo 2000/2001
02-11-2000
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Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
A figura representa o diagrama esquemático de um sistema de controlo de nível de
líquido.
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a) Qual o diagrama de blocos do sistema de controlo apresentado.
Controlador
Válvula
pneumática
Tanque de
água
Bóia
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b) Considerando que o nível de líquido é operado por um ser humano, qual o diagrama
de blocos do sistema.
Cérebro
Músculos e
válvula
Tanque de
água
Olhos
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II-1
Calcule a transformada de Laplace de:
a)
d2y
dy
dx

4

4
y

3
 2 x , admitindo as condições iniciais nulas.
dt 2
dt
dt
d2y
dy
dx
 4  4 y  3  2x
2
dt
dt
dt
y  4 y  4 y  3x  2 x
s 2 y s   4sy s   4 y s   3sx s   2 xs 
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b)
2 x  7 x  3 x  0 , sabendo que x0  2 e x0  3
2 x  7 x  3x  0


2 s 2 xs   sx 0  x 0  7sx s   x0  3 xs   0
2s 2 xs   2sx 0  2 x 0  7 sx s   7 x0   3xs   0
2s 2 xs   4s  6  7 sx s   14  3xs   0
2s 2 xs   7 sx s   3 xs   4s  20
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II-2
Determine a transformada inversa de Laplace de:
a)
G s  
s 1
s 2  5s  6
G s  
s 1
s 1
a
b



s 2  5s  6 s  3s  2 s  3 s  2
 3 1  2
 s 1 
a  Gs s  3s 3  


2

 s  2  s 3  3  2  1
 2  1 1
 s 1
b  Gs s  2s 2  


 1

 s  3  s 2  2  3 1
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1 
 2
-1  2 
-1  1 
g t   L-1t G s   L-1 


L

L

 s  3
s  2 
s

3
s

2






 1  -1  1 
 3t
 2t
 2L-1 

L

2
e

e

s  2
 s  3


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b)
F s  
s
( s  1) 2
F s  
s
b1
b2


s  12 s  12 s  1

b1  F s s  1
2


s  1
 ss 1  1

d
d 
2 
b2   F s s  1 
  s 
 1s 1  1
 ds
s 1  ds  s 1

1
1 
1 
-1 
-1  1 
g t   L-1 F s   L-1 


L


L



2
2


 s  1
 s  1 s  1
 s  1 
 1 
-1  1 
t
t
t


 L-1 

L


te

e

1

t
e
2
 s  1


 s  1 
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II-3
Considere o sistema mecânico da figura seguinte, representado pela equação
diferencial:
d 2x
m 2  kx  F t 
dt
Suponha que o sistema é posto em movimento por uma força impulso unitário,
determine a oscilação resultante.
Obs.: Considere o sistema inicialmente em repouso.
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d 2x
m 2  kx  F t 
dt
mx  kx  F t 
F t   δt   mx  kx  δt 
L
ms 2 xs   kxs   1
ms
2
x s  
w k
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m

 k x s   1
 x s  
1
ms  k
2
1

1
m
s  km
2
m
s  w2
2
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1 -1  w 
 1m  1 -1  1 
x t   L  2

L

2
 s 2  w2  mw L  s 2  w2  
s

w
m






1
1
1
sen wt  
sen k mt 
sen k mt
mw
m km
km
-1

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
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

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III
Um servomecanismo tem o seguinte diagrama de blocos:
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1. Determine a função de transferência
R(s)
C(s)
k1
1/s2
-(1+k2s)
Cs 
através da fórmula de ganho de Mason.
R s 
1 k1
 2
2
s
s
1
k kk s
L  k1  2  1  k 2 s    12  1 22
s
s
s
k kk s
  1  L  1  12  1 22
s
s
1  1
P  k1 
G
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k1
s2
P.1
k1

 2
k k k s s  k1k 2 s  k1

1  12  1 22
s
s
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2. Sabendo que K1  2 e que K2  3 , determine:
 se for um sistema de primeira ordem: a constante de tempo;
 se for um sistema de segunda ordem: o máximo sobreimpulso e o tempo de
acomodação.
G s  
2
s 2  6s  2
sistema de segunda ordem
wn2  2  wn  2
2ξwn  6  ξwn 
ts 
4
4

ξwn 3
Mp e
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6
3
3
3 ξ 

 2,121
2
wn
2

ξ
1-ξ 2

e

1,212

1-1,2122
 e1,905  6,719
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IV
Um sistema mecânico apresenta a seguinte resposta a um impulso unitário:
G s  
2s  2
s 3  3,5s 2  6,5s  10
Indique a função de transferência do sistema. Justifique completamente a sua resposta.
F s   Gs .us 
impulso unitário  us   1
F s   Gs 
F s  
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2s  2
s 3  3,5s 2  6,5s  10
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