Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do Exame de 2ª Época
Ano lectivo 1999/2000
04-11-2000
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
O esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura
seguinte, apresenta
x
k
b
m
F
a seguinte equação diferencial:
d 2x
dx
m 2  b  kx  F
dt
dt
onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:
m  2 kg
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k  9 Nm1
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b  6 Nsm 1
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a) Determine a função de transferência do sistema.
d 2x
dx
m 2  b  kx  F
dt
dt
mx  bx  kx  F
2x  6 x  9 x  F
Aplicando a transformada de Laplace:
2s 2 xs   6sxs   9 xs   F s 
2s 2  6s  9 xs   F s 


x s 
1
0,5
G s  
 2

F s  2s  6s  9 s  1,5  1,5 j s  1,5  1,5 j 
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b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho
do sistema.
Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem.
Frequência natural:
2
n
n
Coeficiente de amortecimento:
w  4,5  w  2,121 Hz
1,5 1,5
2ξwn  3  ξwn  1,5  ξ 

 0,707
wn 2,121
Frequência natural amortecida:
wd  wn 1  ξ 2  2,121 1  0,707 2  1,5 Hz
Ganho:
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4,5
0,5k  4,5  k 
9
5
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c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa,
determine a resposta temporal resultante.
Como a entrada é uma rampa:
F t   t 
1
F s   2
s
1
1
1
x s   G s   F s   2
 2 

2
2
2
2s  6s  9 s
s 2s  6s  9
b
b
c s  c12
 11  122  11
s s
2s 2  6s  9

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
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1  d 21
1 d
2 
2 




b11 
G
s
s

G
s
s
 21


 
2  1!  ds
 s 0
 s 0 1  ds






d 
1
4s  6
6

  2




 0,074


2

2
81
 ds  2s  6s  9   s 0  2s  6s  9  s 0


1  d 22
1  d0
2 
2 
b12 
 22 G s s    0 G s s  
2  2!  ds
 s 0 0!  ds
 s 0
1 1
1
1



  G s s 2   G s s 2 s 0   2

1 1
 s 0
 2s  6s  9  s 0 9


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




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
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c11s  c12 s 1,51,5 j  G s 2s 2  6s  9s 1,51,5 j
c11s  c12 s 1,51,5 j
1
 2
 s  s  1,51,5 j


1
c11  1,5  1,5 j   c12  
2



1
,
5

1
,
5
j


1
c11  1,5  1,5 j   c12 
4,5 j
1
 1,5c11  1,5 jc11  c12 
4,5 j
 6,75 jc11  6,75c11  4,5 jc12  1
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 6,75 jc11  6,75c11  4,5 jc12  1
1

 0,148
6,75c11  1  c11 
6,75

 6,75c11  4,5c12  0  4,5c12  6,75c11
6,75c11 6,75  0,148
 c12 

 0,222
4,5
4,5
0,074 1 0,148s  0,222
x s   
 2

2
s
9s
2s  6s  9
0,074 1 0,074 s  0,111

 2 2

s
9s
s  3s  4,5
0,074 1
0,074 s
0,025  4,5

 2 2
 2
s
9s
s  3s  4,5 s  3s  4,5
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Aplicando a transformada de Laplace inversa:
2

1

ξ
t 0,074 ξwnt
xt   0,074  
e
sen  wn 1  ξ 2 t  tg 1

9
ξ
1 ξ2


0,025wn
1 ξ2
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
e ξwnt sen wn 1  ξ 2 t

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



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II
Considerando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por:
G( s) 
K
ss  1s  2s  4
Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e
um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência:
Gc ( s ) 
r
+
e
1  3s
s 1
Gc
_
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G
c
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Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da
fórmula de ganho de Mason.
Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da
pergunta passará a valer metade.
r
c
Gc
G
1
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k 1  3s 
2
ss  1 s  2 s  4
k 1  3s 
L  Gc  G  
2
ss  1 s  2s  4
P  Gc  G 
k 1  3s 
ss  1 s  2s  4   k 1  3s 
  1  L  1  Gc  G  1 

2
2
ss  1 s  2s  4 
ss  1 s  2s  4
1  1
2
k 1  3s 
2
P.1
k 1  3s 
ss  1 s  2 s  4
G


2
2

ss  1 s  2s  4  k 1  3s  ss  1 s  2s  4   k 1  3s 
2
ss  1 s  2 s  4
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III
A função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:
G ( s ) H s  
K s  2 
s  4s  2  j s  2  j 
a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R.
1
3
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Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros  m=1
(s=-2)
nº de pólos  n=3
(s=-2+j; s=-2-j; s=-4)
n>m  n=3 ramos
Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2
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4
Assimptotas dos ramos para infinito
k>0
l=0
l=1
5
Origem das assimptotas

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180
 90
2
3 180

 270
2

 2  2  4   2
6
   3
2
2
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k<0
  0

360
 180
2
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6
Pontos de convergência/divergência


K
s  4s  2  j s  2  j  s  4 s 2  4s  5
ws  


Gs H s 
s2
s2
dws 
0
ds


d  s  4  s 2  4 s  5

ds 
s2

  0


2 s 3  14 s 2  32 s  22
0
2
s  2 
2 s 3  14 s 2  32 s  22  0
s  2,877  0,745 j s  2,877  0,745 j s  1,245  0
Não há pontos de convergência ou divergência para k  0 . Existe, no entanto
um ponto para k  0 em -1,245.
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7
Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos
  tan 1
1
 26,6
2
  360    333,4
k>0
k<0
l=0 1  180  90  26,6  90  153,4
1  90  26,6  90  26,6
l=1 2  180  360  270  333,4  270  206,6
2  360  270  333,4  270  26,6
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k 0
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k 0
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b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel
fechado é estável.
A equação característica, para o anel fechado, é:
1  G s H s   0
k s  2 
1
0
s  4s  2  j s  2  j 
k s  2 
1 3
0
2
s  8s  21s  20
s 3  8s 2  21s  20  k s  2   0
s 3  8s 2  21s  20  ks  2k  0
s 3  8s 2  21  k s  20  2k   0
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21  k
s3
1
s2
s1
8 20  2k
a
0
s0
b
8  21  k   20  2k 
20 2k
5 k
 21  k  
 21  k   
8
8
8
2 4
42  5 4k  k 37 3k




2
4
2
4
a
b
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a  20  2k   8  0
 20  2k
a
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b  0  20  2k  0
2k  20
20
k 
2
k  10
37 3k

0
a 0
2
4
3k
37

4
2
37  4
k 
23
148
k 
6
k  23,667
k  10
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IV
Dada a função de transferência em anel aberto:
G ( s ) H s  
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K s  2 
s 2 s  4s  6
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Algumas indicações úteis:


2s 2  6s  9  2s 1,5 1,5 j s 1,5 1,5 j   2 s 1,5  2,25
2
d 
1
4s  6



2
ds  2s 2  6s  9 
2s 2  6s  9


1,5 1,5 j 2  4,5 j
s  4s  2  j s  2  j   s  4s 2  4s  5  s3  8s 2  21s  20

d  s  4  s 2  4 s  5

ds 
s2
  d
 2s 3  14s 2  32s  22



s2
 ds 

s  2,877 0,745 j s  2,877 0,745 j s  1,245

s  22
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a) Determine o ganho de Bode.
K  zi
k 2
2k k
KB 


  0,083k
 pi 1 4  6 24 12
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b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.
1  jw 
12 
2
G  jwH  jw 

 jw2 1  jw 4 1  jw 6 



k
k 1  jw 
2


2
12 jw 1  jw 1  jw 
4 
6

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c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.
0,8331  jw 
2

G  jwH  jw 
 jw2 1  jw 4 1  jw 6 



G  20 log 10 0,833  1,587

  0
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Ganho:
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Zero em 2:
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Pólo duplo na origem:
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Pólo em 4:
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Pólo em 6:
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Adicionando todos os sinais:
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d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique.
Do diagrama da alínea c), tira-se:
frequência de cruzamento de ganho é cerca de:
0,3 rad/sec.
 margem de fase é aproximadamente:
-180-(-175) = -5
 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:
2 rad/sec.
 margem de ganho é aproximadamente:
30 db.

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