Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do Exame de 1ª época
Ano lectivo 2000/2001
18-02-2001
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
1. Mostre que se pode aplicar o princípio de sobreposição ao sistema representado pelo
diagrama de blocos seguinte.
X2=t2
X3= 2t
+
X1=2t2
_
d


2 x3   x2  x1 
dt


+
x2  x1
d
dt
2
+
d
x2  x1  x3  d x2  x1 
dt
dt
y
d
dt
d  
d

2 x3   x2  x1  
dt  
dt

d  
d
d 2
d  
d
 d  
2 
2


2
x

x

x

2
2
t

t

2
t

2
2
t


t
  3




2
1 


dt  
dt
dt
dt
  dt  
 dt  
d
d
d
d
 22t   2t   22t  2t   2  0  0  0
dt
dt
dt
dt
y
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
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
  

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X2=t2
X3= 2t
+
X1=2t2
_
+
d
dt
2
+


d
dt
d  d
d
d
 d  d
2 




 8t   8


2

x

2

2
t

2


4
t

1 



dt  dt
dt
 dt  dt
 dt
d  d  d  d  d
d
y2  2 x2   2 t 2   2  2t   4t   4
dt  dt  dt  dt  dt
dt
d
d
d
y3  2 x3   2  2t   4t   4
dt
dt
dt
y  y1  y2  y3  8  4  4  0
y1 
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y
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2. Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controlo de abertura automática de
uma porta através de infravermelhos.
Sensor de
presença
de pessoa
+
motor de
abertura/fecho
da porta
comando do
motor
-
sensor de
posição
da porta
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y
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II
O sistema rotativo mecânico da figura seguinte, apresenta a seguinte equação
diferencial:
d 2
d
T  J 2  b  k
dt
dt
k
b
J
T

Onde T é a entrada e  a saída do sistema.
Suponha que o momento de inércia é de J=2 kg.m2/rad, a constante da mola de retenção
é k=3 N.m/rad e o coeficiente de atrito dos apoios b=7N.s.m/rad.
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a) Determine a função de transferência do sistema. Considere o sistema inicialmente
em repouso.
d 2
d
T  J 2  b  k
dt
dt
T  J  b  k
T  2  7  3
Aplicando a transformada de Laplace:
T s   2s 2s   7ss   3s 


T s   2s 2  7s  3 s 
s 
1
F s  
 2
T s  2 s  7 s  3
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b) Sabendo que o sistema é posto em movimento por um momento de torção em rampa,
determine a resposta em termos temporais.
Como a entrada é uma rampa:
s   F s .T s  
s  
T t   t  T s  
1
s2
1
1
1
1



2s 2  7 s  3 s 2 s 2 2s 2  7 s  3 s 2 s  3s  12 


a1
a
b
b
 2 1  112  12
s  3 s  2  s s
 1 
1
a1  F s 
. s  3s 3   2

 0,044

2
1
1
 s s  2   s 3  3  3  2 
 1 
1
a2  F s .s  12 s  1   2

 1,6

2
1
1
2
 s s  3  s  1  2   2  3
2
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

d 
1
4s  7
7
d

2 
b11   F s .s     2





2

9
 ds
s 0  ds  2s  7 s  3  s 0  2s 2  7 s  3  s 0


b12  F s .s 2


s 0

1
1


 2


 2s  7 s  3  s 0 3
s   
0,044
1,6
7
1



s  3 s  12  9s 2 3s
Aplicando a transformada de Laplace inversa:
t   0,044e
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 3t
7t 1
 1,6e  
9 3
 2t
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
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III
Dada a função de transferência em anel aberto:
G s  
30
s s  9 
a) Determine a função de transferência em malha fechado, considerando que a
realimentação é unitária negativa.
30
G s 
30
30
s s  9 
F s  


 2
1  G s  1  30
ss  9  30 s  9s  30
s s  9 
Ou através de:
G s  
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N s 
N s 
30
30
 F s  

 2
D s 
Ds   N s  ss  9  30 s  9s  30
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b) Determine os valores da frequência natural de vibração, da frequência natural de
amortecimento, o coeficiente de amortecimento e o ganho do sistema quando a função
de transferência toma a forma de um sistema de segunda forma. Classifique o sistema.
wn2  30  wn  5,477 Hz
2wn  9  wn  3   
3
3

 0,822
wn 5,477
wd  wn 1   2  5 1  0,822 2  3,098 Hz
ganho  1
sistema sub - amortecido
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c) Determine o tempo de crescimento, o tempo de pico, o máximo sobreimpulso e o
tempo de estabelecimento da resposta (critério de 2%) a um degrau unitário do sistema
controlado.
  arc sen 1   2   arcsen 1  0,822 2   0,193
tr 


 0,952 s
wd
3,098
3,098
ts 



 1,014 s
wd 3,098
Mp e
ts 
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

12

e

0,822

10 , 8 2 22
 3,483
4
4

 0,888 s
wn 0,822  5,477
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IV
Considere o sistema mostrado no diagrama de blocos da figura.
G3
+
x
+
+
G1
_
_
H1
H2
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G2
+
y
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a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.
G3
x
1
x
y
G1
G2
y
-H1
-H2
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1
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x
b) Determine a função de transferência 2 , em malha fechada, usando a fórmula de
F
ganho de Mason.
P1  G1G2
P2  G1G3
1  1
2  1
L11  G1H1
L12  G1G2 H 2
L13  G1G3 H 2
  1  L11  L12  L13   1   G1 H1  G1G2 H 2  G1G3 H 2  
 1  G1 H1  G1G2 H 2  G1G3 H 2  1  G1 H1  H 2 G2  G3 
G1 G2  G3 
x2 P1  1  P2   2


F

1  G1 H1  H 2 G2  G3 
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V
A função de transferência de um sistema é dada por:
K
G( s) 
s  2  3 j s  2  3 j 
Considere que foi adicionada uma realimentação negativa com um sensor cuja função
de transferência é dada por:
s3
G (s) 
s5
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a) Determine a função de transferência em malha aberta.
G ( s ) H s  
K
s3
K s  3


s  2  3 j s  2  3 j  s  5 s  5s  2  3 j s  2  3 j 
b) Determine a função de transferência em malha fechada.
K
G ( s)
s  2  3 j s  2  3 j 
F s  




K
s

3
1  G ( s ) H s  1 
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
K s  5 

s  5s  2  3 j s  2  3 j   K s  3
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c) Determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável, utilizando o
critério de Routh.
Sendo o denominador (equação característica) da função de transferência em anel
fechado:
s  5s  2  3 j s  2  3 j   K s  3  0
s 3  9s 2  33s  65  Ks  3K  0
s 3  9s 2  33  K s  65  3K   0
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a1
s3
1
33  K
0
s2
s1
9 65  3K
a1
a2
0
0
s0
b1

65  3K   933  K 
232  6 K


9
a1 65  3K   0
b1 
 65  3K
a1
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0
9
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a2  0
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232  6 K

0
9
 232  6K  0
 6K  232
232
K
6
K  38,7
65  3K  0
3K  65
65
K 
3
K  21,7
 21,7  K  38,7
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d) Seguindo os procedimentos
(L.G.R.) para K>0.
G ( s ) H s  
1
3
4
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esboce o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes
K s  3
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros  m=1
(s=-3)
nº de pólos  n=3
(s=-5; s=-2+3j; s=-2-3j)
n>m  n=3 ramos
Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2
Assimptotas dos ramos para infinito
l=0

180
 90
2
l=1

3 180
 270
2
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5
Origem das assimptotas

6
 5  2  2   3
6
   3
2
2
Pontos de convergência/divergência

K
s  5s  2  3 j s  2  3 j  s 3  9s 2  33s  65
ws  


Gs H s 
s3
s3
dws 
0 
ds
s  0,845s  4,077  1,866 j s  4,077 1,866 j   0
Não há pontos de convergência ou divergência para k  0 . Existe, no entanto
um ponto para k  0 em -0,845.
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7
Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos
3
  tan 1  71,6
1
  tan 1
3
 45
3
  90
1  180  45  90  71,6  116,6
2  180  315  270  288,4  116,6  243,4
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10
8
6
Imag Axis
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10
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-5
0
Real Axis
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5
10