Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do Exame de 1ª época
Ano lectivo 1999/2000
01-11-2000
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
x1
F
k1
x2
m1
m2
f1
f2
k2
Considera o sistema mecânico da figura, que apresenta as equações seguintes:


F  k1 x2  m1s 2  f1s  k1 x1
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

k1x1  m2 s 2  f 2 s  k1  k2 x2
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a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.


F  k1 x2  m1s 2  f1s  k1 x1
1
k1
x1 
F
x2   F   x 2
2
2
m1s  f1s  k1
m1s  f1s  k1



k1 x1  m2 s 2  f 2 s  k1  k2 x2

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k1
x2 
x1   x1
2
m2 s  f 2 s  k1  k 2
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F

x1
x2


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x
b) Determine a função de transferência 2 , em malha fechada, usando a fórmula de
F
ganho de Mason.
P1   
L11   
  1  L11  1   
1  1
1
k1

x2 P1  1

m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2




2
k1
F

1-  
1
m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2



x2
k1

F
m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2  k12

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
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
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II
Considere o sistema mecânico da figura seguinte, representado pela equação
diferencial:
d 2x
dx
m 2  b  kx  F t 
dt
dt
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Suponha que a massa é de m=2 kg, a constante da mola é k=9 N/m e b=6Ns/m.
Sabendo que o sistema é posto em movimento por uma força impulso unitário,
determine a oscilação resultante como resposta.
Obs.: Considere o sistema inicialmente em repouso.
d 2x
dx
m 2  b  kx  F
dt
dt
mx  bx  kx  F
2x  6 x  9 x  F
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Aplicando a transformada de Laplace:
2s 2 xs   6sxs   9 xs   F s 
2s
2

 6s  9 xs   F s 
1
x s   2
F s 
2s  6s  9
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Como a entrada é um impulso unitário:
F s   1

1
1
1,5
x s   2
 
2s  6s  9 1,5 s  1,52  1,52
Aplicando a transformada de Laplace inversa:
1 1,5t
xt   e sen 1,5t 
1,5
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III
Um sistema com realimentação unitária negativa apresenta a seguinte função de
transferência em malha aberta:
K s  1
G ( s ) H s  
s  3s  3  2 j s  3  2 j 
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a) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0.
G ( s ) H s  
1
3
4
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K s  1
s  3s  3  2 j s  3  2 j 
Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros  m=1
(s=1)
nº de pólos  n=3
(s=-3; s=-3+2j; s=-3-2j)
n>m  n=3 ramos
Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2
Assimptotas dos ramos para infinito
l=0

180
 90
2
l=1

3 180
 270
2
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5
Origem das assimptotas

6
 3  3  3 1
10
   5
2
2
Pontos de convergência/divergência
ws  
s  3s  3  2 j s  3  2 j 
K

Gs H s 
s 1
dws 
0 
ds
s  3,208s  3,104  1,130 j s  3,104 1,130 j   0
Não há pontos de convergência ou divergência para k  0 . Existe, no entanto
um ponto para k  0 em 3,208.
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7
Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos
  tan 1
2
 26,6
4

1  180    180  26,6  153,4
 2  180    180  26,6  206,6
1  180  90  90  153,4  153,4
2  180  360  270  270  206,6  206,6
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k 0
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k 0
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b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel
fechado é estável, sabendo que a realimentação é unitária negativa.
G s 
K s  1
F s  


1  Gs H s  s  3s  3  2 j s  3  2 j   K s  1
K s  1
K s  1
 3
 3
2
s  9s  31s  39  Ks  K s  9s 2  31  K s  39  K 
Obtendo-se a equação característica:
s 3  9s 2  31  K s  39  K   0
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931  K   39  K  240  10 K
a1 

9
9
a1 39  K   0
b1 
 39  K
9
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a2  0
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240  10 K
0
9
39  K  0
240  10K  0
 K  39
10K  240
240
K 
10
K  24
K  39
 24  K  39
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c) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea
anterior. Descreva de forma simplificada, mas clara, o procedimento.
Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo
imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e
resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K
varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.
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IV
Dada as funções de transferência em anel aberto:
10s  3
G ( s) 
s s  4 
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e
1
H ( s) 
s  2 
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a) Determine o ganho de Bode e obtenha a função de transferência na forma de Bode
do anel aberto.
10s  3 1
10s  3
Gs H s  


ss  4 s  2 ss  2s  4
Colocando na forma de Bode:
K  zi
10  3 30
KB 


 3,75
 pi 2  4 8
3,751  jw 
3

G  jwH  jw 
 jw1  jw 2 1  jw 4 



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b) Construa o esboço do diagrama de Bode.
Ganho:
G  20 log 10 3,75  11,481

  0
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Zero:
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Pólo na origem:
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Pólo em 2:
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Pólo em 4:
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Adicionando todos os sinais:
Obs.:
 frequência de cruzamento de ganho é
cerca de:
2,5 rad/sec.
 margem de fase é
aproximadamente:
-180-(-135)=-45
a
frequência
de
cruzamento de fase e a
margem de ganho são
indeterminadas pois 
nunca cruza -180.
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