Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
A primeira lei da Termodinâmica para
um Volume de Controle Inercial
Relembrando! A primeira Lei para um sistema:
dE


Q W 
, (1)
dt sistema
onde E é a energia totaldo sistema,dada por
Esistema 
 edm   e
massa ( sistema )
dV
V ( sistema )
Lembrando que, por convenção:
Q  0 quando o calor é transmitido ao sistema e
W  0 quando o trabalho é efetuado pelo sistema
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Temos o Teorema do Transporte de Reynolds
dN
dt
sistema
 

 dV  V  dA
t VC
SC
(2)
em que: N = E e η = e , portanto:
 
dE

  edV   eV  dA
dt sistema t VC
SC
(3)
Como em to, o Sistema e o V.C. coincidem, das eqs.
(1), (2) e (3):
 

Q  W 
edV  eV  dA
t VC
SC


V2
onde: e  u 
 gz
2
Esta é a formulação para o volume de controle da
primeira lei da termodinâmica. Porém, é possível
deixá-la numa forma mais conveniente!
(4)
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Trabalho Efetuado no
Volume de Controle
O trabalho efetuado no V.C. pode ser dividido em quatro
classes:
W  W s  Wnormal  W tangencial  Woutro
1. Trabalho de Eixo
W s
é o trabalho transmitido pelo eixo através da
superfície de controle
2. Trabalho efetuado na superfície de controle pelas
tensões normais
W normal
 
   nnV  dA
SC
3. Trabalho efetuado na superfície de controle

pelas tensões tangenciais
=0,
pois
V
0
(1)
  

Wtangencial     VdA 
SC
  
  VdA 
A ( eixo )
  
  VdA 
A ( superficie sólida )
4. Outras formas de trabalho
Energia elétrica, eletromagnética, etc.
  
  VdA
A ( escapes)
 
=0, se   V  0
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Substituindo as expressões dos diferentes tipo de
trabalho em (4):
 
 




Q  Ws   nnV  dA  Wtangencial  Woutro  


SC
 


edV  eV  dA
t VC
SC



Reagrupando os termos e notando que ρ = 1/v
Q  W s  W tangencial  Woutro  
 


edV  e   nn v V  dA
t VC
SC


Finalmente, substituindo e = u + V2/2 + gz e considerando
que σnn = p
Q  W s  W tangencial  Woutro  

  

V2

edV   u  pv 
 gz  V  dA
t VC
2

SC 


(5)
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Da Termodinâmica, temos que:
h  u  pv
Sendo h a propriedade termodinâmica entalpia.
Considerando apenas o trabalho de eixo ( Ws  W ) a
equação da conservação da energia (Eq. 5) pode ser
então escrita da seguinte forma:
2
 

V


Q  W 
edV   h 
 gz  V  dA
t VC
2

SC 


(6)
Chega-se à formulação para V.C. da primeira lei da
termodinâmica ou Equação Integral da Conservação
da Energia
Lembrete: para gases perfeitos, a variação da entalpia é
dada por:
hgás ideal  c po T
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Formas particulares da Equação
integral da Energia
1. Escoamento Uniforme
O escoamento uniforme existe quando em uma área de
entrada ou saída de um volume de controle, todas as
propriedades mensuráveis são uniformes em toda a área
seccional. A condição de regime uniforme não impede a
possibilidade de diferenças nas propriedades do fluido
entre a área de entrada e a área de saída. E nem proíbe
mudanças nas propriedades na direção do escoamento.
Neste caso, a vazão mássica (taxa de escoamento de
massa) é dada por:
m 

 
 
V  dA   nVn  An    nVn An kg / s
An
Considerando apenas o trabalho de eixo ( Ws  W ) e
um volume de controle com apenas uma entrada (e) e
uma saída (s):
2
2
V
V
dE




 s  hs  s  gzs   m
 e  he  e  gze 
Q  W 
m
dt
2
2




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2. Regime Permanente
Aplicação da 1ª lei para V.C. para operações estáveis a
longo prazo, de aparelhos como, turbinas,
compressores, bocais, trocadores de calor, caldeiras,
etc, que são de muito interesse dos engenheiros
mecânicos.
No regime permanente não há variações no tempo no
volume de controle de: massa, estados e taxas de calor
e trabalho. Portanto:
Considerando apenas o trabalho de eixo ( Ws  W ), da
Eq. (6):
=0
2
 

V


Q  W 
edV   h 
 gz  V  dA
t VC
2

SC 


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Para um volume de controle com apenas uma
entrada (e) e uma saída (s) e escoamento uniforme:
2
2




V
V
s
e


Q  W  m  hs 
 gzs   m  he 
 gze 
2
2




onde:
e  m
s  m

m
(conservação da massa)
ou:
2
e
2
s
V
V
q  he 
 gze  hs 
 gzs  w
2
2
onde:
 ; w  W / m

q  Q / m
J

  s 
J 
 kg  
   kg 
  s 

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Exemplo 1. Um aquecedor de água de alimentação de uma
caldeira operando em regime permanente possui duas entradas
e uma saída. Na entrada 1, vapor de água entra a p1 = 7 bars, T1
= 200oC numa vazão mássica de 40 kg/s. Na entrada 2, água
líquida a p2 = 7 bars, T2 = 40oC entra através de uma área A2 =
25 cm2. Líquido saturado a 7 bars saí por 3 numa vazão
volumétrica de 0,06 m3/s. Determine as vazões mássicas na
saída e na entrada 2, em kg/s, e a velocidade na entrada 2, em
m/s.