Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Forma Integral das Equações
Básicas para Volume de Controle
Formulação para sistema
vs
Formulação para volume de controle:
• fluidos são capazes de distorção e de deformação
contínua, assim é difícil de identificar e acompanhar
certa massa de fluido
• na prática, muitas vezes estamos interessados no
efeito do movimento do fluido em alguma máquina
de fluxo (bombas, turbinas, compressores, etc.),
num motor de combustão interna, ou numa estrutura
(tubulações, bocais, asas de aeroplanos, aerofólios
de carros de corrida, etc.), entre outros, e não no
movimento da massa fluida em si.
Assim, muitas vezes é mais conveniente
aplicar as leis básicas a um volume fixo de
espaço, ao invés de a uma massa fixa e
definida de fluido.
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
As leis Básicas do Sistema
(em termos de taxa de variação de uma propriedade extensiva)
1- Conservação da massa:
“A massa, M, de um sistema é constante”
dM
dt
0
sistema
onde :
M
sistema

 dm
massa ( sistema )

  dV
V ( sistema )
2- Segunda Lei de Newton:
“Para um sistema movendo-se relativo a um referencial
inercial, a soma de todas as forças externas atuando no
sistema é igual à taxa de variação da quantidade de
movimento linear do sistema com o tempo”

F 

dP
,
dt sistema

onde P é a quantidade de movimento



Psistema 
 V dm   V  d V
massa ( sistema )
V ( sistema )
linear
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
3- Primeira Lei da Termodinâmica
“Lei da conservação da energia de um sistema”
 Q   W  dE ,
como equação de taxa :
dE


Q W 
dt
onde a energia
E sistema 
sistema
total do sistema
 edm
massa ( sistema )
 e dV

V ( sistema )
2
V
onde : e  u 
2
é dada por :
 gz
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Relação entre as Derivadas do Sistema e
a Formulação do Volume de Controle
N: qualquer propriedade extensiva do sistema
: propriedade intensiva (por unidade de massa) do
sistema
Assim:
N sistema 
  dm

massa ( sistema )
  d V
V ( sistema )
Portanto:
N  M , então

N  P , então
 1

  V
N  E , então   e
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Passagem da formulação de
Sistema à Formulação de Volume
de Controle (V.C.)
• Como massa cruza as fronteiras do volume de controle,
variações no tempo da propriedade extensiva N associadas
ao V.C. envolvem o fluxo de massa e as propriedades
transportadas (por convecção) pelo fluxo de massa.
• Uma forma conveniente de levar em conta o fluxo de
massa é aplicar um processo limite envolvendo um sistema e
um volume de controle coincidentes em um certo instante.
• A equação final relaciona a taxa de variação da propriedade
extensiva arbitrária, N, para um sistema com as variações no
tempo dessa propriedade associadas com um volume de
controle.
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
DERIVAÇÃO
Configuração do sistema e do volume de controle
(Quadro negro)
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Cont.
Vista ampliada da sub-região (3)
(Quadro negro)
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Cont.
Vista ampliada da sub-região (1)
(Quadro negro)
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Teorema do Transporte de Reynolds:
“Relação fundamental entre a taxa de variação de
qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um
sistema e as variações dessa propriedade associadas
com um volume de controle”
dN
dt

sistema

t
 
  d V    V  d A
VC
(1)
SC
- O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no
instante em que o sistema e o volume de controle
coincidem; isto é verdade pois quando Δt → 0 o sistema e
o volume de controle ocupam o mesmo volume e tem as
mesmas fronteiras.
- Esta formulação é válida para volume de controle fixo e
não deformável.
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Interpretação Física
dN
dt

t
:
sistema
  d V
:
VC
é a taxa de variação total de qualquer
propriedade extensiva arbitrária do
sistema
é a taxa de variação no tempo da
propriedade extensiva arbitrária, N, dentro
do volume de controle:
• η é a propriedade intensiva correspondente
a N (por unidade de massa)
•  d V é um elemento de massa contido no
volume de controle
•
é a quantidade total da
  d Vpropriedade
extensiva, N, contida
VC
dentro do volume de controle
 
  V  d A :
SC
é a taxa líquida de fluxo da propriedade
extensiva N através da superfície de
controle:
 
•  V  d A é a taxa de fluxo de massa
através do elemento de área d A por unidade
de tempo
 
•  V  d A é a taxa de fluxo da
 propriedade
extensiva N através da área d A
Prof. Oscar S.H. Mendonza – UFU e Prof. Oscar M. Rodriguez - EESC - USP
Avaliação da integral de superfície do Teorema
do Transporte para o caso especial do
Escoamento Uniforme
• Escoamento uniforme numa seção implica que as
propriedades e velocidade são constantes sobre toda a
área da seção.
Supondo que na seção: ρ é constante e η é um escalar e
é constante na seção transversal:



 
 V  d A   nV n  An     nV n An
An
(Quadro negro)
