MATEMÁTICA
FINANCEIRA
Reinaldo Cafeo
www.economiaonline.com.br
[email protected]
Introdução

A Matemática Financeira teve seu
início exatamente quando o homem
criou os conceitos de Capital, Juros,
Taxas e Montante. Daí para frente,
os cálculos financeiros tornaram-se
mais justos e exatos, mas é preciso
conhecê-los, se possível muito bem.
Tópicos









Regime de Juros Simples
Método Hamburguês
Desconto de Duplicatas
Juros Compostos
Fluxo de Caixa
Taxa Nominal x Taxa Efetiva
Série Uniforme de Pagamentos
Valor Presente Líquido
Taxa Interna de Retorno
Conceitos

Capital (C ou PV) é o valor –
normalmente dinheiro – que você
pode aplicar ou emprestar. Também
chamado de Capital Inicial ou
Principal, representado pela letra “C”
ou “PV” (Valor Presente –
abreviação das palavras
correspondentes em inglês a
Present Value. Adotaremos “PV”).
Conceitos



JURO é a remuneração do capital
empregado.
Para o INVESTIDOR: é a
remuneração do investimento
Para o TOMADOR: é o custo do
capital obtido por empréstimo
Conceitos




TAXA DE JUROS: é o índice que
determina a remuneração de um
capital num determinado período de
tempo (dias, meses, anos, etc.)
Esse período é representado pela
letra “n” ou “t”.
Taxa percentual: 34% ao mês
Taxa unitária: 0,34 ao mês
Conceitos


MONTANTE (M) ou VALOR
FUTURO (FV – abreviação das
palavras correspondentes em inglês
a Future Value) é o capital inicial
acrescido do rendimento obtido
durante o período de aplicação e
representado pela letra “M” ou “FV”,
ou seja:
M = C + J ou FV = PV + J
Regime de Juros



Existem dois regimes de juros:
A) simples
B) compostos
Juros Simples

No regime de juros simples, a taxa
incide sobre o capital inicial aplicado,
sendo proporcional ao seu valor e ao
tempo de aplicação.
Juros Simples

Exemplo 1: Para um capital de $
100.000, aplicado à taxa de 10% ao
mês, durante 3 meses, teríamos:
n
PV
0
1
2
3
100.000
100.000
100.000
100.000
J juros acumulados Montante (PV+J)
10%
0
0
100.000
10.000
10.000
110.000
10.000
20.000
120.000
10.000
30.000
130.000
Juros Simples


Dedução da fórmula:
J = PV x i
100


Para os juros acumulados:
J = PV . i . n
100
Juros Simples




Se: FV = PV + J, temos
FV = PV + PV . i . n
100
Assim:
FV = PV (1 + i . n)
100
Juros Simples




Os juros simples têm crescimento
constante ao longo do período de
aplicação.
Os juros simples podem ser:
Exatos: calendário civil (365 ou 366
dias)
Ordinários: calendário comercial
(mês 30 dias, ano de 360 dias)
Juros Simples

Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou
$ 50.000, a juros simples de 5% ao
mês, por 90 dias. Quanto rendeu
sua aplicação? Quanto resgatou?
Juros Simples

Observe que o período da aplicação
está em dias e taxa ao mês. Nesse
caso precisamos transformá-los para
mesma periodicidade, ou seja, ou
passamos a taxa ao dia (dividindo-a
por 30) ou encontramos o número
de meses que temos em 90 dias
(dividindo por 30). Vamos
transformar “n” em meses:
Juros Simples






n = 90 / 30 = 3 meses
Aplicando na fórmula:
J = 50.000 x 5 x 3
100
J = 7.500
FV = 50.000 + 7.500
FV = 57.500
Juros Simples


Contas garantidas e o Método
Hamburguês
Como calcular os juros sobre as
contas garantidas de pessoas
jurídicas, ou mesmo sobre contas de
cheques especiais de pessoas
físicas?
Juros Simples

Essas contas são, na realidade,
formas de crédito rotativo nas quais
são definidos limites máximos para
utilização de recursos. O cliente
saca a descoberto e juros são
calculados periodicamente sobre o
saldo médio utilizado.
Juros Simples


Na maioria dos bancos, os encargos
financeiros sobre os saldos devedores são
calculados por capitalização simples,
através do denominado “Método
Hamburguês”.
Por este método, os juros devidos são
calculados da seguinte forma: multiplica-se
a taxa de juros pelo produto do saldo
devedor e da quantidade de dias que
esses valores tenham permanecido
devedores.
Juros Simples

Exemplo 3: O Sr. João Oliveira
mantém um cheque especial no
Banco Millenium, com de limite de $
25.000. Ao final do mês de abril/96,
o Banco expede um extrato com a
movimentação financeira naquele
mês. Sabendo-se que os encargos
eram de 12% ao mês, determinar o
total a ser pago pelo Sr. João.
Juros Simples
Extrato de Movimentação Financeira
Débito ou Crédito Saldo (D/C)
Histórico
Data
$
$
2.250,00 C
0
01/04/96 Saldo anterior
-7.750,00 D
10.000,00 D
03/04/96 Cheque
5.250,00 D -13.000,00 D
08/04/96 Débito automático
1.000,00 C
14.000,00 C
10/04/96 Depósito On line
-500,00 D
1.500,00 D
24/04/96 Saque
-3.000,00 D
2.500,00 D
29/04/96 Transferência on line
Juros Simples
Tabela para Cálcudo dos juros a serem pagos
Data
Saldo (D/C) $
Número de dias a
Ax B
A
descoberto (B)
01/04/96
2.250,00
0
0
03/04/96
-7.750,00
5
38.750,00
08/04/96
-13.000,00
2
26.000,00
10/04/96
1.000,00
0
0
24/04/96
-500,00
5
2.500,00
29/04/96
-3.000,00
1
3.000,00
Total
70.250,00
Juros Simples


Juros = 70.250 x 0,12/30
Juros = $ 281,00
Descontos

Conceito: a chamada operação de
desconto normalmente é realizada
quando se conhece o valor futuro de
um título (valor nominal, valor de
face ou valor de resgate) e se quer
determinar o seu valor atual.
Descontos





Fórmula: D = FV – PV
Onde:
D = valor monetário do desconto
FV = Valor Futuro (Valor de Face)
PV = Valor Presente (Valor creditado
ou pago ao seu titular)
Descontos

O critério mais utilizado pelo
mercado é o chamado desconto
simples, que envolve cálculos
lineares, com um detalhe: o taxa no
período incide sobre o valor futuro e
não sobre o valor presente (como
são as demais operações)
Descontos

Conhecido no mercado financeiro
como desconto bancário ou
comercial, o desconto simples é
obtido multiplicando-se o valor de
resgate do título pela taxa de
desconto e pelo prazo a decorrer até
o seu vencimento, ou seja:
Descontos






D = FV x i x n
Onde:
D = Valor do Desconto ($)
FV = Valor Futuro ou de Face
i = taxa de desconto
n = o prazo
Descontos


Para se obter o chamado valor
descontado (ou valor presente),
basta subtrair o valor do desconto do
valor futuro do título, como segue:
PV = FV - D
Descontos



Assim, temos as duas fórmulas
básicas:
D = FV x i x n
PV = FV - D
Descontos






Exemplos:
1- Qual o valor do desconto simples de um
título de $ 2.000,00, com vencimento para
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês?
Dados:
FV = 2.000,00
n = 90 dias = 3 meses
i = 2,5% ao mês
Descontos



D = FV x i x n
D = 2.000 x 0,025 x 3
D = 150,00
Descontos
Cálculo do valor do desconto
simples para séries de títulos de
mesmo valor:
Fórmulas:
PVt = FV x N - Dt
Dt = FV x N x i x t1 + t2
2
Descontos





Onde:
Dt = valor do desconto total
N = número de títulos
i = taxa de juros
t1 + t 2
= prazo médio dos títulos
2
Descontos

Exemplo: Calcular o valor líquido
correspondente ao desconto
bancário de 12 títulos, no valor de $
1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a
360 dias, respectivamente, sendo a
taxa de desconto cobrada pelo
banco de 2,5% ao mês.
Descontos







Dados:
FV = 1.680,00
N = 12
t1 = 1
tn = 12
Pt = ?
i = 2,5%
Descontos





Solução:
Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x 1 + 12
2
Dt = 3.276,00
Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00
Pt = 16.884,00
Descontos




Taxa Efetiva de Desconto (ie)
É aquela que, como o próprio nome diz,
remunera efetivamente uma operação de
desconto.
Há uma mudança de enfoque, veja:
A loja de eletrodomésticos, ao permitir que
seus clientes paguem 30 dias após a
compra, está realidade, abdicando de
receber $ 900,00, hoje, para receber $
1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará
com isso?
Descontos


O rendimento será de $ 100,00
sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de
remuneração ou taxa efetiva será:
Ie = 100/900 x 100 = 11,11%.
Descontos


Assim podemos dizer:
A taxa nominal de desconto (id)
incide sobre o valor nominal do
título. Já a taxa efetiva de desconto
(ie) é aplicada sobre o valor líquido
da operação.
Descontos

ie =
id
x 100
100 – id
Onde:
ie = taxa efetiva de desconto
id = taxa nominal de desconto
Juros Simples: Exercícios



01- Qual o montante (capital + juros)
acumulado em 7 meses, a uma taxa de
10% a.m., no regime de juros simples, a
partir de um principal de $ 200,00?
02- Qual o capital necessário para obter
um montante de $ 970,00, daqui a 3
semestres, a uma taxa de 42% ao
semestre, no regime de juros simples?
03- Qual a taxa mensal de juros simples
que transforma um capital de $ 350,00
num montante de $ 570,50, daqui a 7
meses?
Juros Simples: Exercícios



04- Calcular os juros simples recebidos em
uma aplicação de $ 100,00, a uma taxa de
10,00% a.m., num prazo de 15 dias.
05- A que taxa devemos emprestar $
97,00, a juros simples, para que em 10
meses ele duplique?
06- Utilizar o Método Hamburguês para
apurar os juros a serem pagos em uma
conta de crédito rotativo de pessoa
jurídica, que apresenta as seguintes
características: taxa de juros: 10% ao mês;
limite de crédito: $ 200.000,00
Juros Simples: Exercícios
Data
01/06/02
05/06/02
09/06/02
15/06/02
23/06/02
29/06/02
Extrato de Movimentação Financeira
Histórico
Débito ou Crédito Saldo (D/C)
$
$
Saldo anterior
0
0,00 C
Cheque
40.000,00 D -40.000,00 D
Saque
8.000,00 D -48.000,00 D
Depósito
48.000,00 C
0,00 C
Av. de débito
32.000,00 D -32.000,00 D
Saque
10.500,00 D -42.500,00 D
Juros Simples: Exercícios


07- Qual a taxa mensal de desconto
utilizada numa operação a 120 dias cujo
valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo
valor atual é de $ 800,00?
08- Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é
descontada por um banco, gerando um
crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente.
Sabendo-se que a taxa cobrada pelo
banco é de 3,2% ao mês, determinar o
prazo de vencimento da duplicata.
Juros Simples: Exercícios


09- Calcular o valor líquido creditado na
conta de um cliente, correspondente ao
desconto de uma duplicata no valor de $
34.000,00, com prazo de 41 dias,
sabendo-se que o Banco está cobrando
nessa operação uma taxa de desconto de
4,7% ao mês.
10- O desconto de uma duplicata gerou
um crédito de $ 70.190,00 na conta de
uma empresa. Sabendo-se que esse título
tem um prazo a decorrer de 37 dias até o
seu vencimento e que o Banco cobra uma
taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa
operação, calcular o valor da duplicata.
Juros Simples: Exercícios


11- Quatro duplicatas, no valor de $
32.500,00 cada uma, com vencimento para
90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas
para desconto. Sabendo-se que a taxa de
desconto cobrada pelo banco é de 3,45%
ao mês, calcular o valor do desconto.
12- Uma empresa apresenta 9 títulos de
mesmo valor para serem descontados em
um banco. Sabendo-se que a taxa de
desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos
vencem de 30 em 30 dias, a partir da data
de entrega do borderô, e que o valor
líquido creditado a empresa foi de $
25.000,00, calcular o valor de cada título.
Juros Simples: Exercícios

13-Um consumidor deseja liquidar
antecipadamente 6 prestações restantes
de um financiamento obtido para a compra
de um bem. Sabendo-se que o valor de
cada prestação é de $ 30.000,00; que a
primeira prestação vence a 30 dias de hoje
e a última a 180 dias; e que o desconto
dado pelo credor é de 1% ao mês
(desconto simples ou bancário), calcular o
valor a ser pago pelo financiado para
liquidar o contrato.
Juros Simples: Exercícios



14- Oito títulos, no valor de $ 1.000,00
cada um, são descontados por um banco,
cujo líquido correspondente, no valor de $
6.830,00, é creditado na conta do cliente.
Sabendo-se que os vencimentos desses
títulos são mensais e sucessivos a partir
de 30 dias, calcular a taxa de desconto.
15- Calcular a taxa efetiva de desconto,
dada a taxa nominal de 3% ao mês.
16- Calcular a taxa efetiva de desconto,
para o prazo de 45 dias, para uma
operação com taxa nominal de 3,3% ao
mês.
Juros Compostos

No regime de juros compostos, os juros
obtidos a cada novo período são
incorporados ao capital, formando um
montante que passará a participar da
geração de juros no período seguinte, e
assim sucessivamente. Dessa forma, não
apenas o capital inicial rende juros, mas
eles são devidos a cada período de forma
cumulativa. Daí serem chamados juros
capitalizados.
Juros Compostos




PV = Capital inicial
n = Números de períodos
FV = Montante no regime de juros
compostos
No regime de juros compostos, a taxa de
juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do
período anterior. Portanto, difere do regime
de juros simples, em que a incidência é
sempre sobre o capital inicial (PV).
Juros Compostos

Exemplo 1: Para um capital de $
100.000,00, aplicado à taxa de 10%
ao mês, em juros compostos, por 3
meses, teríamos:
Juros Compostos
n
PV
0
1
2
3
100.000
100.000
110.000
121.000
J
juros acumulados Montante (PV+J)
10%
0
0
100.000
10.000
10.000
110.000
11.000
21.000
121.000
12.100
33.100
133.100
Juros Compostos

Observe que os juros são cobrados
a cada período de capitalização que,
neste caso, é mensal. No período
n=0, o capital ainda não rendeu
juros, pois é nesse momento que a
aplicação se inicia. A remuneração
(juros) de cada período é obtida pela
multiplicação do montante do
período anterior pela taxa de juros.
Juros Compostos


A) Primeiro período:
Juros: J1 = PV x i
100
J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000
Montante: FV1 = PV + PV x i
100
FV1 = PV ( 1 + i )
100
Montante do primeiro período
Juros Compostos


B) Segundo Período
Juros: J2 = FV1 x i
100
J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000
Verifique que o juro aumentou em 1.000,
que corresponde à parcela incidente sobre
os juros do período anterior (10.000 x
10/100). Por isso os juros compostos são
chamados de juros sobre juros.
Juros Compostos





Montante: FV2 = FV1 + J2
FV2 = FV1 + FV1 x i
100
FV2 = FV1 ( 1 + i )
100
FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i )
100
100
FV2 = PV ( 1 + i )2 Montante 2.º período
100
Juros Compostos






C) Terceiro Período:
Juros: J3 = FV2 x i
100
J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100
Montante: FV3 = FV2 + J3
FV3 = FV2 + FV2 x i
100
FV3 = PV ( 1 + i ) 2 x ( 1 + i )
100
100
FV3 = PV ( 1 + i )3 Montante 3.º período
100
Juros Compostos


Portanto, generalizando a fórmula
para “n” períodos, temos:
FVn = PV ( 1 + i
)n
100
ESTA É A FÓRMULA GERAL DE
JUROS COMPOSTOS.
Juros Compostos





Observação:
A unidade de tempo utilizada para o
período (n) deve ser a mesma da
taxa de juros (i), ou seja, se o
período (n) é dado em:
Dia – taxa em dia (i% a.d.);
Mês – taxa em mês (i% a.m.);
Ano – taxa em ano (i% a.a.)
Juros Compostos


Outro exemplo: Uma aplicação de $
50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a
uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.),
capitalizável mensalmente, quanto
renderá?
FVn = PV ( 1 + i
)n
100
Juros Compostos







FV = 50.000 ( 1,05 )3
FV = 57.881,25
Esse é montante, os juros (rendimentos)
são:
J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL
J = 57.881,25 – 50.000,00
J = 7.881,25
Veja o que ocorreu em cada período no
quadro a seguir:
Juros Compostos
Período
n
1
2
3
Capital
PV
50.000,00
52.500,00
55.125,00
Taxa Juros do Período
i
J
5%
2.500,00
5%
2.625,00
5%
2.756,25
Montante
FV
52.500,00
55.125,00
57.881,25
Juros Compostos Exercícios


01- Encontrar o montante a ser recebido
por uma aplicação em juros compostos de
$ 1.000,00, remunerada a 8,35% ao mês
durante 10 meses.
02- Você deposita a importância de $
150,00 em um banco que paga as
seguintes taxas: 4,5% a.m. no primeiro
mês de investimento, 5,30% a.m. no
segundo mês e 5,89% a.m. no terceiro
mês. Determine o montante que ela
resgatará após os 3 meses de
investimento.
Juros Compostos:
Exercícios



03-Determine o montante produzido pelo
capital de $ 770,00, aplicado a uma taxa
de 12,49% a.t., durante 15 meses, com
capitalização trimestral.
04- Calcule o valor de $ 250,00 para os
próximos 2, 3 e 6 meses, se a taxa se
mantiver em 3,8% a.m.
05- Quanto valia há 8 meses, e quanto
valerá daqui a 5 meses $ 170,00,
considerando-se uma taxa de 4,9% a.m.?
Juros Compostos:
Exercícios


06- Calcular o montante de uma aplicação
de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à
taxa de 3% ao mês.
07- No final de dois anos, o Sr. Pedro
deverá efetuar um pagamento de $
200.000,00 referente ao valor de um
empréstimo contraído hoje, mais os juros
devidos, correspondentes a uma taxa de
4% ao mês. Pergunta-se: qual o valor
emprestado?
Juros Compostos:
Exercícios



08- Determinar o montante correspondente
a uma aplicação de $ 10.000,00, pelo
prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387%
ao mês.
09- Determinar o montante, no final de 10
meses, resultante da aplicação de um
capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75%
ao mês.
10- Uma empresa obtém um empréstimo
de $ 700.000,00 que será liquidado, de
uma só vez, no final de dois anos.
Sabendo-se que a taxa de juros é de 25%
ao semestre, calcular o valor pelo qual
esse empréstimo deverá ser quitado.
Juros Compostos:
Análise de Taxas


Muitas vezes, no momento da tomada da
decisão de realizar uma Operação
Financeira, nos deparamos com taxas em
“tempos diferentes”. Essas diferenças se
não forem reajustadas podem causar
conclusões errôneas, como por exemplo,
“achar” que 1% ao dias é igual a 30% ao
mês.
Para que não ocorra tal conclusão, vamos
utilizar sempre que for necessário, a
fórmula de “Taxas Equivalentes” no regime
composto.
Juros Compostos:
Análise de Taxas

Equivalência de Taxas (fórmula
adaptada)
Fórmula :

Taxa que eu quero = [(1 + taxa que eu tenho) prazo que eu quero -1] x 100

–


prazo que eu tenho
Ou seja:
iq = [(1+it)nq –1] x 100
nt
Juros Compostos:
Análise de Taxas
i tenho
20% a.m.
10% a.m.
5% a.d.
i quero
a.d.
a.a.
a.s.
Resultado
120%a.a
.
a.t.
Juros Compostos:
Análise de Taxas Exercícios





01- Qual a taxa mensal equivalente a
460% ao ano?
02- Calcule a taxa anual equivalente a
13,14% ao mês.
03- Calcular a taxa trimestral equivalente a
uma taxa de 360% ao ano.
04- Calcule a taxa mensal equivalente a
413% ao ano.
05- Determinar a taxa diária equivalente a
25% ao trimestre.
Juros Compostos:
Análise de Taxas Exercícios




06- Calcule a taxa semestral equivalente a
5,3% ao mês.
07- Determine a taxa diária equivalente a
15% ao mês.
08- Determine a taxa bimestral equivalente
a 40% ao semestre.
09- Calcule as taxas diárias, mensal,
trimestral, semestral e anual para 365 dias,
equivalente a 10,70% ao bimestre.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva


Taxa nominal (in)
É uma taxa referente a um período
que não coincide com o período de
capitalização de juros. A taxa
nominal não corresponde, de fato,
ao ganho/custo financeiro do
negócio. Geralmente, tem
periodicidade anual e aparece em
contratos financeiros.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva





Lembre-se, na taxa nominal emprega-se
uma unidade de tempo que não coincide
com a unidade de tempo dos períodos de
capitalização!
Exemplo 1:
35% ao ano, com capitalização mensal;
16% ao ano, com capitalização semestral;
8 % ao mês, com capitalização diária.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva


Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada
no mercado, quando da formalização dos
negócios. Não é, porém, utilizada
diretamente nos cálculos, por não
corresponder, de fato, ao ganho/custo
financeiro do negócio.
A taxa que representa o efetivo
ganho/custo financeiro do negócio é a
TAXA EFETIVA.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva






Taxa Efetiva (ie)
É a que corresponde, de fato, ao
ganho/custo financeiro do negócio. Toda
taxa, cuja unidade de tempo coincide com
o período de capitalização dos juros, é
uma taxa efetiva.
Exemplo 2:
40% ao ano, com capitalização anual;
18% ao semestre, com capitalização
semestral;
4% ao mês, com capitalização mensal.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva



Como se obtém a taxa efetiva para o
período de capitalização de juros?
a) A partir de uma taxa nominal
Neste caso, você aplica o conceito
de taxas proporcionais (juros
simples):
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva

Ie = i n
k
Onde:
i e = taxa efetiva para o período de
capitalização
i n = taxa nominal
k = número de capitalizações contidas
no período da taxa nominal
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva




Exemplo 3:
36% ao ano, com capitalização
mensal:
(1 ano = 12 meses)  k = 12
Ie = i n = 36 = 3 % ao mês
k
12
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva





Calcule:
01- 48% ao ano, com capitalização
semestral.
02- 10% ao ano, com capitalização
trimestral.
03- 30% ao mês, com capitalização
anual.
04- 2% ao dia, com capitalização
mensal.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva


b) Obtenção da taxa efetiva a partir
de outra taxa efetiva, cuja unidade
de tempo é diferente do período de
capitalização dos juros.
Aqui se aplica o conceito de taxas
equivalentes (juros compostos).
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva






Exemplo:
A partir da taxa nominal de 36% ao ano,
cuja taxa efetiva é de 3% ao mês,
determinar a taxa efetiva anual
equivalente.
iq = [(1+it)^nq/nt – 1 ] x 100
iq = [(1,03)^12/1 – 1] x 100
Taxa equivalente = 42,58% ao ano.
Assim: A taxa efetiva anual equivalente à
taxa efetiva de 3% ao mês é de 42,58%,
enquanto que a taxa nominal ao ano é de
36%.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva



01- Qual a taxa efetiva mensal e a taxa
efetiva anual equivalente da caderneta de
poupança?
02- Dada a taxa de 60% ao ano, com
capitalização bimestral, calcule a taxa
efetiva ao ano.
03- Obter a taxa efetiva anual equivalente
a uma taxa nominal de 24% ao ano, com
período de capitalização mensal.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva



04- Determine a taxa efetiva mensal
equivalente a uma taxa nominal de 7,5%
ao mês com capitalização diária
(calendário comercial).
05- Obter a taxa efetiva anual equivalente
a uma taxa nominal de 78,01% ao ano
com capitalização semestral.
06- Foi aplicado $ 10.000,00 à taxa de
60,00% ao mês capitalizada diariamente.
Determine o montante resgatado ao final
de 4 dias.
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva

Complete o quadro a seguir,
calculando as taxas efetivas
correspondentes à taxas nominais
dadas:
Taxa Nominal x Taxa
Efetiva
A
B
C
D
E
F
Taxa Nominal
Taxa Efetiva
Taxa Capitalização trimestre semestre ano
7,97% a.a. mensal
45% a. s mensal
8,5% a.a. semestral
17% a.m. diária
6% a.a.
bimestral
1,51% a.t. diária
33 dias
Taxas Unificadas (iu)



Algumas modalidades financeiras
possuem taxas compostas por um
indexador e determinada taxa de juros.
É o caso, por exemplo, da caderneta de
poupança. Seu rendimento é TR (Taxa
Referencial) mais 0,5% ao mês.
O rendimento total é obtido com a
unificação dessas duas taxas. Veja bem:
unificar as taxas e não somar as taxas!
Taxas Unificadas (iu)


A utilização de taxas unificadas é muito útil
em regimes de economia inflacionária,
como no caso vivido no Brasil, onde vários
indexadores – na verdade taxas de
correção monetária – são colocadas no
mercado (IGP-M, TR, etc) para tentar zerar
ou equilibrar a perda monetária provocada
pela inflação.
Nosso problema é, tendo duas taxas (i1 e
i2), torná-las única iu de forma que
provoque o mesmo ganho/custo financeiro,
se aplicadas isoladamente uma sobre a
outra.
Taxas Unificadas (iu)




Cuidado! Unificar duas taxas não
significa somá-las:
i u= i 1 + i 2
A fórmula de unificação é:
i u = [ ( 1 + i1 ) x ( 1 + i2 ) –1 ] x 100
Taxas Unificadas




01: A TR que remunera a caderneta de
poupança para o dia 22/01 é 0,328%.
Calcular o rendimento total proporcionado às
poupanças desta data.
02- Unificar as taxas 10% ao mês e 5% ao
mês.
03- O Governo resolve dar reajuste de 30%
aos funcionários públicos, sendo a primeira
parcela de 10% em janeiro e o restante em
março. Calcular o percentual da segunda
parcela.
04- Encontrar a taxa unificada referente à
atualização monetária de 15% e taxa de
juros de 1,3% incidentes sobre o mesmo
capital.
Taxas Unificadas







05- Unificar as seguintes taxas:
a) 30% e 2%
b) 115% e 10%
c) 0,8426% e 0,5%
d) 13%, 12%, 5% e 4%
06- Encontrar a taxa que atinja um reajuste
total de 80%, dado em duas parcelas,
sendo a primeira de 40%.
07- Qual é o percentual de reajuste que
falta para atingir o aumento salarial de
35%, em duas parcelas, sendo que a
primeira foi de 10%?
Taxa Real


É importante ressaltar que muita
gente confunde taxa efetiva com
taxa real.
TAXA REAL (i r ) é a taxa efetiva (i e )
excluída dos efeitos inflacionários (I).
TAXA REAL refere-se a JURO
REAL, que pode ser um GANHO
REAL ou um CUSTO FINANCEIRO
REAL.
Taxa Real

Fórmula:

ir=( 1+ie
1+I

- 1 ) x 100
Taxa Real



01- Se um determinado banco conceder a
seus funcionários um reajuste de 25% para
um período de 12 meses em que a inflação
tiver sido de 20%, qual será o ganho real?
02- Foi emprestado um capital, à taxa de
26,83%, a título de juros e correção
monetária. Sabendo-se que a inflação no
período foi de 23,79%, calcular a taxa real.
03- Emprestamos um dinheiro a 4,36%. Se
a inflação foi de 1% no período, qual a taxa
real da operação?
Taxa Real




04- Um gerente empresta um dinheiro à
taxa de 8,00% ao mês. A inflação do mês
foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real?
05- Um capital de $ 300,00 foi aplicado
durante 3 meses, e resultou $ 373,37.
Sabendo-se que a inflação média mensal
foi de 1,20%, calcule:
a) taxa efetiva mensal;
b) taxa real mensal.
Taxa Real






06- Um cliente aplicou $ 2.500,00 em um
fundo de renda variável e obteve $
2.518,75. Considerando que a inflação no
período foi de 1,3%, calcular o ganho ou
perda real do investimento.
07- Um capital de $ 789.000,00 foi
aplicado durante 5 meses e resultou em $
2.483.464,50. Se a inflação média mensal
no período foi 25,10%, calcule:
a) taxa efetiva no período;
b) taxa real no período;
c) taxa efetiva mensal;
d) taxa real mensal.
Taxa Over


Com base no cenário financeiro, o Banco
Central do Brasil realiza, periodicamente,
leilões de Títulos Públicos (LTN, LBC, etc),
dando oportunidade às Instituições
Financeiras de adquirirem esses papéis.
Diante da expectativa de inflação, os
bancos interessados tentam obter o maior
desconto (deságio) possível, como no
exemplo:
Taxa Over



01- Um banco adquire um título, com
vencimento para 30 dias, por $ 800,00,
cujo preço de face é $ 1.000,00. Note que
se trata de uma operação de desconto cuja
taxa é de 20%.
Passo 1: Calcular a taxa efetiva, no caso,
25% (para 30 dias).
O mercado financeiro considera apenas os
dias úteis, não os dias corridos, como no
cálculo acima. Imaginemos, assim, que
este período (30 dias corridos) contenha
22 dias úteis e que desejamos encontrar a
taxa efetiva para 1 dia útil.
Taxa Over




Passo 2: Calcular a taxa equivalente
(importante: 25% já a taxa efetiva
para 22 dias úteis):
Taxa Equivalente = 1,02% a.d.
Se multiplicarmos este resultado por
30 obtemos uma taxa nominal
mensal: 1,02 x 30 = 30,58% ao mês.
A ESTA TAXA NOMINAL DÁ-SE O
NOME DE TAXA OVER.
Taxa Over


Taxa Over é uma taxa nominal,
mensal, que o mercado adotou para
mensurar e/ou comparar ativos
financeiros. É tão somente a taxa
efetiva de 1 (um) dia, multiplicado
por 30.
Taxa Over = Taxa Efetiva (dia) x 30
Taxa Over

02- Determinar a taxa over
considerando a compra de um título
público, com vencimento para 28
dias corridos (17 dias úteis) por $
918,70, cujo preço de face é $
1.000,00.
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos

Diz-se que uma série é uniforme
quando todos os seus termos
(pagamentos ou desembolsos) são
iguais e é feita em períodos
homogêneos (a cada dia, mês,
bimestre, semestre, ano, etc.).
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos


Vejamos o fluxo abaixo:
Série de Pagamentos
PV
0
1
2
3
4
5
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos


Série de desembolsos
0
1
2
3
4
FV
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos


Quando as entradas ou saídas
destinam-se ao pagamento de uma
dívida, chamam-se SÉRIES
UNIFORMES DE PAGAMENTOS
Quando destinam-se a constituir um
capital futuro, tomam o nome de
SÉRIES DE DESEMBOLSO.
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos





Principais fórmulas utilizadas em
séries uniformes
Tabela financeira;
1- FACs (Fator de Acumulação de
Capital)
Dado o Valor Presente, achar o Valor
Futuro
FACs = ( 1 + i ) n
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos




02- FAC (relativo a uma série
uniforme de pagamento)
Dada a Prestação, achar o Valor
Futuro.
FAC = ( 1 + i ) n - 1
i
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos




03- FVAs (Fator de Valor Atual)
Dado o Valor Futuro, achar o Valor
Presente.
FVAs =
1
(1+i)n
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos




04- FVA (relativo a uma série
uniforme de pagamentos)
Dada Prestação, achar Valor
Presente
FVA = 1 - ( 1 + i ) – n
i
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos





05- FFC (Fator de Formação de
Capital)
Dado Valor Futuro, achar a
Prestação.
FFC =
i
( 1 + i )n - 1
Séries Uniformes de Pagamentos
e de Desembolsos




06- FRC (Fator de Recuperação de
Capital)
Dado o Valor Presente, achar a
Prestação
FRC =
i
1 - ( 1 + i ) -n
Sistemas de Amortização





Amortização é o processo de liquidação de
uma dívida através de pagamentos
periódicos.
A amortização de uma dívida pode ser
processada de várias formas, dependendo
das condições pactuadas.
Vejamos algumas situações:
1) Pagamento da dívida em prestações
periódicas, representadas por parcelas de
juros mais capital;
2) Prestações constituídas exclusivamente
de juros, ficando o capital pagável de uma
só vez, no vencimento da dívida.
Sistemas de Amortização


03) Juros capitalizados para
pagamento, junto com o capital, ao
final da dívida.
Em razão disso, são conhecidos
diversos sistemas de amortização,
dos quais destacamos, em razão de
serem mais utilizados, o SAC e o
PRICE.
Sistemas de Amortizações
Constantes (SAC)



No SAC as prestações são decrescentes e
formadas por parcelas do capital mais
juros.
O valor da amortização do capital é
constante em todos os períodos. Já a
parcela dos juros diminui a cada período,
uma vez que a taxa de juros é aplicada
sobre o saldo devedor.
Veja o gráfico:
SAC

Gráfico SAC
juros
prestação
prestação
Amortização (capital)
períodos
SAC

Exemplo 1: Uma composição de
divida de $ 8.000.000,00 a ser paga
em quatro prestações anuais, com
taxa de juros de 36% ao ano. Para
elaborar a planilha de pagamentos,
seguiremos o seguinte
procedimento:
SAC




1) Calcular a amortização – dividir o valor
da operação pelo número de prestações.
2) Calcular a parcela de juros – fazer
incidir a taxa de juros sobre o saldo
devedor do período anterior.
3) Calcular a prestação – somar o valor da
amortização com a parcela de juros.
4- Apurar o saldo devedor do período –
subtrair o valor da amortização do saldo
devedor do período anterior.
SAC
Período
0
1
2
3
4
Prestação
Juros
4.880.000,00 2.880.000,00
4.160.000,00 2.160.000,00
3.440.000,00 1.440.000,00
2.720.000,00 720.000,00
n.º prestações
4
taxa de juros (a a)
36%
Amortização Saldo Devedor
8.000.000,00
2.000.000,00 6.000.000,00
2.000.000,00 4.000.000,00
2.000.000,00 2.000.000,00
2.000.000,00
-
SAC


Exemplo 2:
Uma operação no valor de $
70.000,00 foi contratada para ser
paga em quatro prestações anuais,
com taxa de juros de 17,00% ao
ano. Como será sua planilha de
pagamento?
SAC
Período
0
1
2
3
4
Prestação
Juros
n.º prestações
4
taxa de juros (a a)
17%
Amortização Saldo Devedor
Sistema Francês ou Tabela Price


As prestações são constantes em todos os
períodos e formadas por parcelas do
capital mais juros. A parcela referente à
amortização do capital aumenta a cada
período, ao passo que a referente aos
juros diminui no mesmo valor, mantendo
assim iguais as prestações em todos os
períodos.
Este sistema de amortização é um dos
mais usados, pois o fato de as prestações
terem valores constantes permite ao
devedor um melhor planejamento dos
pagamentos. É amplamente utilizado em
CDC, leasing e outros.
Price

Vejamos o gráfico:
juros
prestação
prestação
amortização
períodos
Price





Exemplo 1: O valor do financiamento é de
$ 600.000,00, à taxa de 37% ao ano, para
ser pago em três parcelas. Para elaborar a
planilha de pagamento, adotaremos os
seguintes procedimentos:
1) Calcular a prestação (FRC – fórmula 6)
2) Calcular a parcela de juros – fazer
incidir a taxa de juros sobre o saldo
devedor no período anterior.
3) Calcular a amortização – obtê-la pela
diferença entre a prestação e os juros do
período.
4) Apurar o saldo devedor do período –
subtrair o valor da amortização do saldo
devedor do período anterior.
Price
Período
0
1
2
3
Prestação
363.279,52
363.279,52
363.279,52
Juros
222.000,00
169.726,58
98.111,99
n.º prestações
3
taxa de juros (a a)
37%
Amortização Saldo Devedor
600.000,00
141.279,52 458.720,48
193.552,94 265.167,53
265.167,53
-
Sistema SAC ou Tabela Price, qual dos dois
é melhor?




Matematicamente não é possível afirmar
qual o melhor plano, pois são equivalentes:
a) reembolsam ao financiador o principal;
b) remuneram, a uma taxa contratada,
todo o capital, pelo tempo em que
permanecer nas mãos do financiado.
Devem-se observar as condições que
envolvem o negócio, como capacidade de
pagamento, necessidade de caixa, etc.
SAC x PRICE


Utilize o exemplo 2 (SAC) e calcule
o planilha de financiamento pela
Tabela Price e compare as duas
situações.
Lembrando que era: valor financiado
$ 70.000,00, 4 prestações anuais,
com juros de 17% ao ano.
SAC x PRICE
Período
0
1
2
3
4
Prestação
Juros
n.º prestações
4
taxa de juros (a a)
17%
Amortização Saldo Devedor
SAC e PRICE:
Exercícios

01- Um cliente propôs pagar o saldo
devedor de um empréstimo de $
120.000,00 em 4 parcelas mensais,
mas sugeriu que as prestações
fossem decrescentes. Assim, o ideal
seria a amortização pelo sistema
SAC. Preencha a grade, sabendo
que a taxa de juros é de 10% ao
mês.
SAC e PRICE:
Exercícios

02- A composição de uma dívida de
$ 5.000,00 será paga em 5
prestações, com taxa de 15% ao
ano, pelo sistema SAC. Encontrar os
valores de cada prestação, juros e
amortização anual.
SAC e PRICE:
Exercícios

03- Uma geladeira no valor de $
1.200,00 é financiada pela Tabela
Price em 4 parcelas mensais, sem
entrada. Encontrar o valor da
prestação mensal e as parcelas de
juros e amortização do capital de
cada período, sabendo que a taxa
de financiamento é de 11% ao mês.
ANÁLISE DE FLUXO DE
CAIXA


É o principal objetivo do matemática
financeira.
O fluxo de caixa de um investimento,
empréstimo ou financiamento, ou
mesmo de uma empresa, é o nome
dado ao conjunto das entradas e
saídas do dinheiro ao longo do
tempo.
Fluxo de Caixa





A matemática financeira, portanto, nos
permite comparar fluxos de caixas distintos
para identificarmos a melhor alternativa de
empréstimo, investimento ou
financiamento.
Ao fazermos uma pesquisa de preços, por
exemplo, para aquisição de uma televisão,
encontramos diversas alternativas de
pagamento nas várias lojas pesquisadas:
Somente a vista
Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações
E assim por diante.
Fluxo de Caixa



Onde deverei comprar?
Somente poderemos dizer qual é a melhor
opção de compra, se analisarmos cada
fluxo de caixa e transformarmos cada
proposta em seu valor equivalente à vista.
A matemática financeira dá as
“ferramentas” básicas que nos permitem
comparar diferentes alternativas de
investimento de um mesmo período.
Fluxo de Caixa

Existem vários métodos de análise
de investimento. Contudo, em
função de serem os mais utilizados
pelo mercado, iremos enfocar três: o
Prazo de Retorno – Payback, o Valor
Presente Líquido – NPV (Net
Present Value) e a Taxa Interna de
Retorno – IRR (Internal Rate
Return).
Payback

O payback (prazo de retorno) é um
método simples, fácil de calcular, é
definido por: prazo de tempo
necessário para que os
desembolsos sejam integralmente
recuperados.
Payback







Supondo o quadro (resultado do
investimento)
Anos
Fluxo de Caixa
0
$ (-) 30
1
$ (-) 15
2
$
20
3
$
25
4
$
40
Payback

Fluxo de Caixa
20
0
30
1
15
2
25
40
3
4
Payback








No exemplo, temos:
ANOS FLX CX
ACUMULADO
0
- 30
- 30
1
- 15
- 45
2
20
- 25
3
25
0
4
40
40
O prazo de retorno foi de 3 anos.
Payback




A aplicação do método na empresa é feito
do seguinte modo: a empresa fixa um
prazo limite para recuperação dos
investimentos e são aceitos projetos cujo
tempo de recuperação for menor ou igual a
este limite.
Deficiência do método:
1) Não reconhece as entradas de caixa
previstas para ocorrerem após a
recuperação do investimento;
2) Não avalia adequadamente o valor do
dinheiro no tempo.
Exercícios

01- Escolha o melhor projeto do
ponto de vista do payback,
justificando a escolha:
Payback: exercícios
Dados
PROJETOS
A
Investim ento Inicial ($)
B
C
20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano
6.000
7.500
9.000
2.º ano
7.000
7.500
8.000
3.º ano
8.000
7.500
7.000
4.º ano
9.000
7.500
6.000
Valor Presente Líquido
(NPV)


Antes de aplicar o método do VPL
vamos recordar a capitalização e
descapitalização.
Capitalizar – a partir de um valor
presente (PV) obter um valor futuro
(FV).
FV
(desconhecido)
PV
(conhecido)
0
1
2...
n
períodos
NPV

Descapitalizar – a partir de um valor
futuro (FV) obter um valor presente
(PV).
FV (conhecido)
PV (desconhecido)
0
1
2
n
períodos
NPV




Exemplo 1:
Considere que você tomou um empréstimo
de $ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para
pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de
julho, de uma só vez, à taxa de 5% ao mês
(capitalizados mensalmente).
a) encontre o valor a ser pago no
vencimento (10/7);
b) caso você deseje liquidar
antecipadamente a dívida, em 10 de abril,
que valor deverá ser pago?
NPV





NPV é a soma das entradas e saídas,
descapitalizadas, uma a uma, até o
momento zero.
Modelo matemático do Valor Presente
Líquido – NPV:
Sejam:
PV = investimento inicial (momento zero)
PMTj = fluxos subseqüentes ao momento
“zero” (j = 1,2,...,n)
NPV


NPV = -PV + PMT1 + PMT2 + ... + PMTn
(1+i)1 (1+i)2
(1+i)n
NPV



Exemplo 1:
O Sr. Chico Cavalcante emprestou
hoje $ 100.000,00 a um amigo que
lhe prometeu pagar $ 60.000,00
daqui a 1 mês e $ 75.000,00 daqui a
2 meses.
Sabendo que a taxa é de 20% ao
mês, calcule o valor presente
líquido.
NPV







02- Calcule o valor presente líquido do
fluxo abaixo, considerando que a taxa de
juros é de 25% ao ano.
Anos
Fluxo de Caixa
0
$ (-) 30
1
$ (-) 15
2
$
20
3
$
25
4
$
40
NPV

03- Calcule o NPV dos projetos
abaixo, considerando uma taxa de
juros anual de 20%, avaliando quais
serão aceitos e qual a sua indicação
para a tomada de decisão do
empresário:
NPV
Dados
PROJETOS
A
Investim ento Inicial ($)
B
C
20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano
6.000
7.500
9.000
2.º ano
7.000
7.500
8.000
3.º ano
8.000
7.500
7.000
4.º ano
9.000
7.500
6.000
TAXA INTERNA DE
RETORNO (IRR)



É a taxa que torna nulo o Valor
Presente Líquido (NPV) de um fluxo
de caixa.
Exemplo 1:
Suponhamos o seguinte fluxo de
caixa:
IRR
Dados
Investimento Inicial ($)
PROJETO
4.500
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano
1.000
2.º ano
2.000
3.º ano
3.000
IRR







Calcule o NPV para a taxa de juros igual a
10% ao ano e 15% ao ano.
Teremos:
A) 10%  NPV = 315,93
B) 15%  NPV = (-) 145,60
Portanto, a taxa está entre 10% e 15% ao
ano.
Agora vem a técnica da interpolação linear.
Neste caso aplica-se a regra de 3 simples:
IRR







Quando variamos as taxas:
10% para 15%, portanto, 5%, o valor em $
variou de 315,93 para (-) 145,60, ou seja:
Variando: 5 pontos percentuais, o valor
variou $ 461,53.
Pergunta-se: quanto deve variar a taxa
para absorver somente $ 315,93?
Assim: 5 p.p está para $ 461,53, assim
como X p.p. está para $ 315,93.
Resultado: 3,42 p.p.
Desta forma a IRR = 10% + 3,42% =
13,42% ao ano.
IRR


Importante: como trata-se de
interpolação linear, quanto maior for
a diferença entre as taxas, menos
preciso será o resultado. Por este
método chegamos a uma taxa
aproximada.
As calculadoras financeiras indicam
uma taxa mais precisa.
IRR
GRÁFICO DO IRR
315,93
-145,60
5%
10%
15%
13,42%
IRR: Exercícios







01- Calcular a Taxa Interna de
Retorno para:
Anos
Fluxo de Caixa
0
$ (-) 30
1
$ (-) 15
2
$
20
3
$
25
4
$
40
IRR: Exercícios

02- Calcule o IRR dos projetos
abaixo, escolhendo o melhor,
justificando sua escolha:
Dados
PROJETOS
A
Investim ento Inicial ($)
B
C
20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano
6.000
7.500
9.000
2.º ano
7.000
7.500
8.000
3.º ano
8.000
7.500
7.000
4.º ano
9.000
7.500
6.000
IRR: Exercícios


03- Uma geladeira é vendida por $
800,00 a vista, ou em 5 parcelas,
sem entrada, de $ 184,78. Qual a
taxa de juros deste crediário?
04- Uma TV é vendida por $ 900,00
a vista, ou podendo ser parcelada
em 6 vezes (entrada + 5), de $
180,26. Qual a taxa de juros deste
crediário?