Números Complexos
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac)
na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos
com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre
dizemos ser impossível a raiz no universo considerado
(R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este
problema, sendo Gauss e Argand os que realmente
conseguiram expor uma interpretação geométrica num
outro conjunto de números, chamado de números
complexos,
que
representamos
por
C.
Esquematicamente,
temos:
R
C
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e
representa-se por C, o conjunto de pares ordenados,
ou seja:
► z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R.
► z=
►z
x + y.i (forma algébrica) , em que i = √-1
= (x, y) Afixo
Exemplos:
A (5, 3) = 5 + 3i
B(2, 1) = 2 + i
C(-1, 3) = -1 + 3i ...
y
3
A
5
x
Dessa forma, todo número complexo z = (x,y) pode
ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como
forma algébrica, onde temos:
►x
= Re(z), parte real de z (termo independente)
►y
= Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i)
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e
somente se, apresentam simultaneamente
iguais a parte real e a parte imaginária.
Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos
que:
► z1
= z2 ↔ a = c e b = d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta
somarmos, separadamente, as partes reais e
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi
e z2 = c + di, temos que:
► z1
+ z2 = (a + c) + (b + d)i
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta
subtrairmos, separadamente, as partes reais e
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi
e z2 = c + di, temos que:
► z1
– z2 = (a - c) + (b - d)i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta
efetuarmos a distributiva dos dois binômios,
observando os valores das potência de i. Assim, se
z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que:
► z1
.z2 = (a + bi).(c + di )
► z1
.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
► z1
.z2 = a.c + bdi2 = adi + bci
► z1
.z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação
sobre o plano cartesiano são os afixos do números
complexos w1, w2 e w3 abaixo?
A) z1= 2  w1 = i.z1 = 2i
B) z2 = 5  w2 = i.z2 = 5i
C) z3 = 6 + 2i  w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i
4
12
A
2
5
3
2
-4
b .h

3 .4
2
6
Conjugado de um número complexo
Dado z = a + bi, define-se como conjugado
de z (representa-se por z ) → z = a - bi
Exemplo:
z= 3 - 5i → z = 3 + 5i
z = 7i → z = - 7i
z=3→ z=3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta
multiplicarmos o numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador.
Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
► z1
/ z2 = [z1 . z2] / [z2 . z2] =
► [(a
+ bi).(c - di)] / [(c + di).(c - di)]
Exemplo: Calcule: (7+4i)/(1+2i).
7  4i 1  2i
z
.
1  2i 1  2i
z
z
z
7  14 i  4 i  8 i
1  4i
2
7  14 i  4 i  8
1 4
15  10 i
5
z  3  2i
2
Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de , para que a parte
imaginária de (2 + i)/( + 2i) seja nula.
2i

  2i
2i
.
  2i
  2i   2i
2  4 i   i  2 i
  4i
2
2
2
2  4 i   i  2
 4
2
( 2   2 )  (  4 ) i
 4
2
2  2
 4
2

 4
 4
2
i
Se a parte imaginária é zero, então:
-4=0
=4
Potências de i
Se, por definição, temos que i = √-1, então:
i0 = 1
i1 = i
Soma = 0
i2 = -1
i3 = i2 .i = (-1).i = -i
i4 = i2 .i2 = (-1).(-1)=1
i5 = i4 .1= 1.i = i
i6 = i5 .i = i.i = i2 = -1
i7 = i6 .i = (-1).i = -i ......
Potências de i
Observamos que no desenvolvimento de in n
pertencente a N, os valores se repetem de
4 em 4 unidades. Desta forma, para
calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo: Calcule i63
63 : 4 dá resto 3,
Logo: i63 = i3 = -i
Exemplo: Obtenha o valor de:
a) i2007 + i2009 + i1006 + i1008 =
i3 + i1+ i2 + i0 =
-i+i–1+1 =0
18
n
b)  i
n=5
18

i  i  i  i  ...  i
n
5
6
7
18
 i  i  i  (  1)   1  i
5
6
n5
12 parcelas têm soma zero
18

n5
18
i  i  i  i  (  1)
n
5
6


n5
i  1 i
n
Módulo de um número complexo
Dado z = a + bi, chama-se módulo de z a
sentença:
► |z| = √a2 + b2 , conhecido como ρ
Interpretação (forma) geométrica
Como dissemos anteriormente, a interpretação
geométrica dos números complexos é que deu o
impulso para o seu estudo. Assim, representamos o
complexo z = a + bi da seguinte maneira:
Forma Geométrica
Representação do
número complexo
z = a + bi
no plano cartesiano
(plano de
Argand/Gauss)
Perceba que:
|z| = √a2 + b2
y (Im.)
P(a,b)
b
|z|
a
x (Real)
Forma Geométrica
Agora observe apenas o
triângulo da figura anterior,
nele temos que:
►  é chamado argumento
de z.
sen  
b
z
cos  
a
z
|z|

a
b
Da interpretação geométrica, temos que:
sen  
b
 b  z  sen 
z
cos  
b
 a  z  cos 
z
z  a  bi
z  z  cos   i z  sen 
Logo:
z  z cos   isen 

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de
um número complexo.
Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12
- 5i. Calcule |z1|, |z2|, z1.z2, |z1. z2|, z1/z2 e |z1/z2|.
a ) | z1 | 
9  16  5 e | z 2 | 
144  25  13
b ) z 1 z 2  ( 3  4 i )( 12  5 i )  56  33 i
c ) | z1 z 2 | 
d)
z1

56  33
2
3  4i
z2
12  5 i
z
e) 1 
z
2
16
2
x
12  5 i
12  5 i
 63
169
2
2
2



 65  5 x13  | z1 || z 2 |
4225
16  63 i
144  25
4225
169
2


16  63 i
169
65
169

5
13

| z1 |
| z2 |
Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é igual ao
produto dos módulos, o mesmo vale para o quociente
Exemplo: Considere o número complexo
z = -3√3 + 3i e calcule:
a)Módulo de z:
 3 3 
2
z   
3
2

b) O argumento principal de z:
cos  
sen  
dessa
a

b


3
3


6

3
6

2
1
2
forma teremos :
  150 º ou
5
6
3
27  9  6
c) A forma trigonométrica:
z = ρ.(cos + i. sen)
z = 6.(cos150º + i.sen 150º)
ou
z = 6.(cos5/6 + i.sen5/6)
Exemplo: Escreva na forma trigonométrica z 
 3
2
z 
cos  
a
b
2
3

z
sen  
1  2
2

z
1
logo :  

6

 

z  2  cos
 i sen 
6
6

2
Exemplo: Obtenha a forma algébrica de
 
5
3  i.
5
5 

z  2  cos
 isen

6
6 

 150 º , ou seja,   2º quadrante.
6
cos
5

6
sen
5
6
3
2

1
2
Substituin do os valores
5
5 

em z  2  cos
 isen
 , temos :
6
6



3
1
z  2 
 i.    3  i


2
2


Possibilidades de se trabalhar com
números complexos:
Forma
algébrica
Afixo
Forma
Forma
geométrica
trigonométrica
MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica
Sejam dados dois números z e w tais que:
z  z  cos   isen 

w  w cos   isen 

Vejamos o que acontece quando fazemos z . w:
z  w  z cos   isen    w cos   isen 

z  w  z  w cos   isen    cos   isen 


z  w  z  w cos  cos   isen  cos   isen  cos   i sen  sen 
2

z  w  z  w cos  cos   sen  sen    sen  cos   sen  cos  i 
z  w  z  w cos      isen   

MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica
Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na
forma trigonométrica:
 O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS;
 O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS.
Exemplo: Dados os números:

 

z 1  2  cos
 isen

6
6


 

e z 2  3  cos
 isen

3
3

Calcule z1 . z2:

z1 z 2  2 . 3  cos

  
   
    i sen    
3
3 
6
6

 

z 1 z 2  6  cos
 isen

2
2

Observação:
O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser
generalizado por:
z1 . z 2 ... z n   1 .  2 ...  n cos(  1   2  ...   n )  isen ( 1   2  ...   n ) 
DIVISÃO na forma trigonométrica
Sendo dados dois números z e w tais que:
z  z  cos   isen 

w  w cos   isen 

Na divisão de z por w, dizemos que:’
O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS;
O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS
ARGUMENTOS.
z
w

z
w
cos 
    isen   

Exemplo: Sejam os números complexos:
z 1  6  cos 240 º  isen 240 º 
z 2  cos 30 º  isen 30 º
z 3  2  cos 150 º  isen 150 º 
Calcule: z1/z2 e z1.z2.z3:
Resolução:
z1
z2
z1
z2

6
1
cos 240 º  30 º   isen 240 º  30 º 
 6 cos210º
 i sen210º
.
z1 z 2 z 3  6 . 1 . 2 cos 240 º  30 º  150 º   isen 240 º  30 º  150 º 
z1 z 2 z 3  12 cos 420 º  isen 420 º 
z1 z 2 z 3  12 cos 60 º  isen 60 º .
POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica
Primeira fórmula de De Moivre
Vamos primeiro lembrar que: POTENCIAÇÃO É UMA
MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo,
sendo dado um número z:
z  z  cos   isen  
Para calcularmos zn fazemos:
z  z  z  z  z  z  z
n
z  z cos   isen    z cos   isen    z cos   isen  
n
z  z
n
cos     
z  z
n
cos  n     isen  n   
n
n
    isen        
POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica
Primeira fórmula de De Moivre
Conclusão: na potenciação de dois números z e w na
forma trigonométrica:
 O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO;
 O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE
PELO ARGUMENTO.
Exemplo: Dado z = 2(cos30º + isen30º), obtenha a
forma trigonométrica de z3:
Resolução:
3
z 2
3
cos
3 . 30 º  isen 3 . 30 º 
z  8 .(cos 90 º  isen 90 º )  8 ( 0  i. 1)  8 i.
3
Exemplo: Calcule z5 onde z = 2 + 2i3.
Resolução:
| z |
4  4 .3  4
1
3

z  2  i2 3  4

2
2


i   4 cos 60 º  isen 60 º ,


1
3

z  4 cos 5  60 º  isen 5  60 º   1024   i
2
2 

5
5
z  512  512
5
3i
Logo ,
RADICIAÇÃO na forma trigonométrica
Segunda fórmula de Moivre
Vamos primeiro lembrar que: RADICIAÇÃO É A
OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo,
sendo dado um número z:
z  z  cos   isen  
No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que:
O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULO;
O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO
ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO
ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para
k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.
RADICIAÇÃO na forma trigonométrica
Segunda fórmula de Moivre
n
z  wk 
n

   k  2 
   k  2  
z  cos 
  isen 
 
n
n





Com k  0 , 1, 2 ,  , n  1
RADICIAÇÃO – explicando melhor
Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é
resolver a equação zon = z.
n
n
z  wk  wk  z
Se considerarmos: wk = |wk|(cos 0 + isen 0)
Então de:
wk n = z
Teremos:
|wk|n[cos(no) + isen (n0)] = |z|(cos + i sen)
Se os ângulos são dados em radianos,
wk
n
wk 
 z e n  0    k  2 , k  0 , k  Z
n
z
e 0 
  k  2
n
Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z  0,
a saber, encontradas por meio expressão:
wk = |wk|(cos 0 + isen 0)
n
z  wk 
n

   k  2 
   k  2  
z   cos 
  sen 
i 
n
n



 

Onde k = 0, 1, ...(n - 1)  Z.
Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8.
Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:
z 
8 0
cos  
2
a

z
sen  
b
z
2
8
8
1
8

0
8
0
logo,   0
e
z  8 cos 0  i sen 0 
Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que:
|z| = 8, n=3,  = 0.
n
z  wk 
8
8  wk 

   k  2 
   k  2
z   cos 
  sen 
n
n




n
3

 0  k  2 
 0  k  2
8   cos 
  sen 
3
3




 
i 
 
 
i 
 
Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2
k  0  w0 
k  1  w1 
k  2  w2 
3
8  cos 0  sen 0 i   2 1  0  i   2
 1

3
 2 
 2  

8   cos 

sen
i

2




 
 2
3
3
2



 


3
3
 1

3
 4 
 4  

8   cos 
  sen 
i   2  
2
 3 
 3  

 2

i   1 



i   1 


3i
3i
Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de
Argand-Gauss.
w 0  2  w 0 2 , 0 
w1   1 
w2   1 
 3
3 i  w  1,  3 
3 i  w1  1,
3
2
-1
2
-3
Observações:
1. Perceba que quando
representamos no plano de
Argand-Gauss as raízes nésimas de z, os afixos destas
3
raízes representarão pontos
da
circunferência
trigonométrica;
-1
2
2. Perceba ainda que basta
achar o argumento da 1ª raiz
-3
(para k = 0), as demais
posicionam-se a 360/n graus
uma da outra.
3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( =
0) e o argumento das demais é 120º e 240º, pois 360º/3 = 120º;
4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss
um polígono regular de n lados.
Exercícios Resolvidos
01. Sejam os complexos z1 = (2x + 1) + yi e z2 = -y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 - y) + (y +2)i = 0
logo, é preciso que:
2x + 1 - y = 0 e y + 2 = 0
Resolvendo, temos que:
y = -2 e x = -3/2
02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja
imaginário puro.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + xi + 2i + 2i2
z = x + (x + 2)i – 2
z = (x - 2) + (x + 2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que:
(x - 2) = 0
Logo: x
=2
03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
z
z
z
z
2i

7  3i
7  31 7  3 i
14  6 i  7 i  3i
7  9i
2
2
14  13 i  3
49  9
11

58
O conjugado de Z seria, então:
z
11
58
13 i
58

3i
58
2
04. Os módulos de z1 = x + 20 i e z2 = (x - 2) + 6i
são iguais, qual o valor de x?
Então,
|z1| = x2 + 20 e |z2|= (x - 2)2 + 36
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = - 4x + 40
4x = 20
Logo: x
=5
05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z
= (1 + i)/i.
1 i  i  i  i
Efetuando-se a divisão, temos: z 


 1 i
2
i
i
i
2
Para a forma trigonométrica, temos que:
z 
1    1 
2
2
11 
2
sen  
b

z
cos  
a
z
1

2

1
2
2

2
2

2
2
2

2
2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que:  = 315º
Logo que a forma trigonométrica é dada por:
z
2  cos 315 º  isen 315 º 