TORRE DE HANÓI
 Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a
mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita
holandês, situado no centro do universo sub-aquático
oceânico. Diz-se que Brahma supostamente havia
criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas
estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma
ordenara aos monges que movessem todos os discos de
uma estaca para outra segundo suas instruções, de que
apenas um disco poderia ser movido por vez e
nunca um disco maior deveria sobrepor um disco
menor. Segundo a lenda, quando todos os discos
fossem transferidos de uma estaca para a outra, o
templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.
QUAL A RELAÇÃO COM A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
ATIVIDADES PARA A PRIMEIRA AULA:
EXPLOREM O JOGO EM SEUS GRUPOS.
DESCUBRAM OS SEGREDOS DE RESOLVER O
PROBLEMA
FAÇAM COMPETIÇÃO DENTRO DO GRUPO PARA
VER QUEM CONSEGUE RESOLVER O PROBLEMA
COM O MENOR NÚMERO DE MOVIMENTOS.
NÚMERO DE DISCOS
NÚMERO DE MOVIMENTOS
1
2
3
4
5
6
7
1
3
7
15
31
63
127
COMO SABER QUANTOS MOVIMENTOS SERÃO
NECESSÁRIOS PARA CUMPRIR A LENDA DA TORRE
DE HANOI? (LEMBRE QUE SÃO 64 DISCOS)
EM PRIMEIRO LUGAR TEMOS QUE DESCOBRIR
COMO SE SUCEDEM A QUANTIDADE DE
MOVIMENTOS EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE
DISCOS.
A SEQUÊNCIA É: (1, 3, 7, 15, ...)
QUAL A FÓRMULA PARA DESCOBRIR QUEM VEM
DEPOIS?
NÚMERO DE MOVIMENTOS
1
3
7
15
31
63
127
RELAÇÃO MATEMÁTICA
2-1=1
4-1=3
8-1=7
16-1=15
32-1=31
64-1=63
128-1=127
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
NÚMERO DE DISCOS
MOVIMENTOS
1
2
3
4
5
6
7
1
3
7
15
31
63
127
RELAÇÃO MATEMÁTICA
2-1=1
4-1=3
8-1=7
16-1=15
32-1=31
64-1=63
128-1=127
RELAÇÃO MATEMÁTICA
21-1=1
22-1=3
23-1=7
24-1=15
25-1=31
26-1=63
27-1=127
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
 Falamos de Progressões Aritméticas onde, após o
1ºtermo (a1), todos os termos são obtidos somando-se
a razão (r).
Uma “Progressão geométrica” (PG), também tem
números em sequência, mas a forma de obtê-los é
diferente.
Ao invés de “adicionarmos” a razão nós
vamos “multiplicar” pela razão.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
DESTA FORMA A DIVISÃO ENTRE UM NÚMERO
QUALQUER DA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SEU
ANTECESSOR É SEMPRE A MESMA (CONSTANTE).
A ESTA CONSTANTE DAMOS O NOME DE RAZÃO DA P.G.
E REPRESENTAMOS PELA LETRA “q”.
Exemplo:
Na P.G. (2,4,8,16,32,...), temos:
32/16 = 2
16/8 = 2
8/4 = 2
4/2 = 2
Então 2 é a razão “q” da PG,
ou de outra forma q=2
 Assim:
a1 = a1
a2 = a1 x q1
a3 = a2 x q = a1 x q x q = a1 x q2
a4 = a3 x q = a1 x q2 x q = a1 x q3
Chegando, então, à generalização pela fórmula:
an = a1 x qn-1 Onde:
“an" é o último termo ou um termo qualquer;
“a1” é o primeiro termo;
“q” é a razão;
“n” é o número de termos da PA ou a posição do termo “an".
Tipos de PG:
 Dependendo de como a PG se desenvolve ela pode se
constante, crescente, decrescente ou alternante.
Ex:
-(5,5,5,5,5,...) esta PG é constante, percebam que q=1,
pois 5/5 = 1;
-(-8,-4,-2,-1,-1/2,...) esta PG é crescente, percebam que
q=-2/-4 = 1/2, temos 0<q<1 e a1<0;
-(-3,-9,-27,-81,-243,...) esta PG é decrescente, percebam
que q=-9/-3=3 e a1=-3, q>1 e a1<0;
-(1/25,-1/5,-5,25,...) esta PG é alternante, percebam que
q=-5, então q<0.
Exemplos:
 Determinar a razão da PG de cinco termos , tal que:
a1+a4=50,05 e a2+a5=500,5.
Temos então, que escrever todos os termos em função do
primeiro termo.
a 2  a1  q
a 3  a 2  q  ( a1  q )  q  a1  q
a 4  a 3  q  a1  q
a 5  a1  q
Daí temos:
2
3
4
 a 1  a 1  q 3  50 , 05
 a 1  a 4  50 , 05
 

 a 1  q  a 1  q 4  500 , 5
 a 2  a 5  500 , 5
 a 1 (1  q 3 )  50 , 05

 a 1  q (1  q 3 )  500 , 5
Por substituição fazemos:
  a 1 (1  q )  50 , 05  a 1 
3
50 , 05
(1  q )
3
  a 1  q (1  q )  500 , 5
3
50 , 05
(1  q )
3
q
 q (1  q )  500 , 5  50 , 05  q  500 , 5
3
500 ,5
 q  10
50 , 05
Fazer os exercícios da página 239 de 81 à 86