Produto escalar de 2 vectores
 
O produto escalar de dois vectores u e v , do plano ou do espaço,
 
representa-se por
e é dado por:
u .v
 
 
 


 u .v  u . v . cos( u ^ v ) se u  0 e v  0
 


 u .v  0 se u  0 ou v  0
Ou, em termos de coordenadas de vectores:
 
u . v  ac  bd
sendo


u (a , b ) e v (c, d )
Assim sendo o produto escalar de dois vectores é um número real.
Consequências da definição
1. Se dois vectores são ortogonais, o seu produto escalar é igual
a 0, e reciprocamente.


u ( a , b ) e v ( c , d ) são ortogonais
se e só se
ac  bd  0
Esta condição permite indicar rapidamente as coordenadas de um
vector perpendicular a outro, cujas coordenadas são conhecidas.
Para tal basta trocar a ordem das coordenadas e o sinal a uma
delas.
Um vector perpendicu
Uma expressão



lar a u (a, b) é v (-b, a) ou v (b,-a).
geral é k(-b, a), k   \ 0 
 
2. Se u . v >0, o ângulo dos dois vectores é agudo, e reciprocamente.
 
3. Se u . v <0, o ângulo dos dois vectores é obtuso, e reciprocamente.
4. Se dois vectores são colineares e têm o mesmo sentido, têm-se
 
 
u .v  u . v
5. Se dois vectores são colineares e têm sentidos opostos, têm-se
 
 
u .v   u . v
6. Da definição de produto escalar de dois vectores não nulos, podemos
obter a seguinte igualdade que define o ângulo de 2 vectores
 
 
u .v
cos( u ^ v )   
u .v


Ou em termos de coordenadas, sendo u ( a , b ) e v ( c , d )
 
cos( u ^ v ) 
ac  bd
a b . c d
2
2
2
2
 

7. Para cada vector u, tem-se: u .u  u
2
Propriedades do produto escalar
• Propriedade comutativa:
   
 
u .v  v .u ,  u , v
  
   
  
• Propriedade distributiva: u .( v  w )  u .v  u .w ,  u , v , w
• Propriedade associativa mista:
 
 
 
 
( t .u ). v  t ( v .u )  u .( t .v ),  v , u ,  t  
Aplicações do produto escalar
• Trigonometria – cos(a-b)
• Geometria – mediatriz, circunferência
• Física – cálculo do trabalho W=F.d.cos(a)
• Economia – Custos de produção