Dipolo Curto
Prof. Nilton Cesar de
Oliveira Borges
Uma vez que se pode considerar que qualquer
antena linear consiste de um grande número de
condutores bem pequenos ligados em série,
desse modo é importante analisar primeiramente
as propriedades de radiação de condutores
curtos.
Dipolo Curto
+q
I
L
-q
Dipolo Curto
Seu equivalente elétrico
• Utilizando o potencial vetorial A,
A 

4 

J
r
 dv
Considerando que a secção do fio é de área constante
temos:
Área da secção do
fio
A 
A 

4 

4 

dz
r

J
r
A 
 dv 
Corrente
I
  J  dx .dy 
A 

4 

4 
A 
I

J
 dx .dy .dz 
r

4 
 r  dz

dz
r
I
• Como estamos interessados no campo distante.
O sinal que chega no ponto P é de um sinal que
foi gerado em um instante anterior, ou seja o
sinal chega retardado em P.
• Esse retardo é igual a distancia do ponto
P da origem dividido pela velocidade de
propagação.
• Considerando a distancia do ponto P igual
a r e velocidade da luz igual a “c” , temos
que o tempo de retardo será de “r/c”.
Desse modo o sinal que medimos em P no
tempo t, foi gerado na verdade em um tempo
anterior t’, sendo:
t’= t - r/c
 t’ é o tempo que ele foi gerado
 t igual ao tempo presente que recebemos
o sinal
 r é a distancia da origem ao ponto P.
 c é a velocidade da luz
• Admitindo que a corrente obedeça a
seguinte função:
I  I0 e
r 

j   t  
c

Onde:
I é a corrente instantânea
I0 é a corrente máxima
ω= freqüência da onda
Em seguida faremos duas
considerações para o
calculo do campo que
serão utilizados no cálculo
do potêncial A
Primeira consideração
Considerando um dipolo onde (L<<), e que nos extremos existem
duas placas que proporcionam um carregamento capacitivo, a corrente
I, conseqüentemente é praticamente constante em todo o dipolo.
I

Segunda consideração
P
Z
S1

dz
S
r
L
S2
Y
d
Se a distancia do ponto P for bem maior que o tamanho do dipolo L,
pode-se considerar que S=r constante para todo o dipolo, sendo a
diferença de fase entre os extremos do fio podem desprezadas.
Retomando a equação do pontencial A.
A 

I
4 
s
 dz
1º consideração: I é cte em relação a z e sai da integral
Az 

4 
L
2

L
I
s
2
 dz 
Az 
I .
4   r
L
2
 dz
L
2

Az 
I L
4   r
2º consideração: troca-se s por r que sai da integral por ser considerado
aproximadamente constante em relação a z.
Az 
 LI
4   s

Substituindo I por:
I  I0 e
Temos:
Az 
μLI 0 e
 t  r/c 
4  π r
r 

j   t  
c

O potencial escalar V é dado
por:
L
V 
1
4  
2

L
 
 dv
s
2
dv = elemento volumétrica infinitesimal.
 = constante volumétrica do espaço livre
 É a densidade volumétrica
 é também retardada por (t-r/c), sendo:
  
0 e
r 

t

j
c
Devido ao efeito capacitivo as cargas do dipolo
estarem confinadas aos extremos, temos o
potencial dado por:
q 
q
V 

4      s1 s 2 
1
Vamos agora encontrar o valor de q em função de I:
I 
dq
dt

q    I  dt
se
I  I0 e

j t  r
c

Então
q    I  dt
q  

Integrando, temos:
q  
I0
j
e

j t  r

c
I 0  e

j t  r
c

dt
Substituindo o valor de q na equação
do potencial temos:
q 
q
V 




4      s1 s 2 
1
 S 
 j   t  S1 
j  t  2  
c 
c 


I0
e
e

V 



4      j
S1
S2




P
Ponto distante
L
Z
cos 
2
S1

r
L
Y
S2
L
d
cos 
2
Observando a figura acima e sabendo que a distancia do
ponto P é muito maior que L do dipolo temos:
S1  r 
L
2
cos  e S 2  r 
L
2
cos 
Podemos então reescrever a função
potencial como:
L
L





r  cos  
r  cos  


2
2

j  t 
 j   t  c 

c










I0
e
e

V 

L
L
4      j 
r  cos 
r  cos 

2
2








Tirando o mínimo temos:
L
L






r  cos  
r  cos  


2
2




j t 
 j  t  c 


c


 


L
L



 
e 
  r  cos    e 
  r  cos   

I0
2
2




V 


2
4      j
L


2


r   cos  


2





Como r>>L , podemos apenas considerar o termo
r2 no denominador, reduzindo a expressão em:


e

I0
V 

4      j 



L

r  cos  1

2
j  t 

c








L


  r  cos    e
2


2
r
L

r  cos  1

2
j  t 

c










L


  r  cos   
2







L
L






r  cos  1 
r  cos  1 


2
2


j  t 
j  t 



c


c


 

 
L
L




e 
  r  cos    e 
  r  cos   

I0
2
2




V 


2
4      j
r








Sabendo que:
e
e
L

r  cos  1

2
j  t 

c


 r
j  t 
 c



e







 L
j 
cos 
2
c

e
 r L
j  t   
cos 
  c 2c




e
 r   L
j   t    
cos 
c
2
c
 







O numerador da expressão entre parênteses do potencial ficará:
e
r

j  t 
c




e
 L
j 
cos 
 2c



L


 r  cos    e
2


r

 j  t 
c




e
 L
j 
cos 
 2c



L


  r  cos  
2


A expressão do potencial ficará:
 L


j 
cos  
L
r 

 2c
 
j  t  
  r  cos 
e
 c
I 0e
2


V 
4      j 


Utilizando a identidade de Euler:
e
j

e

r
 L

 j 
cos  
 2c

L

  r  cos 
2

2






 cos(  )  j  sen 
A expressão do potencial pode ser escrita como:
V 
r 

j  t  
c


 L cos 
 L cos   
L
 L cos 
 L cos   
L
 

 j sen
 j sen
   r  cos     cos
   r  cos   
  cos
4      j  r 
2c
2c
2
2c
2c
2
 
 
 

I 0e
2
  2   f e f 

2c

2   f
2c

c

2   c
2c



Utilizando a relação acima temos:
cos
 L cos 
 cos
2c
 L cos 

e
sen
 L cos 
 sen
2c
 L cos 

Como >>L então:
cos
 L cos 

1
s en
 L cos 


 L cos 

cos
 L cos 

1
s en
 L cos 


 L cos 

Utilizando as relações acima na formula de potencial teremos:
V 
V 
r 

j  t  
c


 L cos 
 L cos   
L
 L cos 
 L cos   
L
 

cos

j
sen

r

cos


cos

j
sen

r

cos









2 
4      j  r 
2c
2c
2
2c
2c
2
 
 
 

I 0e
r

j  t  
 c

 L cos   
L
 L cos   
L
 
1

j

r

cos


1

j

r

cos 

 
 
 
2 
2c
2
2c
2
4      j  r 
 
 
 
I 0e



r

j  t  
c


 L cos   
L
 L cos   
L
 

V 
1  j
   r  cos     1  j
   r  cos   
2 
4      j  r 
2c
2
2c
2
 
 
 

I 0e
Para simplificarmos a expressão acima chamaremos de:
a  1; b  j
 L cos 
; c  r; d 
2c
L
cos 
2
A expressão dentro dos colchetes se tornam:
 a  b   c  d    a  b   c  d  
ac  ad  bc  bd  ac  ad  bc  bd 
A expressão dentro
do colchetes pode
ser escrita como:
2 ad  2 bc

L
 L cos 
  2  cos   2  r  j
2
2c




V 
 r
j  t  
 c

L
 L cos 
2

cos


2

r

j

2 
2
2c
4      j  r 
I 0e



Colocando L.cosθ em evidência a expressão fica como:
r

j  t  
 c

 
V 
 L cos    1  r  j  
2
c 
4      j  r

I 0e
Passando 1/jωr2 para dentro do parênteses e multiplicando por c/c resulta
em:
V 
I 0  L cos   e
r 

j  t  
c

4    c
 c
1 
 

 
2
r 
 j r
Temos agora então o potencial escalar V e o
potencial vetorial A em função de I.
V 
I 0  L cos   e
r 

j  t  
c

4    c
Az 
μLI 0 e
 c
1 
 

 
2
r 
 j r
 t  r/c 
4  π r
Agora temos que calcular os campos E e H.
As relações entre os potenciais escalares e vetoriais com
as equação de Maxell são:

E   j A   V
H 
1

 A
O Campo Elétrico em coordenadas polares é dado
por :
E  E r  a r  E  a  E   a
O divergente em coordenadas polares do potencial escalar é dado por:
V 
V
r
ar 
1 V
r 
a 
V
1
r sen   
a
O potencial vetor A em coordenadas polares é dado por:
A  A r a r  A a   A  a 
Desse modo
 as componentes do campo elétrico utilizando a
relação E   j  A   V
ficam:
E r   j  Ar 
V
r
E    j  A 
E    j  A 
1
V
r sen   
a
1 V
r 
E r   j  Ar 
V
r
E    j  A 
E    j  A 
1
V
r sen   
1 V
r 
a
Na expressão do potencial escalar, é visto
que este não tem dependência de Φ, logo
δV/δΦ=0, sendo AΦ, também igual a 0
logo EΦ=0.
Tendo o vetor A em coordenadas polares sendo:
A  A r a r  A a   A  a 
È sabido que A só tem componente em Z logo AΦ=0 e as outras
componente são dadas por:
A r  A z cos 
Az

Ar
A
A   A z sen 
Az

E r   j  Ar 
Substituindo:
V
r
A r  A z cos 
E    j  A 
nas expressões acima temos:
E    j  A z sen  
r 
A   A z sen 
e
E r   j  A z cos  
1 V
V
r
1 V
r 
Expressões dos campos E no dipolo curto
Er 
E 
I 0  L cos   e
r 

j  t  
c

2  
I 0  L sen   e
4  
r 

j  t  
c

 1
1 

  2 
3 
 j r  
  cr
 j
1
1


  2
2
3
c
r
cr
j

r





Analisando o campo magnético temos:
Rotacional do potencial A em coordenadas esféricas
  A  ar
 
A  sen     A     a  1   1   A r   r  A    a  1    r  A     A r 
 
r  sen    
 
r  sen   

r  
 

1
Multiplicando “ar” por “r” em cima e em
baixo e colocando alguns termos em
evidência nos outros vetores temos:
  A  ar
 
 A r

 r  A   
1

1  
A r 











r

A
sen



a


r

sen


A

a

r

A





 


2



r  sen    

r

sen





r









1
0
  A  ar
 
r  A  sen     r  A     a  1    A r   r  sen   A    a  1    r  A     A r 
 
r  sen    

r  sen    

r  
 


1
2
Sendo AΦ=0 o primeiro e quarto temos são 0.
  A  ar
  r  A   
 A r
1






a


2


r  sen  

r

sen


 
1
É sabido que:
A r  A z cos 

1  
A 
  a   
r  A    r 
r  
 

;
A   A z sen 
Conseqüentemente Ar e AΘ não dependem de Φ, logo
o 1º e 3º termo também são zero, logo a equação se
torna:
  A  a
1  
A 
r  A    r 

r  
 
  A  a
1  
A 
r  A    r 

r  
 
Tendo que:
H 
1

A 
A 
 
r  A    r  a 

  r  
 
1
Fazendo as operações e as devidas simplificações temos que o módulo de H é:
H 
I 0  L sen   e
4
r

j  t  
c

1 
 j
 cr  r 2 


Para o campo distante, no caso do campo Elétrico
as componentes 1/r2 e 1/r3 se tornam desprezíveis,
e no caso campo Magnético a componente 1/r2
também se torna desprezível, restando então:
E 
I 0  L sen   e
r

j  t  
c

4
 j 
 c2r 


H 
I 0  L sen   e
r

j  t  
c

4
 j 
 cr 


Desse modo para o campo distante teremos:
E 
j    I 0  L sen   e
4 c r
2
r 

j  t  
c

H 
j    I 0  L sen   e
4cr
r

j  t  
c

A impedância do espaço livre é dado pela relação:
j    I 0  L sen   e
E
4  c r
2

H
r 

j  t  
c

j    I 0  L sen   e
r 

j  t  
c


4 cr
E
H

1
 c

E
H



 377  ou 120  
O vetor de Poyinting médio é dado por:
P
1

Re E  H
2


1
Pr 
2

Re E  .H 


Na equação anterior do campo distante temos:
E



H
Pr 
1
2
PR 

Re E  .H 
1
2
2
H 






E  H 


 Pr  Re  H  

2


1
PR 
1
2



Desse modo:






2
  I 0  L sen   e
2

.H 

2
2
4  c r
2
2
2
2
r 

2  j  t  
c

PR 
1

2


2
  I 0  L sen   e
2

2
4  c r
2
PR 
Temos:
2
2
2

32
Se a pontência W é: W 
W 
1
W 
32
2
 PR  ds 
2

2

 H 
2

1
2



 r  sen  .d  .d  
2
2
2
   I0  L 8  



2


3
2

c
2
2
Chamando:     e
r 

 j  t  
c

2 
   I0  L
3


sen
  d  d 
2


0
0


32
1
2
   I 0  L sen

2
2

 r
2
1
r 

2  j  t  
c

2
2
W 
2
   I0  L


12  
2
2
W 
2
   I0  L


12  
É sabido que a potência é dada por:
2
W I
2
R
Sendo “I” igual a corrente eficaz
Se a potência W é a potencia média gerada através de uma
esfera que envolve o dipolo, e se as ´perdas são nulas
,então, R é a Resistência de Radiação, logo:
2
2
2
 I02 
   I0  L
R 


 2

12  


  L

R 

6
2
2
2

2
  L
  c 

R 

6
  L

R 

6
2
2
2
4
 2 f 
2

 L
   f 

R 

6


4 L
2


2
 6
4 L
2
120  

 6
R 
2
Se:



L
2

6
R 
 120   
2
R 
2
2 L 
80      R
