Teia do Saber
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Teia
do
Saber
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Conceitos Gerenciais
- Nome:
Moacir de Sousa Prado
-Formação:
Engenheiro formado em 1969 (35 anos)
Área: Aeronáutica - Aeronaves
-Experiência:
Mais de 30 anos com alta tecnologia (CTA/EMBRAER)
Mais de 25 anos no ensino
A partir de 1997 dedicação tempo integral na UNIVAP
Aumento da preocupação pedagógica
Hoje estou virando pedagogo
-Função:
Coordenador do Curso de Engenharia de Computação
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Maior problema que estou sentindo no meu trabalho:
- Mudar o foco do “ensinar” para o “aprender”
• Ensinar é importante (aula estruturada, agradável, ...);
• Aprender é mais importante.
- Como estou agindo:
• Mudando os objetivos dos planos de ensino;
• Chamando atenção para a interdisciplinaridade;
• Aquilo que está escrito deve ser aplicado.
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Ensino
- Meu ponto de vista, como cidadão brasileiro, para o ensino fundamental:
• 80% dos recursos devem estar centrados no aprendizado da linguagem e da
matemática
• 20% dos recursos devem estar centrados em outras áreas:
- estudos sociais
- história e geografia
- etc.
- No ensino médio, estes percentuais devem variar um pouco
• entre 60% e 70% para matemática e linguagens
• entre 30% e 40% para outras áreas
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No final da palestra, ou de nossa conversa, espera-se que os ouvintes:
1
Sejam capazes de aproveitar a experiência pedagógica de um colega;
2
Entendam como ele vê o ensino de matemática e, especificamente, sistemas de
equações lineares para modelamento de sistemas;
3
Rastreiem a evolução da disciplina matemática, desde o surgimento do conceito
de número, até o conceito de equações;
4
Entendam a importância do conceito “número abstrato”, da descoberta do “zero” e
dos sistemas de numeração;
5
Visualizem as extensões do conceito de número;
6
Visualizem, numa metáfora, o conceito de equação e sistema de equações;
7
Entendam que a partir do mundo físico se criou um “mundo” do simbólico;
8
Entendam a importância de uma notação precisa e eficiente;
9
Valorizem a notação matricial para sistemas de equações lineares;
10
Tenham conhecimento de
lineares.
algumas aplicações de
sistemas de
equações
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Nossa Conversa
- O assunto desta “palestra” é matemática:
Modelamento de problemas utilizando sistemas de equações lineares.
- Constata-se que 75% ou mais de todos os modelos matemáticos caem em sistemas de
equações lineares;
- Modelo é a descrição simplificada de alguma coisa, sendo composto de símbolos
organizados de acordo com alguma convenção e cuja finalidade é permitir o raciocínio sobre
a entidade modelada.
- O modelo permite:
• visualizar o sistema, como ele é ou como ele será;
• especificar sua estrutura e/ou seu comportamento;
• guiar a “construção” do sistema;
• documentar decisões tomadas.
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Nossa conversa
- Os benefícios da utilização de um modelo aumentam com o aumento da complexidade da
entidade modelada;
- Os modelos delimitam o que se está estudando e permite focalizar pontos específicos;
- Os modelos ampliam a inteligência humana;
- Princípios básicos:
• A escolha de um modelo tem forte influência na forma de atacar um problema e na
definição de sua solução;
• Os modelos podem utilizar diversos níveis de precisão;
• Os melhores modelos estão relacionados com a realidade;
 A simplificação de um modelo não deve esconder detalhes importantes;
 O modelo é diferente do mundo real (é abstração).
• Um modelo único pode não ser suficiente.
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Origem da Matemática
- Primórdios
Desde o aparecimento do homem na Terra, ele tem recorrido à matemática, contando,
medindo e calculando, mesmo no período em que seu espírito não tinha conhecimento
de si mesmo e quando sobre tais assuntos não existiam conceitos, convenções e
notações.
- Estava surgindo o raciocínio consciente.
- Surgiu a necessidade de manusear “grandes” quantidades de objetos semelhantes.
A conseqüência foi o surgimento dos primeiros números visíveis. Este período
constituiu a “Primeira Ordem” para Alvin Toffler.
• O homem passou de coletor para criador (gado, ovelhas, ..), para plantador,
fixando-se em um lugar, perdendo a característica nômade.
• Este número “visível” não é ainda o “número conceitual”.
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Origem da Matemática
- Devido à quantidade crescente de objetos manuseados, surgiu a necessidade de contar.
Um conjunto auxiliar foi utilizado: dedos, pedrinhas, nós em cordas, etc.
- O número conceitual, um dos maiores feitos de humanidade, estava surgindo.
- Os dedos foram instrumentos maravilhosos para contar pois tinham grande capacidade,
permitia ordenação, estava disponível dia e noite e em toda parte. Foi o primeiro medidor.
Ele relacionou dois conjuntos que nada tinham em comum.
- Os números constituem o elo espiritual entre dois conjuntos.
- O “número concreto” perde seu significado físico, sendo “desligado” dos objetos (ovelhas,
ovos ou garrafas). Ele inicia seu domínio absoluto de entidade abstrata.
- Iniciam-se as operações de contagem, soma (união de conjuntos), etc.
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Origem da Matemática
- Ocorre uma estruturação dos números. O princípio ordenador/estruturador que predominou
foi o sistema de “base” 10.
- A linguagem falada ou natural não tem a precisão da linguagem matemática escrita.
- A linguagem matemática escrita cria ordem, tem clareza, pode ser revisada posteriormente
e é durável.
- Vários sistemas de numeração e várias representações foram utilizados. Exemplo:
um
:
dois :
I
II
...
cinco :
IIII
- A simbologia da numeração romana (I, V, VII, IX, ...) resolveu parte do problema de modo
um pouco mais brilhante. No entanto, era um sistema tosco, pesado, sem forma e sem
elegância.
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Origem da Matemática
- Uma das maiores descobertas da humanidade foi o ZERO que representa o NADA, a
AUSÊNCIA. É uma entidade abstrata.
-Hoje ainda se utiliza os seguintes sistemas de numeração:
• decimal
• duodecimal
• binário
• octal
- O sistema binário tem simplicidade máxima. Utiliza apenas dois símbolos: 0 e 1.
- A evolução levou ao entendimento conceitual do número puro (sem peso material) e da
numeração falada e escrita.
- Neste ponto iniciou-se a tarefa do matemático.
Cabe realçar que a linguagem matemática é mais simples, mais clara e mais
compreensível do que qualquer outra linguagem de comunicação.
É muito mais eficaz e eficiente do que a linguagem natural.
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Extensão do conceito de número
- Números naturais: 1, 2, 3, ...
- Números inteiros: 0, 1, 2, 3, ...
- Números negativos: ...-5, -4, -3, -2, -1, ...
- Números racionais: representados por uma relação de números : a/b
- Números irracionais: ,
, ...
2
1
Vol=1
1
1
para se obter Vol=2
2
2
- Números complexos: a + bi
- Operadores relacionais: >, <, , , 
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Sistema de Equações
- Uma equação modela uma balança antiga de feira
• Considere que vamos “pesar” cebolas (determinar a massa)
250
250
5C + 1B = 500gr + 1B
Observe que estamos comparando 2 coisas diferentes:
C = Cebolas e pesos de 500 gramas (massa conhecida)
Tirando-se as bacias de cada lado da equação, o equilíbrio não é modificado
5C = 500
Considerando-se as cebolas com tamanhos iguais, chega-se à conclusão de que cada
uma tem massa de 100gr.
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Sistema de Equações
- Duas equações
• Na mesma balança agora colocam-se cebolas e pimentões
50
200
250
4C + 3P = 500
250
100
50
3C + 2P = 400
Portanto
(representação algébrica)
(Representação Matricial)
4C + 3P = 550
4
3
3C + 2P = 400
3
2
C
*
P
=
(Representação Matricial Condensada)
550
4
3
550
400
3
2
400
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Resolvendo
4
3
550
3
2
400
1
¾
0
1
L1 / 4
1
¾ 550/4
3
2
400
1
L2-3 * L1
L1 – ¾ * L2
554/4
50
0
¾
550/4
-1/4 -50/4 L2/(-1/4)
1
0
100
0
1
50
Voltando à forma matricial normal (ou não condensada):
1
0
0
1
C
x
P
100
=
50
Retornando à forma algébrica
C = 100
P = 50
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Desconectando-se do mundo físico e ficando no mundo simbólico
- No mundo simbólico, geralmente adotam-se as convenções:
• Primeiras letras do alfabeto, representam dados do problema;
• Últimas letras do alfabeto, representam grandezas desconhecidas
- Uma equação geral
ax + b = c
- Duas equações já com dados do problema
x + y = 62
x–y=2
O processo de solução desta equação é simples, despretensioso embora
elegante, sendo
freqüentemente utilizado. Encontra-se o valor de x numa equação e
substitui-se na outra:
x=2+y
Logo
(2 + y) = 62
2 + 2y = 62
2y = 62 -2
y = 30
x = 32
Este processo de solução se adapta a um problema em particular.
- Existem muitos métodos de solução, por exemplo, regra de Cramer.
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- Por que tanto formalismo na matemática?
- Uma notação precisa e eficiente facilita os procedimentos matemáticos;
- Utilização de símbolos
Estudar fórmulas é como escovar os dentes: executado todas as manhãs e todas as
noites. No dentista o paciente descobre de maneira mais ou menos agradável a
finalidade dessa obrigação cansativa e monótona.
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Modelamento - Matrizes
- Muitos sistemas físicos são freqüentemente modelados por sistemas de equações
algébricas lineares. A tarefa mais comum é achar soluções para estas equações;
- A notação matricial
• Matriz m x m
• Matriz linha (vetor)
• Matriz coluna (vetor)
- O determinante de uma matriz;
- A regra de Cramer (sistemas pequenos n<4);
- Matriz transposta e matriz unitária;
- Operações com matrizes (soma, subtração e multiplicação);
- Não se faz divisão (multiplica-se pela inversa)
- Características e casos específicos:
• Matriz singular
• Matriz diagonal
• Matriz hilbertianas
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- Num sistema de equações, quando o termo independente vale zero, tem-se um sistema
homogêneo. Uma das soluções é chamada de trivial (tudo zero). Só existe outra solução se
det A = 0.
- A solução de sistema homogêneos leva ao trabalho em matrizes do tipo [ A - λI ]. Isto
provoca o estudo de valores e vetores próprios.
- Exemplos de sistemas:
x1 + 2x2 = 5
2x1 + 3x2 = 8
x1 – x2 + x3 = 2
2x1 + x2 – x3 = 4
Sistema 2x2. Uma solução é o par ordenado (1,2)
Sistema 2x3. Tem muitas soluções. Uma
solução é a tripla (2,0,0).
x1 + x2 = 2
Sistema 3x2. Não tem solução.
x1 – x2 = 1
Existe incompatibilidade.
x1
=4
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Modelamento
Engenharia elétrica
Voltagem nos nós de um circuito elétrico (resistivo)
B
3Ω
127 Volts
3
3Ω
2Ω
3Ω
1Ω
A
0 Volts 1Ω
1Ω
4
2Ω
1
O engenheiro eletrônico faz um “abracadabra” e obtém o modelo matemático (sistema de
Equações lineares)
-6
2
1
1
V1
3
-4
1
0
3
2
-13
6
V3
-254
1
0
2
-3
V4
0
x
V2
0
=
0
V1 = 25,80 Volts
V2 = 31,75 Volts
Da análise dos resultados, sabe-se que os
V3 = 49,61 Volts
resultados devem estar entre 0 Volts e 127 Volts.
V4 = 41,67 Volts
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Modelamento
Engenharia química
Equilibrar uma equação química
KMnO + H2SO4 + NaNO2  K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O




x1
x2
x3
x4


x5
x6

x7
O químico faz “abracadabra” e
1
0
0
-2
0
0
x1
0
1
0
0
0
-1
0
x2
0
4
4
2
-4
-4
-3
x3
1
0
2
0
0
0
0
x4 =
2
0
1
0
-1
-1
0
x5
0
0
0
1
0
0
-1
x6
0
x
Os resultados seriam:
xi = [ 0,6667 1,000 1,6667 -0,3333
0,6667
1,6667
1]
T
Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3
xi = [ 2 3 5 1 2 9 3 ]
T
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Modelamento
Pesquisa Operacional
Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de ruas de mão única
se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o número médio de carros que
passam por hora. Ache a quantidade de veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar
estes pontos na figura)
450
610
310
x1
Representação algébrica:
640
x2 + 520 = x3 + 480
x4
520
x3 + 390 = x4 + 600
x4 + 640 = x1 + 310
x2
600
x3
480
x1 + 450 = x2 + 610
390
Representação matricial:
1
-1
0
0
x1
160
0
1
-1
0
x2
-40
0
0
1
-1
xx
3
= 210
-1 0
0
1
x4
-330
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Modelamento
Tem-se ainda uma representação condensada:
1
-1
0
0
160
0
1
-1
0
-40
0
0
1
-1
210
-1
0
0
1
-330
Neste sistema de equações, uma equação não é independente.
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Reorganizando as equações tem-se:
1
0
0
-1
330
1
0
0
-1
330
1
0
0
-1
330
0
0
1
-1
210
0
1
-1
0
-40
0
1
-1
0
-40
0
1
-1
0
-40
0
0
1
-1
210
0
0
1
-1
210
1
-1
0
0
160
1
-1
0
0
160
0
-1
1
-170
1
0
0
-1
330
1
0
0
-1
0
1
-1
0
-40
0
1
-1
0
-40
0
0
1
-1
210
0
0
1
-1
210
0
0
-1
1
-210
0
0
0
0
0
L4+L2
L4+L3
L4-L1
0
330
Sumiram
todas as
variáveis
As equações 3 e 4 não são independentes.
O sistema tem muitas soluções.
O diagrama de fluxo de carros não contém informações suficientes para se achar uma
solução. Se souber que x4 = 200, tem-se:
x1 = 530
x2 = 370
x3 = 410
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Modelamento
Lei de Hooke
O alongamento de uma mola é proporcional à força aplicada à mesma. Mediu-se:
alongamento (cm)
força (N)
10
13
18
22
28
36
(y)
(x)
Para se determinar a curva que se ajusta a estes pontos, passa-se por um sistema de
equações lineares com a forma (no caso acima vamos considerar reta):
N
Σx
Σx
Σx2
x
a
Σx
b
= Σxy
Onde N: número de pontos
Σx
: soma dos valores
Σx2
: soma dos quadrados dos valores
Σxy
: soma do produto x vezes y
a,b
: coeficientes da equação da reta y = a+bx
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Modelamento
Ajuste de curvas polinomiais de qualquer grau:
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Sempre se chega a um sistema de equações:
N
Σx
Σx2
Σx
Σx2
Σx3
Σx2
Σx3
Σx4
....
...
...
Σxn
Σx n+1
Σxn
Σy
...
Σx n+1
Σxy
...
Σx n+2
Σx2y
...
...
Σx 2n
Σxny
...
Σx n+2 ...
...
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Primeira competência para ensinar:
I – ORGANIZAR E DIRIGIR SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
- Conhecer o conteúdo e traduzi-lo em objetivos de aprendizagem;
- Partir das representações dos alunos;
- Considerar erros e obstáculos para o aprendizado;
- Construir e planejar dispositivos e seqüências didáticas;
- Envolver os alunos em atividades de pesquisa e em projetos.
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Segunda competência para ensinar:
II – ADMINISTRAR A PROGRESSÃO DAS APRENDIZAGENS
- Conceber e administrar situações-problemas ajustadas ao nível e às possibilidades dos
alunos;
- Adquirir uma visão longitudinal dos objetivos do ensino;
- Estabelecer laços com teorias subjacentes às atividades de aprendizagem, utilizando uma
abordagem formativa;
- Fazer balanços periódicos de competências e tomar decisões de progressão.
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Terceira competência para ensinar:
III – CONCEBER E FAZER EVOLUIR OS DISPOSITIVOS DE DIFERENCIAÇÃO
- Administrar a heterogeneidade no âmbito de uma turma
• A situação padrão não satisfaz a todos, pois os alunos não têm:
 O mesmo nível de desenvolvimento
 A mesma base anterior
 Os mesmos interesses
 Os mesmos recursos
• Ensino considerando o grupo como uma única entidade é ineficaz;
• Ensino individual é impraticável;
• Reprovação é fator de homogeneização (mas...);
• Enfrentar a heterogeneidade com grupos de trabalho;
• Utilizar tarefas auto-corretivas.
-Abrir e ampliar a gestão da classe
• As restrições de tempo não permitem milagres;
• Riscos: desorganização e desvios.
- Apoio integrado e cooperação entre alunos.
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Quarta competência para ensinar:
IV – ENVOLVER OS ALUNOS EM SUAS APRENDIZAGENS E EM SEU TRABALHO
- Suscitar o desejo de aprender e a capacidade de auto-avaliação
• criar e intensificar o desejo de aprender;
• favorecer ou reforçar esta decisão.
- Atividades opcionais de formação;
- Definição de um projeto pessoal.
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Quinta competência para ensinar:
V – TRABALHA EM EQUIPE
- Elaborar um projeto em equipe.
- Cuidado com pseudo-equipe!
- Só trabalhar em equipe quando for mais eficaz;
- Administrar crises ou conflitos interpessoais.
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