Métodos Numéricos para EDO’s
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Esta parte compreende métodos que aproximam uma
equação diferencial por uma equação de diferenças.
– Uma equação de diferenças de ordem n é uma sequência de
equações da forma
gk(yk+n, yk+n-1, … yk) = 0
yi = i
k= 0, 1, 2, …
(9)
i = 0, 1, 2, …, n-1
– Os gksão funções de n+1 variáveis e os valores i, i = 0(1)n-1,
são específicos. Uma solução de tal equação é uma sequência
{y0, y1, y2, y3, …, yn-1, yn} que satisfaz a (9).
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Note que determinar numericamente uma
solução de uma equação diferencial é encontrar
os valores y1, y2, …, yn através de uma
aproximação da equação de diferenças.
– Essa aproximação introduz um erro de truncamento
e um erro de arredondamento
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Métodos Numéricos para EDO’s
• Os métodos de passos simples necessitam
apenas dos resultados de yk , do passo
anterior, para determinar a aproximação de yk+1.
• Os métodos de passos múltiplos servem para
determinar a aproximação yk+1 a qual depende dos
valores de yk, yk-1 . . .
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Métodos de Euler
• O método de Euler é um método mais simples
que oferece solução para EDOs com condições
iniciais.
• A simplicidade do método serve ilustrar
técnicas usadas em outros métodos.
• Ele consiste em aproximar a solução y ( x ), no
sentido de uma linearização, por meio de suas
tangentes (vide próximo slide).
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Métodos de Euler
• Vamos resolver uma EDO de primeira ordem da forma y’(x) = f(x,y)
sujeita à condição inicial y(x0) = y0 .
• Suponha que y = F(x) e que a solução analítica seja a curva ilustrada
abaixo.
y = F(x)
y2
y1
y0
x0
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x1
x2
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Métodos de Euler
• Para fazer uma estimativa de y1, vamos considerar que:
(dy/dx)|(x0, y0) = f(x0,y0)
• Disso resulta:
(y - y0)/(x - x0) = f(x0,y0)
y = F(x)
y2
y1
y0
x0
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x1
x2
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Métodos de Euler
• Considerando que se h = x - x
1
0
tender a zero, teremos que a ordenada
do ponto Q, y tende a y1 e daí:
y = y0 + hf(x0,y0) ou
y1  y0 + hf(x0,y0)
Q = (x1,y)
y
P1 = (x1,y1)
y1
yk+1 = yk + hf(xk,yk)
y0
x0
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Generalizando, obtemos
a seguinte equação de
diferenças:
x1
que é a expressão do
Método de Euler.
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Métodos de Euler
(2)
• Outra interpretação do método de Euler
• Considere o problema
 dy
 f (x , y )

 dx
y ( x0)  y 0

• i.e., são dados um ponto de partida, (x0,y0), e uma
direção a ser tomada, f (x, y ).
• Desejamos determinar y (z ).
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Métodos de Euler
Considere a Figura 1. A interpretação
geométrica da figura nos permite escrever
a equação:
F ’(x 0 ) = y’ (x 0) = f (x 0 , y 0)
Fazendo
y(x)
y0
Obteremos y1 = y0 + h f (x 0 , y 0)


x
h
x0
z = x1
Interpretação geométrica do Método de Euler
ou
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y
y1
x1 – x0 = h
F(x 1)  F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 )
(2)
Figura 1
(Taylor).
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Métodos de Euler
F(x 1)  F(x 0) + F ’(x 0) (x1 – x0 )
(Taylor).
(2)
y
y1
y(x)
Podemos dizer, portanto, que:
y1  F(x 1) = F( z )
Note que estamos substituindo a função
desconhecida y( x ) por, simplesmente uma
reta em todo intervalo [x0; z] e calculando
a imagem de z sobre ela o que pode ser uma
aproximação ruim para y( z ).
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y0


x
h
x0
z = x1
Interpretação geométrica do Método de Euler
Figura 1
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Métodos de Euler
• Todavia, note que podemos melhorar esta
aproximação. Para isso, devemos subdividir
o intervalo [x0; z] em subintervalos de
amplitude
constante,
genericamente
chamada de h.
• Como sabemos calcular a direção da
função incógnita y(x)
em cada ponto,
bastar substituir essa função por um
segmento de reta, em cada um destes
subintervalos.
• Note que estes segmentos terão a
direção que ela (função) tem no início de
cada dos subintervalos, (veja Figura 2).
• Assim, obtemos:
yi + 1 = yi + hf(xi, yi), i = 0, 1, 2, ...
(2)
y
y(x)
y2
y1
y0
h
x0
x
h
x1
z = x2
Método de Euler considerando dois
subintervalos
Figura 2
que vem a ser o método de Euler.
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Métodos de Euler
E x e m p lo :
d iferencial
Co nsidere o pro blem a de valo r inicial
(2)
y ( 1 ) = 1
da equação
y’ = f ( x, y ) = 2x + 3. D ivid indo o intervalo [ 1; 2 ] em 1, 2 e 4 partes sucessivam ente
e ap licando o méto do de E uler, determ ine o valo r apro xim ado de
dada.
y ( 2 ) para a equação
S o lu çã o :
T emo s y’ = f ( x, y ) = 2x + 3, co m y (1) = 1 ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1.
C o m u ma d iv isão do intervalo , isto é, h = 1, o btemo s:
y 1 = y 0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 1 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 5 = 6.
C o m duas d ivisõ es do intervalo , isto é, h = 0,5 , tem os
y 1 = y 0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,5 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 2,5 = 3,5
y 2 = y 1 + h f (x 1 , y 1 ) = 3,5 + 0,5 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,5 + 3,0 = 6,5
F inalm ente, co nsid erando quatro divisõ es, isto é, h = 0,25, tem os
y 1 = y 0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,25 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 1,25 = 2,25
y 2 = y 1 + h f (x 1 , y 1 ) = 2,25 + 0,25 [ 2 x 1,25 + 3 ] = 2,25 + 1,375 = 3,625
y 3 = y 2 + h f (x 2 , y 2 ) = 3,625 + 0,25 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,625+ 1,5 = 5,125
y 4 = y 3 + h f (x 3 , y 3 ) = 5,125 + 0,25 [ 2 x 1,75 + 3 ] = 5,125 + 1,625 = 6,75
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Método Modificado de Euler
• Um problema que ocorre no método “simples” de Euler é
que ele pressupõe que a função que está sendo aproximada
mantém, em todo intervalo, a direção que ela tem no
extremo “de partida” dele.
•
• O método modificado de Euler irá considerar também uma
única direção para a função y ( x ), só que uma direção
média entre aquela do “início” do intervalo e uma estimativa
da direção no “final” dele.
•
• Para tanto, em primeiro lugar, usando o método “simples”
de Euler, fazemos uma previsão de yi + 1, chamada yi+1.
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Método Modificado de Euler
Dessa forma,
Previsão : yi + 1 = yi + hf (xi , yi ).
Com esta previsão, podemos obter o valor aproximado da
direção da curva y(x) no ponto (xi + 1, yi + 1) através de
f(xi + 1, y i + 1).
Determina-se a chamada correção,
Correção :
yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)] .
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Método Modificado de Euler
Correção :
yi + 1 = yi + h/2[f(xi, yi) + f(xi + 1, yi + 1)]
y(x)
y
( x1 ; y1 )
Direção média
Esta expressão é conhecida como o
método modificado de Euler.
( x1 ; y1 )
x
h
Uma interpretação geométrica deste
método pode ser vista na Figura 3.
x0
x1
Interpretação geométrica do Método
modificado de Euler
Figura 3
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Método Modificado de Euler
Exemplo - Encontrar a solução da equação diferencial
ordinária y’ = f (x, y ) = 2x + 3 com a condição de
valor inicial y ( 1) = 1.
Dividindo o intervalo [1; 2 ] em apenas uma parte, i.e,
fazendo h =1 e, aplicando o método de modificado de
Euler, determine o valor aproximado de y(2) para a
equação dada.
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Método Modificado de Euler
Solução
Sabendo que a cada aproximação é necessário fazer um
processo de previsão – correção e, considerando h =1,
temos yi + 1
Previsão
yi+1 = yi + hf(xi , yi )
no caso y1 = y0 + hf(x0, y0)
y1 = 1 + 1f(1, 1) = 1 + 1 (2x1 + 3) = 6
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Método Modificado de Euler
Solução
Correção
yi+1 = yi + h/2[f(xi , yi ) + f(xi+1 , yi+1)]
y1 = 1 + ½[f(1, 1) + f(2, 6)]
y1 = 1 + 1/2[5 + 2x2+3] = 1 + 6 = 7.
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Referências
Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico –
Aspectos Teóricos e Computacionais,
Pearson/Markron Books, 2a. Edição, 1998.
Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico
Computacional, Ed. Atlas, 1987.
Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F.,
Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.
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