Modelos no Domínio do Tempo
de Sistemas LTI Contínuos
PRINCÍPIOS DE CONTROLE RCBETINI
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Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas
LTI Contínuos
• Existem basicamente 3 técnicas de modelagem para sistemas de
tempo contínuo:
– Equações diferenciais como uma representação matemática dos
relacionamentos de entrada e saída.
– Diagrama de blocos como uma representação de relacionamento
entre entrada, saída e estados internos.
– Modelos de estados que são o equivalente dos diagramas de
bloco.
• Iremos estudar as equações diferenciais.
• Comum as 3 técnicas de modelagem é o uso de sinais dependentes
do tempo, nos quais a derivada e a integral com relação ao tempo
possui um papel importante.
• Portanto estes tipos de modelo de sistemas podem ser classificados
como “modelos no domínio do tempo”.
• Seus componentes são “modelos no domínio da frequência”.
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Equações Diferenciais
• Nosso objetivo é achar um modelo de sistema sem
detalhes de sua implementação.
• Nós usaremos um circuito elétrico e iremos supor que
este é um sistema LTI composto por resistências
ôhmicas, indutores e capacitores ideais.
• Desta forma poderemos considerar o uso de equações
diferenciais com coeficientes constantes na qual
somente os sinais de entrada e saída e seus derivados
ocorrem.
• Este tipo de análise simplifica sistemas mecânicos,
pneumáticos, hidráulicos e térmicos a equações
diferenciais.
• O mesmo se aplica a outros tipos de sistemas: química,
biologia, economia, etc.
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Equações Lineares com Coeficientes Constantes
• Equações diferenciais estabelecem relações entre derivadas
de quantidades dependente com respeito a variáveis
independentes.
• Elas são chamadas equações diferenciais ordinárias se
as derivadas somente ocorrem com respeito a uma das
variáveis independentes (ex.: tempo)
• Equações diferenciais com derivadas com respeito a mais
que uma variável independente (ex.: tempo e 3 coordenadas
espaciais) são chamadas equações diferenciais parciais.
• Uma equação diferencial é linear se as derivadas
individuais são somente multiplicadas por fatores e
combinados por adição.
• Adicionalmente, se os fatores das derivadas não dependem
das variáveis independentes, o termo equação diferencial
com coeficientes constantes é usado.
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Para Modelar Sistemas Contínuos
• Somente precisamos de equações diferenciais
ordinárias com o tempo como a única variável
independente.
• Em tais equações os sinais de entrada e saída do
sistema devem ocorrer como variáveis dependentes.
• Sistemas Lineares Invariantes no Tempo podem ser
modelados por equações diferenciais com coeficientes
constantes.
• Exemplo de Equações Diferenciais Lineares
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Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• O maior índice N de um coeficientes diferentes de zero N determina o
que é chamado a ordem da equação diferencial.
• Para simplificar, vamos considerar M N (sistema realizável) e permitir
algum, mas não todos os coeficientes βk serem iguais a zero.
• Para uma dada função x(t) existem até N diferentes soluções y(t)
linearmente independentes a equação acima.
• Para uma solução particular, nós precisamos dar N condições.
• Para problemas de condição inicial, estas poderiam ser as N condições
inicias:
• A equação diferencial acima descreve um sistema contínuo no tempo,
sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída.
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Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• Se o sinal de entrada x(t) for representado por f(t) e
β por b então podemos escrever:
• Onde todos os coeficientes i e βi são constantes. Usando a notação
operacional D para representar d/dt nós podemos representar esta
equação como:
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Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
• Ou:
• Onde
os polinômios Q(D) e P(D) são:
• Teoricamente as potências n e m nas equações acima poderiam assumir
qualquer valor.
• Considerações práticas com relação a ruídos, por outro lado, requer que m
 n.
• Ruído é qualquer sinal indesejável originado da natureza ou pela ação do
homem, o qual interfere com o sinal desejado no sistema.
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Forma Geral de Equação Diferencial Linear
Ordinária com Coeficientes Constantes
•
•
•
•
•
•
Infelizmente, ruído é um sinal banda larga contendo componentes de
todas as frequências desde zero a infinito.
Por esta razão o ruído contém uma quantidade significante de
componentes variando rapidamente com derivadas que são
consequentemente muito grande.
Portanto qualquer sistema onde m > n irá amplificar os componentes
de alta frequência do ruído através de diferenciais.
E desta forma é possível que o ruído seja tão amplificado que ele
venha a sobrepujar o sinal de saída do sistema mesmo que o sinal de
ruído de entrada do sistema seja toleravelmente pequeno.
Portanto iremos considerar no máximo m = n para que o sistema seja
realizável.
Ou seja, para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que
o número de zeros seja igual ao número de pólos.
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Equações Diferenciais com Coeficientes
Constantes
•
•
•
•
•
•
•
A equação diferencial anterior descreve um sistema contínuo no tempo, se
x(t) é o sinal de entrada, e y(t) é o sinal de saída.
A equação também representa um sistema invariante no tempo, pois para
t’=t-ζ temos que x(t-ζ) leva a solução y(t-ζ).
Para mostrar a linearidade nós consideramos 2 sinais de entrada x1(t)
e x2(t) e as soluções correspondentes y1(t) e y2(t) .
Colocando as equações lineares
Dentro da equação diferencial anterior, verificamos que
É uma solução da equação diferencial, e portanto o sinal de saída do
sistema.
Concluímos que todo sistema que pode ser modelado usando
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é portanto
um sistema LTI.
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Equações Diferenciais com Coeficientes
Constantes
• Isto significa que nós achamos nosso primeiro método
para modelar tais sistemas na forma de equação
diferencial.
• Este método preenche nosso requerimento inicial:
– Modelagem de um sistema LTI independente de sua
realização.
– Representação dos relacionamentos de entradasaída, sem detalhes do comportamento interno do
sistema.
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Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
A aplicação da Lei da soma das tensões
de Kirchhoff permite:
Usando as Leis de corrente-tensão de cada elemento (indutor, capacitor e
resistor) nós podemos expressar esta equação como:
Diferenciando ambos os lados desta equação obtemos:
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Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
•
•
A equação diferencial anterior é o relacionamento de entrada-saída entre a
entrada f(t) e a saída y(t).
Prova ser conveniente usar uma notação compacta D para o operador
diferencial d/dt. Portanto:
• Com esta notação a equação achada anteriormente pode ser
expressa como:
O operador diferencial é o inverso do operador integral, podemos
portanto usar o operador 1/D para representar integração.
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Exemplo-2: Para o filtro RC da figura abaixo, determine a equação de
entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a tensão de saída y(t).
A substituição do resultado na equação anterior permite:
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Sinais de Entrada
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Tempo de Subida (Tr) e Tempo de
Assentamento ou Acomodação (Ts)
• Tempo de Subida é o tempo necessário para
que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu
valor final. É dado por Tr=2,2/a (2,31/a –
0,11/a)=2,2/a
• Tempo de assentamento é o tempo necessário
para que a resposta alcance uma faixa de
valores de 2% em torno do valor final e aí
permaneça. Fazendo c(t)=0,98 achamos Ts=4/a
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Tabela de Transformadas de Laplace
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Tabela de Transformadas de Laplace (continuação)
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