11. Sistemas Escalonados
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um
coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o
número de coeficientes nulos antes do primeiro
coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.
 a11 x1  a12 x 2  ....  a1 n x n  b1

a 22 x 2  ....  a 2 n x n  b 2


 ............................................

a nn x n  b n

O sistema é também chamado sistema triangular, pois a
matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de
triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos
coeficientes não nulos.
11. Sistemas Escalonados
Sistema triangular (escalonado) – forma matricial
Superior
Inferior
Podem ser solucionados com Resolução Retroativa
11. Sistemas Escalonados
S1 =
 3x  y  z  2

Resolva o sistema:  2 y  z   1

z5

Resolução:
Na 3ª equação: z = -5
Na 2ª equação: 2y – (-5) = -1
2y = -1 – 5
y = -3
Na 1ª equação: 3x – (-3) + (-5) = 2
3x = 2 – 3 + 5
3x = 4
x = 4/3
Logo, o conjunto solução será: (-5, -3, 4/3)
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4 x  y  5 z  3
Resolva o sistema: 
3y  2z  1

Resolução:
Primeiro perceba que este sistema tem mais variáveis que
equações. Perceba ainda que a variável z não aparece no
começo de nenhuma equação, ela será chamada de variável
livre.
Para resolvermos este sistema, primeiro vamos atribuir um
valor real arbitrário para a variável livre:
z = a, com a  .
Agora vamos calcular o valor de y na 2ª equação:
3y – 2a = 1
3y = 1 + 2a
y = (1 + 2a)/3
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4 x  y  5 z  3
Resolva o sistema: 
3y  2z  1

Agora que já conhecemos y e z, vamos calcular o valor de x:
 1  2a 
4x  
  5a  3
 3 
1  2a
4x  3 
 5a
3
12 x

9  1  2a  15 a
3
3
x
10  13 a
12
Logo a solução do sistema
 10  13 a 1  2a

,
, a  , com a  
será: 
12
3


Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse
sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.
11. Sistemas Escalonados
S1 =
4x  y  z  t  w  1

Resolva o sistema: 
z  t  2w  0

2w  4

Resolução:
Na 3ª equação: w = 2
Agora perceba que este sistema tem duas variáveis livres (não
aparecem no começo de nenhuma equação), vamos atribuir
valores para elas:
t = a e y = b, com a e b 
Na 2ª equação:
z a  22  0
z  a  4
Na 1ª equação:
4 x  b   a  4 )  a  2  1
4x  1 b a  4  a  2
x
1 b
4
11. Sistemas Escalonados
4 x  y  5 z  3
Resolva o sistema: 
3y  2z  1

Logo a solução do sistema será:
 1 b

,
b
,

a

4
,
a
,
2

 , com a e b  
4


Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse
sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.
Se desejarmos soluções particulares para esse sistema, basta
atribuir valores para a e b, por exemplo:
a 0 e b 3
a 1e b  0
  1,3 ,  4 , 0 , 2 )
 1


,
0
,

5
,
1
,
2


 4


12. Sistemas Equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo
conjunto solução.
 4x  y  2
S1  
3 x  2 y  7
 x y 3
S2  
2 x  y  4
verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e é único.
Logo, S1 e S2 são equivalentes, e escrevemos:
S1 ~ S2
Sendo dado um sistema, é possível realizar sobre ele uma
série de operações elementares sem alterar seu resultado, ou
seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, é que veremos a
seguir.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 1:
um sistema de equações não se altera, quando permutamos
as posições de duas equações quaisquer do sistema.
Exemplo:
 2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
 4 x  y  z  18

Sistema 1
 4 x  y  z  18

x  y  z  9
 2 x  3 y  2 z  20

Sistema 2
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2:
x=3, y=2 e z=4.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 2:
um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos
ambos os membros de qualquer uma das equações do
sistema, por um número real não nulo.
Exemplo:
 2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
 4 x  y  z  18

( 4 x  y  z  18 ) 2
 2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
 8 x  2 y  2 z  36

Sistema 3
Sistema 1
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3:
x=3, y=2 e z=4.
13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares
PROPRIEDADE 3:
um sistema de equações lineares não se altera, quando
substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da
adição membro a membro desta equação, com outra na qual
foi aplicada a transformação, ou seja, MULTIPLICAR UMA
EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA.
Exemplo:
 2 x  3 y  2 z  20

x  y  z  9
 4 x  y  z  18

Sistema 1
( 2 x  3 y  2 z  20 ) 2

 2 x  3 y  2 z  20

 5 x  7 y  5 z  49
 4 x  y  z  18

Sistema 3
x yz 9
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 4:
x=3, y=2 e z=4.
14. Escalonamento de um Sistema Linear
Podemos transformar um sistema escrito em sua forma normal
para um outro equivalente, na forma escalonada, esse
processo é chamado de ESCALONAMENTO DE UM
SISTEMA LINEAR.
1º passo: Escolhemos, para 1a equação, uma em que o
coeficiente da 1a incógnita seja não nulo. Se possível fazemos
a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1,
pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.
2° passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais
equações, usando as propriedades 1 e 2.
3º passo: Desprezamos a 1a equação e aplicamos os dois
primeiros passos com as equações restantes.
4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os
dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema
ficar escalonado.
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  2 z  9

Ex1) Resolva o sistema:  2 x  y  z  6
  2x  4 y  z  1

Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
 x  y  2 z  9

 2x  y  z  6
  2x  4 y  z  1

Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para
eliminá-la nas equações seguintes:
 x  y  2 z  9

 2x  y  z  6
  2x  4 y  z  1

2
2
 x  y  2 z  9

3 y  3 z   12

  6 y  5 z  19

14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  2 z  9

Ex1) Resolva o sistema:  2 x  y  z  6
  2x  4 y  z  1

Agora é só repetir o processo, só que usando a 2ª equação:
 x  y  2 z  9

3 y  3 z   12

  6 y  5 z  19

  x  y  2 z  9

3 y  3 z   12


 z  5

2
Finalmente, é só usar o processo da resolução retroativa e
encontrar a solução do sistema:
z 5
3 y  3  5   12
 x  1  2  5  9
3 y   12  15
 x   9  1  10
3y  3
y 1
x0
S 
0 ,1,5 )
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  3z  t  1

Ex2) Resolva o sistema:  3 x  3 y  z  2 t  0
 2 x  y  z  2t  4

Resolução:
Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação:
 x  y  3z  t  1

3 x  3 y  z  2t  0
 2 x  y  z  2t  4

Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para
eliminá-la nas equações seguintes:
 x  y  3z  t  1

3 x  3 y  z  2t  0
 2 x  y  z  2t  4

3
2
x  y  3z  t  1

10 z  t   3

  y  7 z  4t  2

14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  3z  t  1

Ex2) Resolva o sistema:  3 x  3 y  z  2 t  0
 2 x  y  z  2t  4

Agora vamos trocar as posições das equações 2 e 3:
x  y  3z  t  1

 y  7 z  4t  2


10 z  t   3

O sistema já está na forma escalonada. Perceba que ele
apresenta uma variável livre (o t não aparece no começo de
nenhuma equação) e portanto, ele é SPI:
t a
10 z  a   3
z
a 3
10
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  3z  t  1

sistema: 3 x  3 y  z  2 t  0
 2 x  y  z  2t  4

Ex2) Resolva o
x  y  3z  t  1

 y  7 z  4t  2


10 z  t   3

Já sabemos os valores de t e z:
t a
a 3
z
10
a 3
 y  7 
  4 a  2
 10 
 10 y  7 a  21  40 a
10

20
10
7a  21  40 a  20  10 y
 33 a  41
10
 y
  33 a  41 
a 3
x
  3
a 1
10


 10 
10 x  33 a  41  3a  9  10 a
10

10
10
10 x  10  33 a  41  3a  9  10 a
10 x  26 a  42
x
13 a  21
5
 2 )
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x yz 4

Ex3) Resolva o sistema:  3 x  2 y  z  0
5 x  5 y  z   4

Resolução:
 x yz 4

 3x  2 y  z  0
5 x  5 y  z   4

  x  y  2 z  9

5 y  2 z   12


0 y  0z  0

3
5
x  y  z  4

5 y  2 z   12

 10 y  4 z   24

2
A última equação indica que o
sistema é SPI, e pode ser
abandonada.
x  y  z  4

5 y  2 z   12

14. Escalonamento de um Sistema Linear
Ex3) Resolva o sistema:
 x yz 4

 3x  2 y  z  0
5 x  5 y  z   4

x  y  z  4

5 y  2 z   12

Atribuímos valores para a variável livre z:
z a
 2a  12 
x
a  4
5


5 y  2  a   12
y
2a  12
5 x  2a  12  5a
5
  8  3a 2a  12
S  
,
,a
5
 5

20
5
5
5 x  20  2 a  12  5a
x



8  3a
5
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  4 y  8

Ex4) Resolva o sistema:  3 x  y  15
10 x  12 y  7

Resolução:
 x  4 y  8

 3 x  y  15
10 x  12 y  7

 x  4 y  8

  13 y  39

0 y   69

3
 10
x  4 y   8

  13 y  39

  52 y  87
4
A última equação indica que o
sistema é SI.
S 
14. Escalonamento de um Sistema Linear
 x  y  2 z  9

Ex5) Resolva o sistema:  2 x  y  z  6
  2x  2 y  z  1

Resolução:
 x  y  2 z  9

 2x  y  z  6
  2x  2 y  z  1

2
2
 x  y  2 z   9

3 y  3 z   12


 4 y  5 z  19

4
3
E agora, como fazemos se queremos usar 3 para eliminar -4?
Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos
a soma das duas em separado.
12 y  12 z   48
 12 y  15 z  57
3z  9

  x y 2z 9

 3 y  3 z   12

3z  9

O resto é com você!
15. Discussão de um Sistema Linear
Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.
3 x  2 y  2

 mx  4 y  1
Observe que, além das incógnitas x e y, o sistema apresenta
uma variável m. Tal variável é chamada de "parâmetro do
sistema".
Discutir esse sistema em função do parâmetro m significa
classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real
assumido por m.
Para tanto, utilizaremos o que aprendemos com o Teorema de
Cramer:
SPI
se D  0  SPD
se D  0
ou
SI
Para dirimir essa última dúvida, usaremos o que aprendemos
com escalonamento de sistemas.
15. Discussão de um Sistema Linear
 3x  2 y  2
Ex1) Discutir o sistema: 
 mx  4 y  4
Resolução:
Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
3
2
m
4
0
O sistema é SPD.
0
O sistema é SPI ou SI.
12  2 m  0
12  2 m
m  6
Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
3
2
m
4
12  2 m  0
m  6
Como
fazer
para
saber se é SPI ou SI?
15. Discussão de um Sistema Linear
3 x  2 y  2
Ex1) Discutir o sistema: 
 mx  4 y  1
Agora que sabemos que se m = 6 o sistema é SPI ou SI,
substituiremos esse valor no sistema e em seguida faremos o
seu escalonamento.
3 x  2 y  2

6x  4 y  1
3 x  2 y  2

0 y  3

2
Resumindo temos:
m  6  SPD
m  6  SI
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  3 ay  0
Ex2) Discutir o sistema: 
 2 x  ay  4
Resolução:
I. Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
a
3a
2
a
 0 O sistema é SPD.
a  6a  0
2
a a  6 )  0
a  0 ou a  6
II. Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
a
3a
2
a
a  6a  0
2
a  0 ou a  6
0
O sistema é SPI ou SI.
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  3 ay  0
Ex2) Discutir o sistema: 
 2 x  ay  4
Vamos substituir a = 0:
0 x  0 y  0

2 x  0 y  4
Observando a 1ª equação concluímos que o
sistema é SPI.
Vamos substituir a = 6 e escalonar o sistema:
 6 x  18 y  0

 2x  6 y  4
x  3y  0

x  3y  2
1
x  3y  0

0y  2

Observando a 2ª equação concluímos que o
sistema é SI.
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  3 ay  0
Ex2) Discutir o sistema: 
 2 x  ay  4
Resumindo temos:
a  6 ou a  0  SPD
a  0  SPI
a  6  SI
15. Discussão de um Sistema Linear
 x y 2
Ex3) Discutir o sistema: 
 2 x  ay  b
Resolução:
I. Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
1
1
2
a
 0 O sistema é SPD.
a20
a  2
II. Sabemos que, se: D 
Resolvendo:
1
1
2
a
a20
a  2
0
O sistema é SPI ou SI.
15. Discussão de um Sistema Linear
 x y 2
Ex3) Discutir o sistema: 
 2 x  ay  b
Vamos substituir a = -2, e em seguida escalonar o sistema:
 x y 2

2 x  2 y  b
x  y  2

 0y  b  4
2
Como se pode observar, a questão agora depende do valor
de b, ou seja:
b40  b4
b4 0  b 4
SPI
Resumindo temos:
SI
a  2

SPD
a  2 e b  4

SPI
a  2 e b  4

SI
15. Discussão de um Sistema Linear
 x yz 0

Ex4) Discutir o sistema:  x  y  mz  2
 mx  2 y  z   1

1
Resolução:
I. Sabemos que, se: D  1
m
Resolvendo:
1
1
1
m  0 O sistema é SPD.
2
1
m m 0
2
m m  1)  0
m  0 ou m  1
1
II. Sabemos que, se: D  1
m
1
1
1
m  0 O sistema é SPI ou SI.
2
1
15. Discussão de um Sistema Linear
 x yz 0

Ex4) Discutir o sistema:  x  y  mz  2
 mx  2 y  z   1

Resolvendo:
m m 0
m  0 ou m  1
2
Vamos substituir m = 0, e em seguida escalonar o sistema:
 x yz 0

 x  y  0z  2
0 x  2 y  z  1

x  y  z  0

  2y  z  2

2 y  z  1

1
SI
x  y  z  0

2y  z  2


0z  1

1
15. Discussão de um Sistema Linear
 x yz 0

Ex4) Discutir o sistema:  x  y  mz  2
 mx  2 y  z   1

Resolvendo:
m m 0
m  0 ou m  1
2
Vamos substituir m = 1, e em seguida escalonar o sistema:
 x yz 0

 x yz 2
 x  2 y  z  1

x  y  z  0

  2 y  0z  2

y  0 z  1

1
SPI
 x  y  z  0

 2 y 0z  2


0z  0

2
15. Discussão de um Sistema Linear
 x yz 0

Ex4) Discutir o sistema:  x  y  mz  2
 mx  2 y  z   1

Resumindo temos:
m  0 ou m  1  SPD
m  1  SPI
m  0  SI
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  y  2 z  b

Ex5) Discutir o sistema:  2 ax  y  2 z  1
 2x  y  2z  3

a
Resolução:
I. Sabemos que, se: D  2 a
2
Resolvendo:
1
2
1
2  0 O sistema é SPD.
1
2
1
2
1
2  0 O sistema é SPI ou SI.
1
2
 4a  8  0
8  4a
a  2
a
II. Sabemos que, se: D  2 a
2
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  y  2 z  b

Ex5) Discutir o sistema:  2 ax  y  2 z  1
 2x  y  2z  3

Resolvendo:
 4a  8  0
a 2
Vamos substituir a = 2, e em seguida escalonar o sistema:
2 x  y  2 z  b  2  1

4x  y  2z  1
2x  y  2z  3

2 x  y  2 z  b

 3 y  2 z  1  2b


0 y  0z  3  b

Como se pode observar, a questão agora depende do valor
de b, ou seja:
3b  0  b  3
SPI
3b  0  b  3
SI
15. Discussão de um Sistema Linear
 ax  y  2 z  b

Ex5) Discutir o sistema:  2 ax  y  2 z  1
 2x  y  2z  3

Resumindo temos:
a 2

SPD
a2 e b3

SPI
a2 e b3

SI
15. Discussão de um Sistema Linear
Alguns sistemas lineares apresentam número de equações
diferente do número de incógnitas, nestes casos, não
poderemos usar o determinante dos coeficientes do
sistema, pois a matriz dos coeficientes não será quadrada e,
portanto, não existirá o determinante.
Então, vamos discutir o seguinte sistema em função do
parâmetro real m, por meio apenas do escalonamento.
 x  2y  z 1
Ex6) Discutir o sistema: 
 2 x  4 y  mz  1
Resolução:
 x  2y  z 1

 2 x  4 y  mz  1
x  2 y  z  1

2  m )z   1

2
Vamos analisar a última equação:
2  m  0  m  2
SI
2  m  0  m  2
SPI
15. Discussão de um Sistema Linear
 x  2y  z 1
Ex6) Discutir o sistema: 
 2 x  4 y  mz  1
É importante lembrar que esse sistema nunca será SPD, pois o
número de equações não é igual ao número de incógnitas, logo
ele não é um sistema normal.
Resumindo temos:
m   2  SI
m   2  SPI
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Como um sistema linear homogêneo é formada por equações
cujos termos independentes são todos nulos. Se o número de
equações for igual ao número de incógnitas, podemos escrever:
Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois
admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada solução trivial.
2 x  3 y  z  0
 x  4y  0

, etc .
 x  4y  z  0 , 
3 x  y  2 z  0  2 x  6 y  0

Observe que para um sistema linear homogêneo de n equações
com n incógnitas, teremos sempre:
Dx  Dy  Dz    0
Portanto, para discussão de um sistema linear homogêneo de n
equações e n incógnitas é suficiente apenas o cálculo do
determinante D dos coeficientes das incógnitas, isto é:
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
se D  0  SPD  apenas solução trivial ou IMPRÓPRIA
se D  0  SPI  outras soluções
além da trivial ou PRÓPRIAS
Observações Importantes:
1. Sistema Homogêneo NUNCA SERÁ IMPOSSÍVEL;
2. Se o número de equações for diferente do número de
incógnitas, o sistema será SPI.
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
 z  4 y  5z  0

Ex1) Discutir o sistema:  2 x  y  3 z  0
 3 x  ay  2 z  0

Resolução:
Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas,
podemos calcular D:
1
D  2
3
4
1
a
5
3
2

9
13
a  12
17
  153  13  a  12 )
  153  13 a  156
 3  13 a
Como o sistema é homogêneo, só há duas possibilidades:
se D  0  SPD
Resolvendo: 3  13 a  0

a 
3
13
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
 z  4 y  5z  0

Ex1) Discutir o sistema:  2 x  y  3 z  0
 3 x  ay  2 z  0

se D  0  SPI
Resolvendo: 3  13 a  0

3
a
13
Resumindo temos:
a
3
 SPD  Solução
13
a
3
13
 SPI  Outras
Trivial  0 , 0 , 0 )
Soluções
além da Trivial
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
 x  y  3z  0

Ex2) Classificar e resolver o sistema:  4 x  y  z  0
2 x  3 y  7 z  0

Resolução:
Podemos também classificar e resolver
escalonamento, é o que veremos a seguir:
 x  y  3z  0  4

 4x  y  z  0
2 x  3 y  7 z  0

2
SPI
por
meio
x  y  3z  0

  5 y  13 z  0

  5 y  13 z  0
 x  y  3z  0

  5 y  13 z  0

0z  0

1
do
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
 x  y  3z  0

Ex2) Classificar e resolver o sistema:  4 x  y  z  0
2 x  3 y  7 z  0

Agora vamos resolvê-lo:
x  y  3z  0

  5 y  13 z  0
z a
 5 y  13 a  0
x
13 a  5 y
y
13 a
5
  2a 13 a
S  
,
,a
5
 5



13 a
 3a  0
5
x  3a 
x
13 a
5
15 a  13 a
5
x
2a
5
16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão
Ex3) Determine a, de modo que o sistema admita soluções
próprias:
 x  y  az  0

 x  2y  z  0
 2 x  y  az  0

Resolução:
Soluções próprias, são as demais soluções, além da solução
trivial, ou seja, o sistema deve ser SPI:
se D  0  SPI  outras soluções
além da trivial ou PRÓPRIAS
Então:
1
D  1
2
1
2
1
a
1  0  6a  3  0
a
3  6a

a 
1
2