8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Parte 1
8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.2.1 – MÉTODO DE EULER hoje
8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR
8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s
8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Problemas de Valores Iniciais (PVI’s)
Se dada uma EDO de ordem n, a
função, assim como suas derivadas até
ordem n-1, são especificadas em um
único ponto, então temos um problema
a valores iniciais. Exemplo:

y    x  1  y   cos x  y   x
com
2

1 y  x
2
 y
y ( 0 )  1 , y  ( 0 )  2 , y  ( 0 )  3
2
sen  x  y 
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Problemas de Valores no Contorno
(PVC’s)
Se para uma dada EDO de ordem n,
as n condições forem dadas em
diferentes pontos, então temos um
problema a valores no contorno. Ao
contrário dos PVI’s, os PVC’s podem
não apresentar unicidade de
solução.
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Exemplo de PVC’s.
1- Seja um barra de comprimento L
sujeita a uma carga uniforme q. Se em
x=0 ela está fixada e em x=L ela está
apoiada, então temos o problema
y
4 
k yq
 y ( 0 )  y ( 0 )  0
com 
 y ( L )  y  ( L )  0
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 PVC’s sem unicidade na solução.
2- O problema
y   0
 y (  1)  0
com 
 y (1)  2 y (1)  0
tem como solução
y ( x )   1  x 
para todo

8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Nesta primeira parte do estudo de EDO’s
abordaremos métodos para resolução de
PVI’s de primeira ordem.
 Dado o PVI y   f  x , y  com y  x 0   y 0
construiremos x 1 , x 2 , x 3 , ..... , x n , para
simplificar igualmente espaçados, ou seja,
x i 1  x i  h
para
i  0 ,1, 2 ,....., n  1
e calculamos as aproximações y i  y  x i 
neste pontos.
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Se para calcular y i  y  x i , usamos apenas
y i 1  y  x i 1  , então dizemos que o Método
é de Passo Um ou de Passo Simples.
 Porém se usarmos mais valores teremos
um Método de Passo Múltiplo.
 Para PVI’s de primeira ordem temos que
y  x 0   y 0 é uma aproximação inicial para
a solução. Problema auto-iniciante.
 Para Métodos de Passos Múltiplos devemos ter estratégias para as aprox. iniciais.
8. EDO’s
8.1 INTRODUÇÃO
 Os Métodos de Passos Simples têm as
seguintes características:
1) Deve-se calcular os valores de f ( x , y ) e
de suas derivadas em muitos pontos.
Fator negativo.
2) A estimativa dos erros não é trivial.
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler
 Considere o PVI
y 
d
dt
y  f t , y 
com
y t 0   y 0
(1)
 Suponha que exista uma única solução  t n 
do problema no intervalo de interesse.
 Reescrevendo (1) no ponto t  t n
d
dt
 t n   f t n ,  t n

(2)
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Aproximando a derivada em (2) pelo
quociente de diferenças para frente (ou
direto), obtemos
 t n  1    t n 
t n 1  t n
 f t n ,  t n 
(3)
 Substituindo  t n 1   y n  1 e  t n   y n por
seus valores aproximados, t n 1  t n   h ,
temos a fórmula de Euler:
y n  1  y n  f t n , y n  t n  1  t n 
(4)
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Outra maneira para obter a fórmula de
Euler é escrever o problema (1) como
uma equação integral. Integrando (1) de
t n até t n  1

t n 1
tn
  ( t ) dt 

t n 1
f t ,  ( t )  dt
tn
  ( t n 1 )   ( t n ) 

t n 1
tn
f t ,  ( t )  dt
(5)
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Se aproximarmos a integral substituindo
f t ,  ( t )  por
f t n ,  ( t n ) 
E como t n  1  t n  h , então
 t n  1    t n   f t n ,  t n   t n  1  t n 
 t n  1    t n   h f t n ,  t n 
 y n  1  y n  f t n , y n  h
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha. No Método de Euler Direto é a área lilas.
y   f t ,  t 
f t n  1 ,  t n  1 
f t n ,  t n 
tn
t n 1
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Note que quanto menor forem as
partições, melhor será a convergência do
Método de Euler.
 O Erro da fórmula de Euler pode ser
majorado através da fórmula de Taylor.
Seja y   t  em torno de t  t n
 t n  h    t n     t n  h    t n
 t n  h    t n   f t n ,  t n
com
t  t n , t n  1 

h
2
 ...
2!
 h   t 
h
2
2!
ERRO
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Note que sendo
M  max  t 
com
t  t n , t n  1  onde
  (t)  f ( t ,  ( t )) e   (t)  f t ( t ,  ( t ))  f y ( t ,  ( t ))   (t)
    f t  f y f
então o erro devido ao truncamento de Euler
é majorado por
2
en  M
h
2
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Exemplo 1: Considere o problema de
valor inicial y   1  t  4 y com y ( 0 )  1
 A solução exata é dada por
y  ( y )  
3
16

1
4
t
19
e
4t
16
 Utilizando a fórmula de Euler (direta) e
passos h  0 .05 , h  0 .025 , h  0 .010 e h  0 .001
determine a solução do problema no
intervalo 0  t  2
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
Solução por Euler direta de
y   1  t  4 y com
y (0)  1
t
h=0.05
h=0.025
h=0.01
h=0.001
Exata
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
1.5475000
1.5761188
1.5952901
1.6076289
1.6090418
0.2
2.3249000
2.4080117
2.4644587
2.5011159
2.5053299
0.3
3.4333560
3.6143837
3.7390345
3.8207130
3.8301388
0.4
5.0185326
5.3690304
5.6137120
5.7754845
5.7942260
0.5
7.2901870
7.9264062
8.3766865
8.6770692
8.7120041
1.0
45.588400
53.807866
60.037126
64.382558
64.897803
1.5
282.07187
361.75945
426.40818
473.55979
479.25919
2.0
1745.6662
2432.7878
3029.3279
3484.1608
3540.2001
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
 Note que os erros gerados em t=2.0 são
grandes!
 Para h=0.001, ou seja, 2000 subintervalos, temos um erro acumulado de 1.6%
 Como
2
h
e n 1   ( t )
2
 3  4 t  19 e    (t )  19 e
4t
 (t ) 
16
4t
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Direto
O erro devido ao truncamento local é
2
h
4t
e n 1  19 e n
para t n  t n  t n  h
2
 Para ir de t=1.95 a t=2.0, quando h=0.05,

19 e 0 .0025   e
7 .8
57 . 96 
16

19 e 0 .0025   70 .80
8
40

16
Para obter um erro local de truncamento de 0.01
neste problema necessitamos de h=0.0006 em
torno de t=2 e h=0.03 em torno de t=0. Tais
métodos com erros constante são chamados
ADAPTATIVOS.
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
 Uma variante do método de Euler,
chamado Método de Euler Inverso,
consiste em aproximar a derivada em
y 
d
dt
y  f t , y 
com
y t 0   y 0
(1)
pelo quociente de diferenças para trás
(ou inverso)
 t n    t n  1 
t n  t n 1
 f t n ,  t n 
(6)
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
 Substituindo  t n   y n e  t n 1   y n 1 por
seus valores aproximados, e fazendo
n  n 1
temos a fórmula de Euler inversa
y n  1  y n  f t n  1 , y n  1  h
(7)
 Note que a fórmula de Euler inversa
fornece o valor de y n  1 de forma
implícita.
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha. No Método de Euler Inverso é a área verde.
y   f t ,  t 
f t n  1 ,  t n  1 
f t n ,  t n 
tn
t n 1
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
 Exemplo 2: Considere o problema de
valor inicial y   1  t  4 y com y ( 0 )  1
 A solução exata é dada por
y  ( y )  
3
16

1
4
t
19
e
4t
16
 Utilizando a fórmula de Euler (inversa) e
passos h  0 .05 , h  0 .025 , h  0 .010 e h  0 .001
determine a solução do problema no
intervalo 0  t  2
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
Solução por Euler inversa de
y   1  t  4 y com
y (0)  1
é dada pela fórmula de Euler inversa
y n 1  y n  h 1  t n 1  4 y n 1 
O primeiro passo gera:
y 1  y 0  h 1  t 1  4 y 1   1  0.05 1  0 . 05  4 y 1   y 1  1 . 309375
y 2  y 1  h 1  t 2  4 y 2   1 . 309375  0.05 1  0 . 1  4 y 2   y 2  1 . 6929688
Continuando, temos a tabela:
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Inverso
Solução por Euler inversa de
y   1  t  4 y com
y (0)  1
t
h=0.05
h=0.025
h=0.01
h=0.001
Exata
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
1.6929688
1.6474375
1.6236638
1.6104634
1.6090418
0.2
2.7616699
2.6211306
2.5491368
2.5095731
2.5053299
0.3
4.4174530
4.0920886
3.9285724
3.8396379
3.8301388
0.4
6.9905516
6.3209569
5.9908303
5.8131282
5.7942260
0.5
10.996956
9.7050002
9.0801473
8.7472667
8.7120041
1.0
103.06171
80.402761
70.452395
65.419964
64.897803
1.5
959.44236
661.00731
542.12432
485.0825
479.25919
2.0
8934.0696
5435.7294
4172.7228
3597.4478
3540.2001
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
 Note que tanto o método de Euler direto
quanto o inverso geram erros acumulativos
quando t cresce. No exemplo o erro foi da
ordem de 1.2%.
 Os Métodos adaptativos de Euler são uma
solução, contudo teremos uma sub-rotina para
calcular o tamanho do passo para cada n.
 Fórmula de Euler Aprimorada ou centrada
aproxima a função f na integral por uma média.
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
 A fórmula de Euler Aprimorada escrevese como:
y n 1  y n 
f t n  1 , y n  1   f t n , y n 
h
(8)
2
 Os erros são menores e convergência é
mais rápida neste caso.
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha.
No Método de Euler Aprimorado é a área amarela.
y   f t ,  t 
f t n  1 ,  t n  1 
f médio
f t n ,  t n 
tn
t n 1
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
A solução por Euler Aprimorado de
y   1  t  4 y com
y (0)  1
é dada pela fórmula
y n 1  y n 
h
2
1  t n 1
 4 y n  1   1  t n  4 y n

também conhecida como fórmula de Heun.
Calculando temos a tabela:
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
Solução por Euler aprimorado de
y   1  t  4 y com
y (0)  1
t
h=0.05
h=0.025
h=0.01
h=0.001
Exata
0.0
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
0.1
1.5952901
1.6076289
1.6079462
1.6088585
1.6090418
0.2
2.4644587
2.5011159
2.5020618
2.5047827
2.5053299
0.3
3.7390345
3.8207130
3.8228282
3.8289146
3.8301388
0.4
5.6137120
5.7754845
5.7796888
5.7917911
5.7942260
0.5
8.3766865
8.6770692
8.6849039
8.7074637
8.7120041
1.0
60.037126
64.382558
64.497931
64.830722
64.897803
1.5
426.40818
473.55979
474.83402
478.51588
479.25919
2.0
3029.3279
3484.1608
3496.6702
3532.8789
3540.2001
8. EDO’s
8.2.1 Método de Euler Aprimorado
 O Método de Euler Aprimorado fornece
resultados muito melhores do que
aqueles de Euler Direto e Inverso.
 O Método de Euler Aprimorado Adaptativo fornece melhores resultados
através da variação no tamanho dos
passos. Neste procedimento, variando o
tamanho dos passos, mantemos
constante o erro de truncamento local
da aproximação