Autores: Miguel Pereira 9ºB nº11
e Sofia Figueiredo 9ºB nº15
Ano Lectivo 2005 2006
Área de Projecto
Métodos de resolução
de Sistemas
Podem-se resolver pelos métodos
Método de substituição
Método de tentativa erro
Método gráfico
No nosso trabalho só vamos apresentar o método de substituição e o
método gráfico.
Vamos trabalha-lo enumerando os passos a seguir e efectuando a sua
resolução na coluna ao lado.
Método de substituição
Passos a seguir
Resolução
1. Escolher a incógnita (x ou y) numa equação
(deves escolher a incógnita que facilite os cálculos)
x  y  5

x  y  7
Escolhemos x na 1ª equação
2. Resolver a equação em ordem à incógnita   x  5  y

escolhida
 _______
3. Substituir na outra equação x pelo seu valor
_
__________

 y  5  y  7
4. Resolver equação do 1º grau
_______
_
__________
______
____





2
y
 y  y  7  5
 2 y  2
 y  1

2

5. Substituir o valor de y na 1ª equação
 x  5  (1)  x  5  1 x  6



 y  1
______ ____
6. Apresentar a solução do sistema
( x, y)  (6,1)
Nota informativa: Antes de aplicar-mos o método, por vezes, é aconselhável
colocar-mos o sistema na forma canónica:
ax  by  c

a' x  b' y  c'
Método gráfico
Passos a seguir
1. Resolver a duas equações em ordem a y
2. Apresentar dois pontos para cada recta
Resolução
x  y  5
y  5  x
y  5  x



x  y  7
 y  7  x
 y  7  x
x
y=5-x
x
Y=-7+x
0
5
0
-7
4
1
3
-4
A  (0,5)
B  (4,1)
3. Representar as duas rectas num referencial
4. Apresentar a solução do sistema que são as
coordenadas do ponto de intersecção.
( x, y)  (6,1)
C  (0,7)
D  (3,4)
Classificação de sistemas
Os sistemas classificam-se como as equações, como podemos ver:
Sistemas
Possíveis
Determinadas
Impossíveis
Indeterminadas
Sistemas possíveis e
determinados
Exemplo
_________
x  3  y
x  y  3
_____




3  y  y  1
_______
x  y  1
 2 y  1  3
_____

x  3 1 x  3 1
____
_______




2 
y
y 1
y 1
y 1



 2 y  2

2

( x, y)  (2,1)
Graficamente
y  3  x
x  y  3  y  3  x



 y  1  x
 y  1  x
x  y  1
x
y=3-x
x
y=-1+x
0
3
0
-1
3
0
4
3
A  (0,3)
B  (3,0)
C  (0,1)
D  (4,3)
Conclusão: Quando as rectas são concorrentes, o sistema é possível e determinado.
Sistemas impossíveis
Exemplo
_
__________
x   y  2
x  2   y



________  y  2  y  4
x  y  4
_________

y  y  4  2
_____

0 y  2
Equação impossível, então
o Sistema é impossível
Graficamente
x  2   y  y  2  x


y  4  x
x  y  4
x
y=2-x
x
y=4-x
0
2
0
4
2
0
1
3
A  (0,2)
B  (2,0)
C  (0,4)
D  (1,3)
Conclusão: Quando as rectas são paralelas, o sistema é impossível.
Sistemas possíveis
e indeterminados
Exemplo
____
__________
 x  2y  2
x  2 y  2



2(2  2 y)  4  4 y
________
2 x  4  4 y
_____

0 y  0
Equação possível e
indeterminado , então o
Sistema é indeterminado
Graficamente

y  1

x  2 y  2
2 y  2  x





2
x

4

4
y

 4 y  4  2 x
y  1


x
Y= 1-
0
1
2
0
x
2
A  (0,1)
B  (2,0)
Conclusão: Quando as rectas são
concorrentes o sistema é possível e
indeterminado.
x
2
x
2
Em Síntese (Conclusões)
1. Em sistemas possíveis e determinados as rectas são concorrentes, ou seja,
intersectam-se num único ponto.
2. Em sistemas impossíveis as rectas são paralelas, ou seja, nunca se
intersectam, por mais que as prolongue-mos.
3. Em sistemas possíveis e indeterminados as recta são coincidentes, ou seja,
por mais que as prolongue-mos estão sempre uma “decima” da outra
Problemas envolvendo Sistemas
1) Determine os valores de x e y,
sabendo que a figura representa,
respectivamente um triângulo
equilátero:
2 y  x  6 y
x  6 y  2 y


 x  4y

x
 x 5y 6y  


5
y

6
y


 4
 4 1
____
1
______

0 y  0
x
 5y
4
6y
2y+x
__________

4 y  20y  24y  0
O sistema é possível e
indeterminado, ou seja, o
problema tem infinitas
soluções.

2) A diferença das idades de dois irmãos é 10. A idade
do mais velho é igual ao dobro da idade que o mais
novo terá daqui a 10 anos.
Qual é a idade de cada um?
2.1) Escreva um sistema de equações que traduza algebricamente o
problema.
 x  y  10

 x  2( y  10)
2.2) Resolva o sistema e classifique-o
 x  y  10


 x  2( y  10)
 y  10  20

 ________
2( y  10)  y  10  2 y  20  y  10


__
 __________
___
__________
 y  10  ________


 x  2(10  10)
 _____
________

 x  20  20
x, y   0,10
O sistema é possível e determinado
2.3) O problema é possível?
O problema é impossível, porque não
há idades negativas.
1. Classifica o seguinte sistema
1 0 x  y  2 0

3y  2 x  50
A
Sistema possível e determinado
B
Sistema possível e indeterminado
C
Sistema impossível
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2. Para representar rectas através de sistemas ,
resolvemos por qual método?
A
Método de substituição
B
Método de tentativa erro
C
Método gráfico
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3. Num sistema possível e determinado qual é a
posição relativa das rectas?
A
As rectas coincidentes
B
As rectas paralelas
C
As rectas concorrentes
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4. Qual dos gráficos pertence a sistemas possíveis e
determinados?
A
B
C
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5. Qual é a formula pela qual nos devemos “guiar”
para representar-mos a forma canónica?
A
B
C
ax  by  c

ax  c  b
ax  b  dy  c

ax  cy  b
ax  by  c

a' x  b' y  c'
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6. A idade do Ricardo é tripla da idade do seu irmão Afonso. Daqui a cinco
anos a soma das duas idades é tripla da idade actual do mais velho. Qual o
sistema que o representa, se x corresponder á idade do Ricardo e y á idade
do Afonso?
A
x  3 y

 x  5  y  5  3x
B
x

y 
3


x  5  y  3 y
C
x  3  y

 x  5  y  5  3x
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7. O Vítor tem um terreno rectangular onde normalmente joga futebol. Inspirado no
seu terreno inventou o seguinte problema: “Se aumentasse o comprimento em 5 m e
se diminuísse a largura em 5m, a área não se altera. Se aumentasse 5m a cada uma das
dimensões, a área aumentaria 200m 2.” Quais as dimensões do terreno do Victor?
A
x  5  y  5

( y  5)(x  5)  200
B
C
x  5  y  5

( y  5)(x  5)  200
x  5  y  5

( y  5)(x  5)  200