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6. Geometria: Pontos, Rectas e Declives
Pontos, Rectas e Declives
ID: 8106
Tempo necessário
45 minutos
Descrição Geral da Actividade
Os estudantes serão introduzidos nos conceitos base no plano Cartesiano, ao deslocar um
ponto no plano de coordenadas e ao analisar as coordenadas do ponto em quadrantes
diferentes assim como em cada eixo. Também observarão a relação existente entre as
coordenadas de um ponto e a distância entre o ponto e cada eixo. Mais tarde, explorarão
rectas definidas por dois pontos no plano e analisarão a relação entre rectas, declives e
equações. A análise prosseguirá com rectas paralelas e perpendiculares e a relação entre os
seus declives.
Conceitos
Pontos, Rectas, Declive, Gráficos de Equações Lineares, Rectas perpendiculares/paralelas
Preparação do Professor
Esta actividade permite diversas explorações dependendo do nível de ensino. A actividade
pode ser utilizada ao longo de todo o terceiro ciclo ou mesmo no início do secundário.
• A um nível introdutório, esta actividade pode ser utilizada para introduzir ou rever as
propriedades dos pontos no plano Cartesiano.
• Num nível intermédio, esta actividade poderá rever as coordenadas e, em seguida,
introduzir ou rever as relações entre pontos, rectas, declives e equações. O gráfico
pode também ser dividido em áreas diferentes pelo traçado dos gráficos de f(x)= x e
f(x)= –x e ao pedir aos estudantes para indicarem de uma forma geral o declive para
cada uma destas áreas.
• Num nível avançado, após o traçado de gráficos de rectas e observação das relações
entre elas, pode ser adicionado outro ponto ao plano e os estudantes podem observar
a relação entre as coordenadas do ponto e a equação da recta. Isto pode ser utilizado
para introduzir as inequações.
• Em Geometria, podem ser medidos ângulos entre rectas paralelas e perpendiculares e
iniciar e discutir a perpendicularidade e paralelismo de rectas usando medidas de amplitudes de ângulos. Esta actividade fornece igualmente a oportunidade e provar de forma
algébrica e geométrica a relação entre os declives de rectas paralelas e perpendiculares.
• Nas figuras das páginas 26-29 são apresentados os resultados esperados dos
estudantes. Consulte as figuras da página 30 para uma visualização prévia do ficheiro
.tns dos estudantes.
Orientação da Turma
• Pretende-se que esta actividade seja orientada pelo professor. Pode utilizar as
páginas seguintes para apresentar o material à turma e encorajar a discussão. Os
estudantes podem utilizar o TI-Nspire, mas a maior parte das ideias e conceitos está
incluída apenas neste documento. Certifique-se de que revê todo o material
necessário de forma a que os estudantes fiquem completamente esclarecidos.
• A ficha de trabalho tem por finalidade orientar os estudantes através das ideias
principais da actividade fornecendo, ao mesmo tempo, instruções mais detalhadas
sobre como realizar certas acções, através da utilização das ferramentas do TI-Nspire.
Também permite que os estudantes registem as suas respostas. Em alternativa, pode
pedir à turma para que registe as suas respostas numa folha de papel em separado ou
apenas que utilizem as questões colocadas para iniciar uma discussão na turma.
Aplicações do TI-Nspire™
Graphs & Geometry, Notes
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6. Geometria: Pontos, Rectas e Declives
Três perguntas fundamentais definem esta actividade (Deve realizar-se uma pequena
discussão a seguir a estas perguntas):
1. Qual é a relação entre as coordenadas de pontos em diversas localizações no plano
Cartesiano?
2. Qual é a relação entre uma recta e o seu declive, equação e ordenada na origem?
3. Qual é a relação entre os declives das rectas paralelas ou perpendiculares?
Problema 1 – Analisar as coordenadas de pontos
Passo 1: Peça aos estudantes para abrirem a página 1.2,
onde encontrarão uma página de Graphs &
Geometry com a linha de edição de funções
oculta. Os estudantes devem criar e etiquetar
dois pontos, P e Q, em qualquer local do plano,
utilizando a ferramenta Point ( ) do menu
Points & Lines. (Os nomes P e Q podem ser
digitados directamente após a criação de cada
ponto). A seguir, peça aos estudantes para
apresentarem as coordenadas de cada ponto,
ao seleccionarem MENU > Tools >
Coordinates and Equations.
Passo 2: Os estudantes devem, em seguida, clicar em
Redefine (disponível em MENU > Tools) para
redefinir o ponto P no eixo x e o ponto Q no
eixo y. (Os estudantes não devem redefinir os
pontos como uma das marcas de escala do
eixo.) Peça agora aos estudantes para
arrastarem o ponto P e responderem às
perguntas da ficha de trabalho sobre os
pontos no eixo x. (Isto permite a antevisão de
dois conceitos importantes que surgirão mais
tarde:Intersecções x de gráficos e equações
de rectas verticais.)
A seguir, devem arrastar o ponto Q e responder
às perguntas sobre as intersecções com o
eixo y. (Isto permite a antevisão do conceito
de ordenada na origem de um gráfico).
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6. Geometria: Pontos, Rectas e Declives
Passo 3: Após arrastarem os pontos P e Q, peça aos
estudantes para activar a grelha ao
seleccionarem Show Grid no menu View. A
seguir, devem definir novamente os pontos P e
Q, desta vez como pontos da grelha. As
coordenadas representam agora valores
inteiros.
Peça aos estudantes para arrastarem
novamente os pontos P e Q no plano e
responderem às perguntas das fichas de
trabalho sobre o sinal das coordenadas x e y
em cada quadrante.
Passo 4: Os estudantes devem agora ser capazes de identificar as coordenadas nos
diferentes quadrantes assim como em cada eixo. Forneça aos estudantes as
coordenadas de um ponto e pergunte a que quadrante se referem e vice-versa. Esta
actividade simples permite aos estudantes desenvolverem as suas capacidades
tecnológicas e estabelecerem padrões de sinais para os quatro quadrantes.
Passo 5: Peça aos estudantes para utilizarem a
ferramenta Perpendicular ( ) (MENU >
Construction) para criarem perpendiculares
aos eixos passando pelo ponto P. Após criarem
as perpendiculares, os estudantes devem criar
segmentos desde o ponto P até cada eixo
(MENU > Points & Lines > Segment) e, em
seguida, devem ocultar as rectas
perpendiculares em “excesso”, utilizando a
ferramenta Hide/Show ( ), disponível no
MENU > Tools.
Passo 6: Peça agora aos estudantes para medirem o
comprimento de cada segmento, utilizando a
ferramenta Length ( ) do menu Measurement.
Peça aos estudantes para arrastarem o ponto P
e para discutirem as distâncias e as coordenadas. (Existe uma correspondência de um para
um entre as distâncias de P até cada eixo e o
valor absoluto das coordenas de P.)
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Problema 2 – Investigar rectas, equações e declives
Passo 1: No Problema 2, são indicados aos estudantes
dois pontos P e Q. (Estes pontos não foram
definidos na grelha para permitir uma maior
liberdade de exploração.)
Se este for o primeiro contacto dos estudantes
com a noção de declive, forneça uma breve
descrição sobre o conceito, incluindo a noção da
relação entre deslocamento vertical e horizontal.
Peça aos estudantes para imaginarem uma
recta entre os pontos P e Q e discutirem se o
declive é positivo ou negativo, pequeno ou
grande, etc. A seguir, devem desenhar uma
recta através dos pontos P e Q, utilizando a
ferramenta Line ( ) do menu Points & Lines.
Passo 2: A seguir, peça aos estudantes para calcularem
o declive (MENU > Measurement > Slope) e
a equação (MENU > Tools > Coordinates &
Equations) da recta. Deverão atribuir um nome
à medida do declive conforme indicado à direita,
ao clicar na caixa de texto e digitar slope=.
Também podem diminuir o número de dígitos
do declive, ao colocar o cursor sobre a medida
e premir -.
Passo 3: Agora, os estudantes podem analisar a relação entre a recta e o seu declive e
equação. Em Em primeiro lugar, os estudantes devem arrastar o ponto P ou Q e
observar o que se altera. A seguir, devem arrastar a própria recta e observar as
alterações. Os estudantes também devem arrastar o ponto Q até ao eixo y (ou
redefini-lo no eixo y) para analisar a relação entre a ordenada na origem de uma
recta e a sua equação.
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Problema 3 – Analisar os declives de rectas paralelas e perpendiculares
Passo 1: Na página 3.1, são apresentadas aos estudantes
duas rectas paralelas, as suas equações e
declives. (Estas já foram previamente criadas.)
Em alternativa, os estudantes podem criar as
rectas paralelas, indicar os declives e pesquisar.
Os estudantes devem pesquisar as relações
entre rectas paralelas e declives, arrastando a
recta original através de um dos pontos que a
define, P ou Q.
Passo 2: Na página 3.2, são apresentadas aos estudantes
duas rectas perpendiculares, as suas equações
e declives. Novamente, podem escolher se
pretende que os estudantes construam as
rectas ou não.
Peça aos estudantes para rodarem as rectas e
tentarem identificar a relação entre os seus
declives.
Passo 3: Outro método para observar a relação dos
declives é tentar calcular o seu produto. Peça
aos estudantes para seleccionarem MENU >
Tools > Text, premir · num espaço livre da
área de trabalho e inserirem “A*B” (ou quaisquer
outras duas variáveis). A seguir, devem
seleccionar MENU > Tools > Calculate,
colocar o cursor sobre a nova caixa de texto
criada e premir ·. Ao deslocar o cursor para
fora da caixa de texto, é solicitado aos
estudantes o valor das variáveis. O produto
será apresentado após clicar em ambos os
declives medidos. Peça aos estudantes para o
arrastarem para uma localização conveniente
no ecrã. Finalmente, os estudantes devem
arrastar a recta através dos pontos P ou Q,
segurando e arrastando qualquer um dos
pontos. Peça-lhes para observarem o que
acontece ao produto quando modificam a recta!
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6. Geometria: Pontos, Rectas e Declives
Extensões
Conforme indicado na preparação do professor, esta actividade pode ser extendida
de várias formas, conforme o nível do estudante. Pode alterar a actividade facilmente,
de forma a orientar os estudantes para um estudo mais aprofundado de declives,
rectas paralelas e provas.
Pontos, Rectas e Declives – ID: 8106
(Estudante) Ficheiro TI-Nspire: Geometria: Pontos, Rectas e Declives.tns
Página 30
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Introdução à Geometria
Pontos, Rectas e Declives
ID: 8106
Nome
Turma
Nesta actividade, poderá explorar:
•
a relação entre as coordenadas de pontos e as
suas localizações no plano de coordenadas
•
a relação entre rectas e as suas equações,
declives e ordenadas na origem
•
os declives de rectas paralelas e perpendiculares
Abra o ficheiro Geometria – Pontos Rectas e
Declives.tns no TI-Nspire e siga este documento e o
seu professor. Registe as respostas na ficha de
trabalho ou conforme indicado pelo professor.
Problema 1 – Analisar as coordenadas de pontos
Na página 1.2, crie dois pontos e dê-lhes os nomes P
e Q em qualquer local do plano Cartesiano, conforme
indicado pelo professor. Utilize a ferramenta
Coordinates & Equations para apresentar as
coordenadas de ambos os pontos.
Seleccione MENU > Tools > Redefine para localizar o
ponto P no eixo x e o ponto Q no eixo y. Arraste os
pontos sobre os eixos respectivos e responda às
perguntas seguintes.
•
Explique o que é comum a todos os pontos do eixo x.
•
Explique o que é comum a todos os pontos do eixo y.
Agora, active a grelha seleccionando MENU > View >
Show Grid. Redefina os pontos P e Q como pontos
da grelha, de forma a que as coordenadas tenham
valores inteiros. Conforme indicado pelo professor,
mova o ponto P na grelha até conseguir completar as
afirmações da página seguinte.
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Página 1
Introdução à Geometria
Complete as afirmações usando as palavras positiva ou negativa.
•
Um ponto está no Quadrante1 (parte superior direita) quando a sua coordenada x é
___________ e a sua coordenada y é ___________.
•
Um ponto está no Quadrante 2 (parte superior esquerda) quando a sua coordenada x é
___________ e a sua coordenada y é ___________.
•
Um ponto está no Quadrante 3 (parte inferior esquerda) quando a sua coordenada x é
___________ e a sua coordenada y é ___________.
•
Um ponto está no Quadrante 4 (parte inferior direita) quando a sua coordenada x é
___________ e a sua coordenada y é ___________.
A seguir, siga as instruções do professor para criar
perpendiculares através do ponto P até cada eixo e
medir cada uma das distâncias. Arraste o ponto P e
pesquise.
•
Qual é a relação entre as coordenadas do ponto P
e as distâncias até cada eixo?
Problema 2 – Analisar rectas, equações e declives
Ouça a explicação do professor sobre como desenhar
uma recta através dos pontos P e Q e mostre a sua
equação e declive. Observe a relação entre o declive
e a equação à medida que altera a recta, ao segurar e
arrastar o ponto P e, em seguida, ao segurar e arrastar
a própria recta.
•
Ao arrastar a recta movendo o ponto P, qual é a
relação entre o declive e a equação?
•
Ao arrastar a própria recta, o que se altera na equação?
•
Arraste o ponto Q até ao eixo y (ou redefina-o no eixo y). Qual é a relação entre o ponto
Q e a equação da recta?
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Página 2
Introdução à Geometria
Problema 3 – Analisar os declives de rectas paralelas e perpendiculares
Na página 3.1, arraste as rectas pelos pontos P e Q e
observe os declives.
•
O que pode dizer acerca dos declives de duas
rectas paralelas?
Na página 3.2, arraste novamente as rectas para
analisar a relação entre os declives.
•
O que pode dizer acerca dos declives de duas
rectas perpendiculares?
Finalmente, utilizará a ferramenta Calculate (MENU > Tools > Calculate) para observar o
que acontece quando os declives de duas rectas perpendiculares são multiplicados.
Crie uma caixa de texto (MENU > Tools > Text) numa área livre do gráfico, e digite “a*b” (ou
quaisquer outras duas variáveis). A seguir, seleccione a ferramenta Calculate e coloque o
cursor sobre a caixa de texto criada. Prima · e desloque um pouco o cursor. Serão agora
solicitados os valores a utilizar para a e b. Apenas é necessário clicar em cada um dos
declives na parte inferior do ecrã. Desloque o produto para junto da expressão original.
Agora, altere as rectas segurando e arrastando o ponto P.
•
O que observa no resultado dos declives?
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