Sistemas de equações do 1º grau
com duas incógnitas
Método Gráfico
Sistemas de equações do 1º grau
com duas incógnitas
Considere a seguinte situação:
Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer
ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes.
Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma
diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um?
Representemos por x o total de pontos de Fábio e por y os pontos de João. Os números
x e y são naturais.
1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6.
Podemos indicar essa informação por x + y = 6
Pontos
Fábio
x
0
1
2
3
4
5
6
João
y
6
5
4
3
2
1
0
Par
(x, y) (0, 6) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (6, 0)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)
2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4.
Podemos indicar essa informação por x - y = 4
Pontos
Fábio
x
4
5
6
7
8
9
10
João
y
0
1
2
3
4
5
6
Par
(x, y)
(4, 0)
(5, 1)
(6, 2)
(7, 3)
(8, 4)
(9, 5)
(10, 6)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)
A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1).
Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto.
X+Y=6
X–Y=4
As equações representadas constituem
um exemplo de sistemas de equações do
1º grau com duas incógnitas.
O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as
duas equações, é a solução do sistema.
Método da Substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir
a expressão encontrada na outra equação.
Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição.
X+Y=5
Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar
a incógnita X.
X–Y=3
X=5–Y
Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos:
(5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1
Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da substituição:
Método da Adição
Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro
as equações de modo a anular uma das incógnitas.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição.
X+Y=8
X–Y=6
Para resolvê-lo,
vamos adicionar
membro a membro
as duas equações.
X+Y=8
X–Y=6
2X = 14, logo X = 7
Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da adição:
Método da Comparação
Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de
uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da
mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das
equações.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação.
X + Y = 10
X + 3Y = 14
Iremos isolar a
incógnita x em
ambas as equações.
X = 10 - Y
X = 14 – 3Y
10 – y = 14 – 3 Y,
logo Y = 2
Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da comparação:
X+Y=5
X + Y = 20
Y = 3X + 2
X–Y=1
X – 3Y = -12
2X – Y = -4
(3, 2)
(12, 8)
(2, 8)
Estas balanças estão equilibradas
a) Chame de x a massa da
pêra e de y a massa da
maçã. Determine o sistema
de equações
correspondente a essa
situação.
b) Resolva o sistema
c) Quantos gramas têm a pêra
e a maçã?