Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
1ª Avaliação
1) Determine os limites abaixo:
1 1

a) lim 4 x
x 4 4  x
x 4  16
b) lim
x 2 x  2
2) Determine os valores das constantes c e k que tornam a função abaixo
contínua em  ,   .
se x  1
x

f ( x )  cx  k se 1  x  4
 2 x
se x  4

3) Utilizando a definição de limite, determine a derivada de f ( x ) 
x 3 .
4) Determine os valores de a e b tais que f seja derivável em 2 se:
ax  b
f (x)   2
2 x  1
se x  2
se x  2
5) Dada a função f ( x ) 
1 4 2 3 3 2
x  x  x  8 x  2 , para que valores de x
12
3
2
sua derivada segunda é positiva?
6) Ache as equações das retas tangentes à curva y  2 x 3  4 x 2  x que têm
inclinação 1 .
2

7) Ache a derivada de x 2  y 2
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
2
 x2  y 2 .
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Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo I
2ª Avaliação
1) O custo anual (em milhões de dólares) para um departamento do
governo apreender p% de uma droga ilegal é:
C=
528 p
100 − p
0 ≤ p < 100
O objetivo do departamento é aumentar p de 5% por ano.
Determine a taxa de variação do custo quando p = 30% .
2) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas
quadradas de 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas
verificou que os lados da placa tinham 1 cm a mais. Usando
2
diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de
tinta a ser usada.
3) Uma caixa sem tampo, de base quadrada, deve ser construída de
forma que o seu volume seja 2.500 m3 . O material da base vai
custar R$ 1.200,00 por m2 e o material dos lados R$ 980,00 por m2.
Encontra as dimensões da caixa de modo que o custo do material
seja mínimo.
4) Esboce o gráfico da função y =
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x 2 + 12
.
x −2
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Disciplina: Cálculo I
3ª Avaliação
1) Mostre que o valor mínimo de y = ae kx + be − kx é igual a 2 ab , onde
a, b e k são constantes.
(
)
2) Determine a derivada primeira da função y = ln x 2 + y 2 .
3) Se g ( x ) + x ⋅ sen ( g ( x )) = x 2 e g (1) = 0 , determine g '(1) .
ax − bx
.
x →0
x
4) Calcule: lim
5) A equação y ′′ + y ′ − 2y = senx é chamada equação diferencial, pois
envolve a equação desconhecida y e suas derivadas y ′ e y ′′ .
Encontre
as
constantes
A
e
B
tal
que
sua
função
y = Asenx + B cos x satisfaça essa equação.
6) Se um projétil é lançado de O , o seu alcance R sobre um plano
que em O faz com o plano horizontal um ângulo igual a α é
R=
2v 2 cos θ sen (θ − α )
g cos2 α
onde v e g são constantes e θ é o ângulo de elevação. Calcular o
valor de θ que dá o máximo alcance.
7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da equação
1 π 
y = sec −1 ( 2 x + 1) no ponto de coordenadas  ,  .
2 3
8) A população de uma cidade decresce a uma taxa proporcional a
seu tamanho. Em 1975 ela era de 50.000 e em 1985, 44.000. Qual a
população esperada em 1995?
Prof. Rogério Dias Dalla Riva
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