Derivadas de diferentes ordens
È Seja y = f(x) uma função derivável num intervalo I .
» Segunda derivada ( derivada de 2ª ordem ou derivada de ordem 2) da
função - derivada da derivada da função y = f(x) .
» Derivada de ordem n da função - a derivada da derivada de ordem n-1
da função.
» Notações:
d
f (x)
f ’(x), f (1)(x),
dx
f ’’(x), f (2)(x),
d2
dx
1
2
f ( x),
,
y’,
y’’.
dy
dx
d2y
dx 2
Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Esboço de Curvas
È A função diz-se crescente num intervalo I sempre que x1, x2∈I
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f( x2)
È A função diz-se decrescente num intervalo I sempre que x1, x2∈I
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f( x2)
È Regra da 1ª derivada:
Se f ’(a) > 0 então f é crescente em x = a.
Se f ’(a) < 0 então f é decrescente em x = a.
È A função admite um máximo relativo no ponto onde x = x1, se o valor da
função nesse ponto é maior que qualquer outro ponto dum certo intervalo
contendo x1.
f ( x1 + ∆ x ) < f ( x1 )
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Para todos os ∆x suficientemente pequenos em valor
absoluto
Esboço de Curvas
È A função admite um máximo relativo no ponto onde x = x2, se
f ( x2 + ∆ x ) > f ( x2 )
Para todos os ∆x suficientemente pequenos em
valor absoluto
È Ponto máximo relativo - ponto no qual o gráfico muda de crescente para
decrescente.
È Ponto mínimo relativo - ponto no qual o gráfico muda de decrescente para
crescente.
È Ponto de inflexão - ponto no gráfico de uma função, no qual ela é contínua e o
gráfico muda de concavidade.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Esboço de Curvas
È Regra da 2ª derivada
Se f ’’(a) >0 então f tem concavidade para cima em x=a.
Se f ’’(a) <0 então f tem concavidade para baixo em x=a.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Esboço de Curvas
Sumário da técnicas para se obter o esboço de gráficos
1. Obtenha f ’(x) e f ’’(x)
2. Encontre os pontos extremos relativos.
(a) Resolva a equação f ’(x) = 0 para x.
Para todas as soluções x = a da equação.
Substitua x = a em f(x), para encontrar f(a), indique o ponto (a,f(a)).
Determine f ’’(a).
(i) Se f ’’(a) > 0 . A curva tem um ponto mínimo relativo em x = a.
(ii) Se f ’’(a) < 0 . A curva tem um ponto máximo relativo em x = a.
(iii) Se f ’’(a) = 0 Examine f ’(x) à esquerda e à direita de x = a, para
determinar se a função muda de crescente para decrescente ou viceversa.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Esboço de Curvas
3. Encontre todos os pontos de inflexão de f.
(a) Resolva a equação f ’’(x) = 0 para x.
Para todas as soluções x = b da equação, calcule f(b), indique o ponto
(b,f(b)).
(b) Teste a concavidade de f à esquerda e à direita de b. Se a concavidade
muda, então (b,f(b)) é um ponto de inflexão.
4. Considere outras propriedades da função e complete o esboço.
(a) Se f está definida para x=0 então a intersecção com o eixo dos yy é (0,f(0)).
(b) Se o esboço parcial sugere que existem intersecções com o eixo dos xx,
determine-as resolvendo a equação f(x)=0 para x.
(c) Observe onde f está definida.
(d) Procure possíveis assimptotas.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Problemas de Optimização
È Uma pessoa quer plantar um jardim rectangular ao longo de um dos lados da
casa e construir uma cerca nos outros três lados do jardim. Encontre as
dimensões do maior jardim que pode ser cercado utilizando 40 metros de
cerca.
Sugestões para resolver problemas de optimização
1. Se possível, desenhe uma figura.
2. Decida qual a quantidade Q que deverá ser maximizada ou minimizada.
3. Indique por letras as outras quantidades que podem variar.
4. Determine a “equação objectivo” que expressa Q como uma função das outras
variáveis consideradas em 3.
5. Encontre a “equação de vínculo” que relaciona as variáveis entre si e a qualquer
outra constante que seja dada no problema.
6. Utilize a “equação de vínculo” para simplificar a “equação objectivo”, de tal
maneira que Q se torne uma função de apenas uma variável. Determine o
domínio dessa função .
7. Esboce o gráfico da função obtida em 6 e utilize esse gráfico para resolver o
problema de optimização.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)
Problemas de Optimização
È A administração de uma loja quer construir um espaço rectangular com 600
metros quadrados no estacionamento da loja para apresentar algum tipo de
equipamento.
Em três lados do espaço serão construídas cercas feitas de madeira, a um custo
de 14€ por metro de comprimento. O quarto lado deverá ser construído
utilizando blocos de cimento a um custo de 28€ por metro de comprimento.
Determine as dimensões do espaço que irá minimizar o custo total dos
materiais utilizados na construção.
È Suponha que, numa certa rota, uma companhia aérea transporta 8000
passageiros por mês, cada um pagando 50€. A companhia aérea pretende
aumentar o preço da passagem. Entretanto, o departamento de pesquisa de
mercado estima que, para cada 1€ de aumento, a companhia irá perder 100
passageiros. Determine o preço que maximiza o facturamento da companhia
aérea nessa rota.
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Matemática (CURSO: Gestão da Qualidade)